MPCK視角：促進(jìn)兒童深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

作者簡介

劉曉萍，女，中學(xué)高級教師，蘇州市中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，現(xiàn)任蘇州市教育科學(xué)研究院小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，多次參與蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫，曾在《江西教育》《中小學(xué)教師培訓(xùn)》《課程教學(xué)研究》《今日教育》等多家期刊發(fā)表數(shù)十篇論文，其中多篇論文被人大復(fù)印中心全文轉(zhuǎn)載或者索引。

所謂MPCK，即是教師關(guān)于特定數(shù)學(xué)內(nèi)容如何組織、表征和調(diào)整以適應(yīng)學(xué)習(xí)者不同興趣和能力，從而進(jìn)行有效教學(xué)的知識。鮑銀霞教授調(diào)查得出：“小學(xué)數(shù)學(xué)教師在內(nèi)容維度上最為薄弱，教學(xué)維度和學(xué)生維度上存在許多亟待解決的問題?！币徽Z中的，我們數(shù)學(xué)老師唯有不斷提高自己的MPCK，才能實(shí)現(xiàn)克萊因所期望的“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)教學(xué)”，才能幫助學(xué)生通過深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)思維的發(fā)展。

一、內(nèi)容維度：從招式走向?qū)I(yè)

王永春老師曾在一次報告中說讀懂教材是教師的基本功。專業(yè)化的數(shù)學(xué)內(nèi)容解讀，就是要求教師用全方位、立體化的視角去鉆研教材，掌握每一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容“是什么”“為什么”，了解它在板塊中的位置、意義、作用，與其他內(nèi)容的縱聯(lián)關(guān)系，依照知識的邏輯性、系統(tǒng)性、連貫性的順序，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的新舊聯(lián)系、從低到高、螺旋上升，以知識序確定教學(xué)序并確定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)素材、教學(xué)活動、輕重詳略。

比如“認(rèn)識乘法”，是在學(xué)生理解了加、減法的含義，掌握了100以內(nèi)加、減法運(yùn)算的基礎(chǔ)上安排的。另外，乘法運(yùn)算作為四則運(yùn)算之一，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)除法運(yùn)算和解決相關(guān)實(shí)際問題的直接基礎(chǔ)。學(xué)生建立乘法的概念，需要結(jié)合實(shí)例，通過觀察、操作、比較、分析、抽象、概括等具體活動，從豐富的感性材料中抽象出“求幾個幾相加→加法算式→兩道乘法算式”，進(jìn)而初步理解乘法概念的含義。

而概念的引入需要提供大量的感性材料，乘法亦是如此。教材增加了“兔有幾個2只？雞有幾個3只？”的問題，是為了進(jìn)一步凸顯“幾個幾相加”的抽象過程，逐步把握乘法概念的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知飛躍，既完成了乘法概念的自主建構(gòu)，又初步感悟了數(shù)學(xué)抽象的過程，積累了教學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，也使數(shù)學(xué)教學(xué)真正由“雙基”向 “四基”轉(zhuǎn)變。

同時，概念的建構(gòu)需要安排豐富的認(rèn)知體驗(yàn)。教學(xué)時，一方面要通過典型實(shí)例，使學(xué)生知道“求幾個相同加數(shù)的和，可以用乘法計算”，另一方面要適當(dāng)增加問題情境的復(fù)雜性，使學(xué)生真切感受到有些“求幾個相同加數(shù)的和”的問題用乘法計算比較簡便。獲得這樣的體驗(yàn)，不但可以幫助學(xué)生深刻感受乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)價值，而且有助于學(xué)生體會乘法和加法的聯(lián)系，加深對乘法的認(rèn)識。

概念的內(nèi)化還需要組織有層次的練習(xí)。學(xué)生通過看一看、擺一擺、想一想、填一填等具體的活動，獲得對乘法意義的豐富感知，體會加法與乘法之間的聯(lián)系，把握乘法概念的本質(zhì)。

