王育飛,孫路,張劍云,薛花
(1.上海電力學(xué)院電氣工程學(xué)院,上海200090;2.國(guó)網(wǎng)義烏供電公司工程管理部,浙江義烏322000)
交流電弧爐作為電力系統(tǒng)中典型的沖擊性負(fù)荷,對(duì)供電網(wǎng)的電能質(zhì)量具有重大影響,其中電壓波動(dòng)問(wèn)題最為顯著、也最難以克服[1]。國(guó)內(nèi)外對(duì)電弧爐引起的供電網(wǎng)電壓波動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究,主要集中在電弧爐模型的建立[2-3]和電壓波動(dòng)的抑制兩個(gè)方面[4-8]。模型研究大多將電弧爐作為一個(gè)隨機(jī)負(fù)載,根據(jù)實(shí)際電弧的物理機(jī)理建立微分方程數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬電壓波動(dòng)。但由于電弧的變化具有高度非線性和強(qiáng)隨機(jī)性,建立精確、實(shí)用的電弧爐數(shù)學(xué)模型非常困難,而目前的研究也反映了這一點(diǎn)。電壓波動(dòng)抑制措施研究主要通過(guò)在電弧爐供電網(wǎng)側(cè)加裝無(wú)功功率補(bǔ)償裝置來(lái)降低電壓波動(dòng)的水平。目前工程上多采用SVC就近補(bǔ)償無(wú)功來(lái)抑制電壓波動(dòng),但SVC內(nèi)部晶閘管的開通和關(guān)斷存在觸發(fā)延遲[9],致使無(wú)功實(shí)際補(bǔ)償時(shí)刻與預(yù)補(bǔ)償時(shí)刻不一致,實(shí)時(shí)補(bǔ)償能力有限,電壓波動(dòng)抑制效果很難得到進(jìn)一步提高。
事實(shí)上,電弧爐系統(tǒng)是一個(gè)十分復(fù)雜的系統(tǒng),供電網(wǎng)電壓波動(dòng)受眾多因素影響,因此通過(guò)建立精確的電弧爐數(shù)學(xué)模型不太現(xiàn)實(shí)。而混沌理論可以對(duì)表面貌似隨機(jī)、無(wú)序的現(xiàn)象進(jìn)行分析建模,已在各領(lǐng)域復(fù)雜對(duì)象的分析研究中得到了應(yīng)用[10-14]。電弧弧長(zhǎng)的變化雖然表現(xiàn)出隨機(jī)性,但電弧位于整個(gè)電弧爐系統(tǒng)的末端,這種隨機(jī)性未必能夠在系統(tǒng)首端即供電網(wǎng)側(cè)得到保持,因?yàn)橥还╇娋W(wǎng)往往連接著其它負(fù)載,它們對(duì)供電網(wǎng)的電壓也存在一定的影響。因此可以利用混沌理論對(duì)電弧爐供電網(wǎng)波動(dòng)電壓進(jìn)行分析研究,同時(shí)利用該理論的預(yù)測(cè)功能對(duì)電壓進(jìn)行預(yù)測(cè),若能與SVC有效結(jié)合,將大大提高電壓波動(dòng)的抑制效果。目前國(guó)內(nèi)外利用混沌理論對(duì)電弧爐系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行研究的文獻(xiàn)較少,且都局限于對(duì)靠近電弧爐末端的參數(shù)研究,未考慮供電網(wǎng)側(cè)參數(shù)的變化,而供電網(wǎng)電壓正是電力工作者極為關(guān)注的對(duì)象,它關(guān)系到電力系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。
基于某煉鋼廠采集得到的電弧爐供電網(wǎng)電壓有效值時(shí)間序列,首先,通過(guò)相空間重構(gòu)技術(shù)建立電壓時(shí)間序列的分析模型和計(jì)算時(shí)間序列最大Lyapunov指數(shù),從定性和定量?jī)煞矫娲_定系統(tǒng)混沌特性;然后,分別采用最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)法和加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法對(duì)電壓進(jìn)行超短期預(yù)測(cè)并作對(duì)比分析。結(jié)果表明,兩種方法都能夠很好地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的超短期變化趨勢(shì),而加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法相較于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)法能在更寬的時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)電壓進(jìn)行較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。通過(guò)混沌預(yù)測(cè),提前掌握電弧爐供電網(wǎng)的超短期電壓變化情況,對(duì)于結(jié)合SVC有效提高電壓波動(dòng)的抑制水平,保證供電網(wǎng)及電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定具有重要的實(shí)際意義。
