基于質(zhì)心值及離散度的模糊數(shù)排序

王曉連，王桂祥

(杭州電子科技大學(xué)運(yùn)籌與控制研究所，浙江 杭州 310018)

基于質(zhì)心值及離散度的模糊數(shù)排序

王曉連，王桂祥

(杭州電子科技大學(xué)運(yùn)籌與控制研究所，浙江 杭州 310018)

給出模糊數(shù)的質(zhì)心值的概念，討論其運(yùn)算及性質(zhì)，并基于模糊數(shù)的質(zhì)心值和離散度在模糊數(shù)空間上構(gòu)造了2個用來排序模糊數(shù)的弱序二元關(guān)系.

質(zhì)心值；離散度；弱序；模糊數(shù)的排序

0 引 言

模糊數(shù)的排序具有較強(qiáng)的應(yīng)用背景，一直備受學(xué)者們的關(guān)注，例如，文獻(xiàn)[1]基于距離給出了一種模糊數(shù)的排序方法；文獻(xiàn)[2-3]均給出了一種排序模糊數(shù)的改進(jìn)方法；文獻(xiàn)[4]則提出了一種對推廣了的模糊數(shù)進(jìn)行排序的方法.雖然有關(guān)模糊數(shù)的排序方法方面已獲得的研究成果較多，但其方法的建立基本上都是基于模糊數(shù)的均值這一數(shù)字特征建立起來的.本文直接使用模糊數(shù)的隸屬函數(shù)本身定義了一個能合理、客觀地刻畫該模糊數(shù)的實數(shù)量(本文稱之為“模糊數(shù)的質(zhì)心值”)，并由此構(gòu)造出用來排序模糊數(shù)的模糊數(shù)空間上的弱序二元關(guān)系.本文定義的“模糊數(shù)的質(zhì)心值”與文獻(xiàn)[5-8]所提到的“模糊數(shù)的質(zhì)心”的概念是不同的，因為文獻(xiàn)[5-8]提到的“模糊數(shù)的質(zhì)心值”其實不具有質(zhì)心應(yīng)有的幾何特征.本文通過將模糊數(shù)的隸屬函數(shù)u(x)視為x軸上的密度函數(shù)這一想法來定義“模糊數(shù)的質(zhì)心值”這一概念.這樣定義的“模糊數(shù)的質(zhì)心值”既具有質(zhì)心應(yīng)有的幾何特征，又能夠較好地刻畫(逼近)模糊數(shù)u.

1 預(yù)備知識

X為論域，稱映射u:X→[0,1]為X上的一個模糊集(合)，對任意x∈X，稱值u(x)為x對u的隸屬(程)度，函數(shù)u(x)稱為模糊集(合)u的隸屬函數(shù).

模糊數(shù)是定義在實數(shù)域R上的一種特殊的模糊集：如果u∈F(R)(論域R上的模糊集合的全體)滿足正規(guī)性，模糊凸性，上半連續(xù)，且u的支集的閉包昰緊的，則稱u是一個模糊數(shù).模糊數(shù)的全體稱為模糊數(shù)空間，記為E.

設(shè)u∈E，若存在滿足a0≤a1≤b1≤b0的a0,a1,b0,b1∈R使得

則稱u為梯形模糊數(shù)，記為u=(a0,a1,b1,b0)，用Tra-E表示梯形模糊數(shù)的全體.特殊地，當(dāng)a1=b1時，稱u為三角形模糊數(shù)，記為u=(a0,a1,b0)，用Tri-E表示三角形模糊數(shù)的全體.

設(shè)u∈E，記

稱(L)D(u)和(R)D(u)分別為u的左-離散度和右-離散度，稱D(u)=(L)D(u)+(R)D(u)為u的離散度.

2 模糊數(shù)的質(zhì)心值

引理2.1設(shè)u=(a0,a1,b1,b0)∈Tra-E，則有

性質(zhì)2.1k∈R，u為梯形模糊數(shù)，則有

kB(u)=B(ku).

