“變化多端”的矢量三角形

范旺

在高中物理的靜力學(xué)中，關(guān)于力的矢量運(yùn)算是很重要的內(nèi)容。求解力的問題關(guān)鍵是要建立起幾個(gè)力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（數(shù)學(xué)方程或幾何關(guān)系），把力的關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而求解。其中三個(gè)力形成的矢量三角形是最為常見的一種關(guān)系。這個(gè)力三角形經(jīng)常利用力的合成或力的效果分解來得到，然后通過解三角形求解。當(dāng)這個(gè)力三角形中某一個(gè)或兩個(gè)因素發(fā)生改變時(shí)，就形成了一個(gè)動態(tài)的、變化的三角形。下面就這一問題加以討論：

一、合力與其兩分力構(gòu)成三角形

兩個(gè)力的合力的大小介于兩個(gè)分力之和與兩個(gè)人力之差（絕對值）之間，若兩個(gè)力的夾角不等于0和180度時(shí)，合力與其兩個(gè)分力構(gòu)成一個(gè)三角形。

（1）若合力F一定，把它分解為兩個(gè)大小相等的分力（未知），兩個(gè)力的夾角發(fā)生變化時(shí)，兩個(gè)分力的大小隨著改變。

如圖，三角形的變化表現(xiàn)為頂點(diǎn)在其底邊的中垂線上滑動，不難看出兩個(gè)分力隨夾角的增大而減小，隨夾角的減小而增大。

這與我們體育鍛煉中“引體向上”是一個(gè)道理，兩臂夾角越大，越費(fèi)力。中學(xué)物理不少力學(xué)問題就是以這個(gè)知識點(diǎn)來命題。

例1：用一根輕質(zhì)細(xì)繩將一副質(zhì)量為m的畫框懸掛在墻壁的釘子上上，細(xì)繩的最大張力為mg，如果已知兩掛釘之間的距離為d，則細(xì)繩的最短長度是多少？

例2：如圖所示，繩的一端固定在墻上A點(diǎn)，另一端通過定滑輪吊一重物，桿BC可繞B點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動。桿、滑輪、繩子的質(zhì)量及摩擦均不計(jì)。將繩的A端沿墻稍向下移動，則下列判斷中正確的是

A.繩子拉力、BC桿受到的壓力都增大

B.繩子拉力減小，BC桿受到的壓力增大

C.繩子拉力不變，BC桿受到的壓力增大

D.繩拉力、BC桿受到的壓力都不變

（2）合力F一定，且一個(gè)分力F1方向一定，另一個(gè)分力F2的方向發(fā)生變化。

可看三角形的變化是表示F1的線段的一個(gè)端點(diǎn)在表示F2方向的射線上滑動，當(dāng)垂直時(shí)，F(xiàn)1取得最小值。

（3）若合力F一定，兩分力夾角一定且小于90度時(shí)，則其中一個(gè)分力存在最大值。

該力三角形的變化表現(xiàn)為，直角三角形的一個(gè)外接圓，一點(diǎn)在圓周上移動，可看出一個(gè)分力的最大值為圓的直徑。

二、三個(gè)共點(diǎn)力平衡構(gòu)成三角形

例1.如圖，光滑的擋板和光滑斜面之間夾著一個(gè)小球，當(dāng)緩慢增大角，則小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫θ绾巫兓?/p>

該題不難看出，所得到的三角形兩力的方向一定，同時(shí)其中一力大小確定，另一個(gè)力的一個(gè)端點(diǎn)在滑動。

例2.光滑半球面固定在水平面上，球心正上方懸掛一輕質(zhì)小定滑輪。細(xì)繩通過定滑輪連接小球，小球靠在半球面上，緩慢拉動細(xì)繩，在小球沿球面上升的過程中，球面對小球的支持力和細(xì)繩對小球拉力各如何變化？

例3.如圖所示的裝置中，兩根細(xì)線共同系住一個(gè)小球，兩細(xì)繩間有一夾角，細(xì)繩AC呈水平狀態(tài)，將整個(gè)裝置在紙面內(nèi)順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過90度，在轉(zhuǎn)動過程中保持兩繩夾角不變。則兩繩拉力如何變化？

綜上可以看出，由三個(gè)力組成的三角形，當(dāng)其中某些力發(fā)生變化時(shí)，三角形會隨著改變，因變化的條件不同相應(yīng)有不同的解決方式。諸如上述，有作圖法，三角形相似，正弦定理，對具體問題要具體分析。