選取某煉鋼廠交流電弧爐供電系統(tǒng)作為電壓檢測(cè)對(duì)象,如圖1所示。其中,T1為工廠用電配電變壓器,T2為電弧爐供電系統(tǒng)變壓器。通過(guò)安裝在變壓器T1二次側(cè)的電壓互感器測(cè)量33 kV母線上某相相電壓的有效值。電弧爐在熔化期電壓波動(dòng)最為劇烈,因此電壓測(cè)量時(shí)間設(shè)置在熔化期。由于目前SVC的響應(yīng)時(shí)間已達(dá)到毫秒級(jí),理想狀態(tài)下為20 ms左右[15],故設(shè)定電壓有效值采樣時(shí)間為Δt=0.02 s,即一個(gè)工頻周期。圖2是測(cè)量得到的電弧爐系統(tǒng)相電壓有效值時(shí)間序列數(shù)據(jù),在60 s內(nèi)共3 000個(gè)數(shù)據(jù)。
如圖2所示,相電壓有效值在基準(zhǔn)值18.95 kV附近波動(dòng),波動(dòng)幅值為100 V左右,各點(diǎn)波動(dòng)幅值之間無(wú)明顯規(guī)律。相對(duì)于基 準(zhǔn)值,電壓波動(dòng)幅值不是很大,這是因?yàn)闊掍搹S已用SVC對(duì)無(wú)功作了補(bǔ)償,使得電壓波動(dòng)程度大大下降了。但這100 V的波動(dòng)對(duì)于同一供電網(wǎng)中的其它負(fù)載仍存在危害,因此進(jìn)一步降低電壓波動(dòng)仍十分必要。
圖1 交流電弧爐供電系統(tǒng)Fig.1 Power supply system of AC EAF
圖2 電壓有效值測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.2 Measured data of voltage value
系統(tǒng)的相空間重構(gòu)可以將表面看似復(fù)雜且毫無(wú)規(guī)律的時(shí)間序列從一維擴(kuò)展到多維,恢復(fù)系統(tǒng)的混沌吸引子,以此提取系統(tǒng)內(nèi)部蘊(yùn)含的規(guī)律和豐富信息。將圖2所示的電壓有效值數(shù)據(jù)組成時(shí)間序列,記為 u(ti),i=1,2,…,N(N為序列長(zhǎng)度),重構(gòu)相空間如式(1)。
其中,τ=lΔt(l=1,2,…)為延遲時(shí)間;m為嵌入維數(shù);U(k)(k=1,2,…,M)為延遲向量,亦即相空間中的點(diǎn);M=N-(m-1)l為相點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
互信息法從概率的角度對(duì)時(shí)間序列的延遲時(shí)間進(jìn)行確定,實(shí)際計(jì)算時(shí),考慮到延遲時(shí)間τ是采樣時(shí)間Δt的倍數(shù),即τ=lΔt,取互信息函數(shù)為l的函數(shù),并定義l為延遲量?;诨バ畔⒎ù_定系統(tǒng)電壓時(shí)間序列最佳延遲量確定如圖3所示。
圖3 電弧爐系統(tǒng)電壓時(shí)間序列互信息量曲線Fig.3 Mutual information curve of EAF voltage time series
電壓時(shí)間序列互信息量在開始階段隨著延遲量的增大迅速下降,在延遲量l=1時(shí)出現(xiàn)第一個(gè)局部極小值點(diǎn),確定為系統(tǒng)的最優(yōu)延遲量,最優(yōu)延遲時(shí)間τ=0.02 s。
基于Cao氏法在偽最近鄰域法中閾值選擇上的優(yōu)勢(shì),采用Cao氏法確定電壓時(shí)間序列最優(yōu)嵌入維數(shù)。基于互信息法確定的最優(yōu)延遲量,引入E1(m)和E2(m)兩個(gè)變量作為最優(yōu)嵌入維數(shù)選擇標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)E2(m)不始終為1且E1(m)隨 m的增加達(dá)到飽和時(shí),確定系統(tǒng)最優(yōu)嵌入維數(shù)為m+1。采用Cao氏法確定電弧爐電壓時(shí)間序列最佳嵌入維數(shù)如圖4所示。
從圖4中可以看出,嵌入維數(shù)m從1增加到16,E2(m)的值始終在數(shù)值1附近波動(dòng),而E1(m)的值逐漸增大并趨向于1值而達(dá)到飽和。當(dāng)嵌入維數(shù)增加到6維時(shí),E1(m)的值增長(zhǎng)速度變緩,達(dá)到飽和狀態(tài)??纱_定電弧爐電壓時(shí)間序列最優(yōu)嵌入維數(shù)m=7。
圖4 嵌入維數(shù)變化曲線Fig.4 Changing curve of embedding dimension variation
利用確定的m和l重構(gòu)相空間,得到電弧爐電壓時(shí)間序列二維相圖如圖5所示。二維相圖曲線具有自相似軌跡,且呈現(xiàn)出雙渦卷結(jié)構(gòu),與Lorenz混沌吸引子圖對(duì)比分析,可定性判斷出電弧爐電壓時(shí)間序列具有混沌特性。由于測(cè)得的電壓時(shí)間序列數(shù)據(jù)中大量的噪聲信號(hào)影響,在一定程度上破壞了相空間軌跡中相鄰相點(diǎn)之間原有的相關(guān)性,使得相點(diǎn)的演化發(fā)生錯(cuò)位。因此與平滑的Lorenz系統(tǒng)混沌吸引子軌跡相比,電壓時(shí)間序列相圖中系統(tǒng)空間軌跡呈現(xiàn)出許多的毛刺和凸起。