證明設(shè)u=(a0,a1,b1,b0)，則有

當(dāng)k≥0，對于任意r∈[0,1]，由引理2.1可知

當(dāng)k<0時，與上述方法同理可得B(ku)=kB(u).故kB(u)=B(ku)，性質(zhì)2.1得證.

性質(zhì)2.2k∈R，u，v均為三角形模糊數(shù)，則有

(1)B(u+v)=B(u)+B(v)；

(2)u≤v?B(u)≤B(v).

3 模糊數(shù)的排序

定義3.1定義Tri-E上的一個二元關(guān)系，即(Tri-E)×(Tri-E)上的一個子集“”如下：

={(u,v)∈(Tri-E)×(Tri-E):B(u)≤B(v)}.

如果(u,v)∈，則稱u比v(關(guān)于)小或v比u(關(guān)于)大，并記為uv.

在實際應(yīng)用中，“uv”一般表示u所表示的目標(biāo)或?qū)ο罅佑趘所表示的目標(biāo)或?qū)ο?也即v所表示的目標(biāo)或?qū)ο髢?yōu)于u所表示的目標(biāo)或?qū)ο?.

性質(zhì)3.1對于任意u,v∈Tri-E，則有

(1)uu(自反性)；

(2)uv,vω?uω,?ω∈Tri-E(傳遞性)；

(3)uv和vu中至少有一個成立(完全性).

證明由于B(u)≤B(u)成立，故uu成立，即(1)得證.因uv,vω，所以由定義3.1知，B(u)≤B(v),B(v)≤B(ω)成立，所以B(u)≤B(ω)，即有uω成立，即(2)得證.uv和vu中至少有一個成立，即：B(u)≤B(v)和B(v)≤B(u)中至少有一個成立，這是很顯而易見的，即(3)得證.

例3.1設(shè)u=(0,50,100),v=(0,30,90)，則B(u)=50，B(v)=40，B(u)>B(v)，根據(jù)定義3.1知：u?v.

例3.2設(shè)u=(0,50,100),v=(40,50,60)，則B(u)=B(v)=50，根據(jù)定義3.1，u和v是無法排序的，事實上u和v離散度不同，是兩個不同的模糊數(shù)，因此僅根據(jù)定義3.1所得的結(jié)果在某種程度上可能存在偏差.

定義3.2α,β為兩個取定的大于0的參數(shù)，定義Tri-E上的一個二元關(guān)系，即(Tri-E)×(Tri-E)上的一個子集“α,β”如下：

α,β={(u,v)∈(Tri-E)×(Tri-E):α(B(u)-B(v))+β(D(v)-D(u))≤0}.

如果(u,v)∈α,β，則稱u比v(關(guān)于α,β)小或v比u(關(guān)于α,β)大，并記為uα,βv.

上述所定義的二元關(guān)系同樣滿足性質(zhì)3.1中的3個性質(zhì)，證明過程也是很簡單的.

4 結(jié)束語

本文通過定義模糊數(shù)的質(zhì)心值的概念給出了一種新的模糊數(shù)的排序方法，計算方便，具有一定的合理性、客觀性.本文定義的2個弱序二元關(guān)系，前者比后者計算更方便，后者比前者更具有合理性和客觀性.本文提出的模糊數(shù)排序方法僅排序了一維模糊數(shù)，對于排序多維模糊數(shù)還有待進(jìn)一步研究.

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RankingFuzzyNumbersBasedonCentroidValueandDispersionDegree

WANG Xiaolian, WANG Guixiang

(InstituteofOperationsResearchandControl,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

In this paper, we give the concept of centroid value of fuzzy numbers, and discuss its operation and properties. And then, based on centroid value and dispersion degree of fuzzy numbers, we construct two weak ordered relation used for ranking fuzzy numbers in the fuzzy number space.

centroid value; dispersion degree; weak order; ranking of fuzzy numbers

10.13954/j.cnki.hdu.2017.06.017

2017-02-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(61433001)

王曉連(1992-)，女，河南焦作人，碩士研究生，模糊集合理論及應(yīng)用.通信作者：王桂祥教授，E-mail:g.x.wang@hdu.edu.cn.

O159

A

1001-9146(2017)06-0091-04