圖5 電壓時(shí)間序列二維相圖Fig.5 Two-dimension phase diagram of voltage time series
為了更加直觀的判斷電弧爐電壓時(shí)間序列的混沌特性,選取最大Lyapunov指數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性進(jìn)行定量判斷。采用小數(shù)據(jù)量法求取指數(shù)值如圖6所示。
圖6 計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的y(k)-k曲線圖Fig.6 The y(k)-k curve for maximum Lyapunov exponent computing
圖6中,紅線為用最小二乘法擬合的曲線y(k)-k的平均線,其斜率即為電壓時(shí)間序列最大Lyapunov指數(shù)。圖6中紅線的斜率為0.022 1,指數(shù)值大于零,說(shuō)明電壓時(shí)間序列演化軌跡呈現(xiàn)出發(fā)散形態(tài),定量判斷出電弧爐供電網(wǎng)電壓時(shí)間序列存在混沌特性。
基于電弧爐供電網(wǎng)電壓時(shí)間序列特性的定性和定量判斷,確定系統(tǒng)混沌特性?;煦缦到y(tǒng)的短期行為具有一定的確定性,因此電弧爐供電網(wǎng)電壓波動(dòng)預(yù)測(cè)具有可行性。
為簡(jiǎn)便起見,不考慮采樣時(shí)間,將電壓有效值時(shí)間序列記為 u(1),u(2),…,u(N),保持重構(gòu)參數(shù)不變,則重構(gòu)相空間變?yōu)槭剑?):
其中 u(M+(m-1)l)即為 u(N)。下面用兩種不同的方法對(duì)電壓有效值時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。
設(shè)λ1為電壓有效值時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù),選取UM為重構(gòu)相空間中的預(yù)測(cè)中心點(diǎn),尋找UM最近鄰域點(diǎn)UK,兩者之間的歐氏距離為dM(0),有:
其中Uj對(duì)應(yīng)UM的鄰近點(diǎn),UM和UK經(jīng)一步演化,即經(jīng)過(guò)一個(gè)采樣時(shí)間后分別成為UM+1和UK+1,根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)的定義,有:
式中對(duì)應(yīng)的未知參量只有UM+1中的最后一個(gè)分量為 UM+1,m,對(duì)應(yīng)為 u(M+1+(m-1)l)=u(N+1)為預(yù)測(cè)值,有:
其中:
式(5)中,正負(fù)號(hào)的選取可通過(guò)判斷相空間中兩矢量之間的夾角確定。當(dāng)兩向量之間的夾角較小時(shí)說(shuō)明兩空間矢量越接近[16],可通過(guò)以下方式判斷:
假設(shè)空間中的兩個(gè)矢量為:
V=(x1,x2,…,xm),W=(y1,y2…,ym)
它們之間的夾角為:
記取“+”號(hào)時(shí)的電壓有效值預(yù)測(cè)值為ui+,取“-”號(hào)時(shí)的電壓有效值預(yù)測(cè)值為ui-,u+=(ui+,ui-1,…,ui-n),u-=(ui-,ui-1,…,ui-n),u'=(uj,uj-1,…,uj-n),j=i-1,再分別計(jì)算 u+與 u'、u-與 u'的夾角,分別記為 θ+、θ-。若 θ+<θ-,式(5)取“+”;反之,取“-”。
首先確定預(yù)測(cè)中心點(diǎn)UM的若干個(gè)鄰域點(diǎn),設(shè)定一極小的正數(shù)ε作為歐氏距離,若UM周圍的點(diǎn)滿足:
則確定了UM的k(k為整數(shù))個(gè)鄰域點(diǎn)Uj。根據(jù)相空間軌跡,確定鄰域點(diǎn)Uj的下一演化點(diǎn)Uj+1,尋找Uj和Uj+1之間的關(guān)系,使得:
其中,A、B為擬合參數(shù),為待求值:
A=[a1,a2,…,am]T
在 Uj+1中,僅最后一個(gè)分量 uj+1+(m-1)l為未知量,亦即預(yù)測(cè)量,有:
事實(shí)上,不同的鄰域點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)中心點(diǎn)的演化影響不同,其中離預(yù)測(cè)中心點(diǎn)越近的鄰域點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響越大。為此,在式(8)中引入一權(quán)值Wi(i=1,2,…k)如下:
其中,di為選取的預(yù)測(cè)中心點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的第i個(gè)鄰域點(diǎn)Ui之間的空間距離;dmin為所有距離中的最小值。參照式(8),有:
求出式(12)中的參數(shù),則預(yù)測(cè)點(diǎn)為:
以圖2中包含3 000個(gè)電壓有效值的時(shí)間序列重構(gòu)相空間,重構(gòu)參數(shù)以及最大Lyapunov指數(shù)參照上文所得結(jié)果,采用以上兩種預(yù)測(cè)方法對(duì)從第3 001個(gè)點(diǎn)開始的后60個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè),并將這60個(gè)點(diǎn)分成前后三組,每組20個(gè)。圖7給出了兩種方法的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比結(jié)果。
圖7(a)為前20個(gè)點(diǎn) (第3 001~第3 020數(shù)據(jù)點(diǎn))的預(yù)測(cè)結(jié)果。兩種方法的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值均比較接近,能動(dòng)態(tài)跟蹤電壓的變化。其中,基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)法(簡(jiǎn)稱方法一)的平均相對(duì)誤差為0.053%,加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法(簡(jiǎn)稱方法二)的平均相對(duì)誤差為0.033%,說(shuō)明方法二的預(yù)測(cè)精度比方法一要高。圖7(b)為中間20個(gè)點(diǎn)(第3 021~3 040數(shù)據(jù)點(diǎn))的預(yù)測(cè)結(jié)果。方法一的平均相對(duì)誤差為0.062%,方法二的平均相對(duì)誤差為0.041%,與圖7(a)類似,但兩種方法的誤差均有所增加。圖7(c)為后20個(gè)點(diǎn)(第3 041~3 060數(shù)據(jù)點(diǎn))的預(yù)測(cè)結(jié)果。方法一和方法二的相對(duì)誤差分別為0.106%和0.065%,亦較圖7(b)有所增長(zhǎng)。由此可見,方法一和方法二均能在較短時(shí)間內(nèi)反映電壓有效值的變化趨勢(shì),且相對(duì)誤差很小。隨著預(yù)測(cè)長(zhǎng)度的增加,相對(duì)誤差逐漸增大,但方法一比方法增加得快,說(shuō)明隨著誤差的逐漸累積,方法一最終將先于方法二超出誤差允許范圍,即可預(yù)測(cè)范圍。這可以從兩種方法的預(yù)測(cè)原理上加以解釋。方法一以最大Lyapunov指數(shù)建立電壓有效值預(yù)測(cè)模型,而最大Lyapunov指數(shù)表示的是整個(gè)相空間軌跡的平均發(fā)散程度,因此式(2)僅僅是對(duì)相空間軌跡演化真實(shí)規(guī)律的近似,用軌跡平均發(fā)散率代替動(dòng)態(tài)變化的發(fā)散率必然導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差的逐漸積累,而且累積速度可能加快。方法二由于考慮了鄰域點(diǎn)位置對(duì)預(yù)測(cè)中心點(diǎn)的影響,通過(guò)鄰域點(diǎn)的演化跟蹤預(yù)測(cè)中心點(diǎn)的演化,從而建立兩者之間的緊密聯(lián)系,預(yù)測(cè)誤差增長(zhǎng)較為平緩,因此該方法更適合作為電壓有效值時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法。
圖7 兩種方法的電壓有效值預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.7 Voltage prediction result of the two methods
提出用混沌理論對(duì)交流電弧爐供電網(wǎng)電壓有效值時(shí)間序列進(jìn)行特性分析并做超短期預(yù)測(cè)。通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量得到電壓有效值時(shí)間序列,采用互信息法和Cao氏法分別確定最佳的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)并重構(gòu)相空間;繪制二維相空間圖,并計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。結(jié)果表明電壓波動(dòng)具有混沌特性,可以用混沌的方法對(duì)電壓進(jìn)行預(yù)測(cè)。
分別采用基于最大Lyapunov指數(shù)法和加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法對(duì)電壓時(shí)間序列進(jìn)行超短期預(yù)測(cè),結(jié)果表明,混沌預(yù)測(cè)能夠較好地反映交流電弧爐供電網(wǎng)電壓有效值時(shí)間序列的變化趨勢(shì),超短期預(yù)測(cè)精度高,且加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法比最大Lyapunov指數(shù)法的預(yù)測(cè)精度更高,適合作為電壓有效值時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法。