再如“分?jǐn)?shù)”的教學(xué)，若要使學(xué)生切實(shí)理解分?jǐn)?shù)運(yùn)算規(guī)則，兒童必須先行掌握分?jǐn)?shù)的以下七個特性：1.沒有一個可以分割的整體，就不可能有分?jǐn)?shù)的思想。2.一個分?jǐn)?shù)蘊(yùn)含著一定數(shù)目的部分，定量的分配是以分成的人數(shù)必須與享受者的數(shù)目相一致為條件的。3.一個確定的分?jǐn)?shù)的第三個特點(diǎn)是完全的劃分，即沒有剩余的部分。4.整體所分成的份數(shù)和分割的次數(shù)之間存在著固定的關(guān)系。5.算術(shù)上的分?jǐn)?shù)概念意指各個部分都是相等的。6.它們都是原來整體的部分，同時本身也是一個能夠進(jìn)一步再分的整體，它們形成一個構(gòu)造的序列。7.分?jǐn)?shù)是與它所來自的整體相聯(lián)系的，整體保持著不變性。

二、學(xué)生維度：從釋然走向?qū)嵢?/p>

1. 情境導(dǎo)心

創(chuàng)設(shè)合適情境是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的一個關(guān)鍵。因?yàn)閿?shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)，一是基于對核心素養(yǎng)的理解與認(rèn)識，二是為了激發(fā)內(nèi)在動機(jī)，讓學(xué)習(xí)任務(wù)對人的學(xué)習(xí)能力引起挑戰(zhàn)。

“倍的認(rèn)識”一課，徐斌老師創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：

師：春暖花開，同學(xué)們來到學(xué)?；▔；▔镩_滿了鮮花。圖中有哪幾種顏色的花？你能分別數(shù)數(shù)有幾朵嗎？

生1：有藍(lán)、黃、紅三種顏色的花。

生2：藍(lán)花有2朵 ……

師：根據(jù)這些已知信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

師：同學(xué)們提出的問題都很有道理。其中，不少同學(xué)提出了比較兩種花多少的問題，也就是求兩個數(shù)量相差多少。其實(shí)，比較兩個數(shù)量除了我們已經(jīng)學(xué)過的求相差多少，還有另一種方法——倍。

倍的知識來源于比較。從“差比”到“倍比”，是學(xué)生認(rèn)識上的一個飛躍，需要教師從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生從舊知起步逐步學(xué)習(xí)新知。同時，讓學(xué)生面對三種花的數(shù)量，自己提出數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

2.明理促思

數(shù)學(xué)教學(xué)處處皆有道理，教學(xué)要做到有理可循、有理有據(jù)，才能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引向深入。教師應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)有所了解和掌握，理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，引領(lǐng)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)知識的本源，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)之理，讓學(xué)生感受到這樣的數(shù)學(xué)道理是可以理解的。

比如，關(guān)于負(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有很多原型。“認(rèn)識負(fù)數(shù)”一課的導(dǎo)入，是選擇“溫度計”還是“負(fù)債”模型，粗看上去差不多，前者是從負(fù)數(shù)在生活中的應(yīng)用來引入，而后者是從負(fù)數(shù)的發(fā)展史來引入。東方數(shù)學(xué)最早接受負(fù)數(shù)，是因?yàn)樗麄冃枰鉀Q生活中具有相反意義的量的實(shí)際問題，像收入、支出、盈余、不足都自然地具有相反意義的量，因此，利用它們能很自然地理解負(fù)數(shù)的意義。

3.體驗(yàn)積智

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的觀察、實(shí)驗(yàn)、傾聽、思考等均屬于深度體驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式。一如老師們常用的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，便是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂研究數(shù)學(xué)問題的良好體驗(yàn)方法，學(xué)生借助直觀操作和形象描繪，做學(xué)玩合一，思創(chuàng)行一體，在體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識從具體逐漸走向抽象的過程中，理解相關(guān)的數(shù)學(xué)原理，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

當(dāng)然，積累了一定的思維活動經(jīng)驗(yàn)，又有可能會阻礙進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在一節(jié)公開課上，鄒柯老師問學(xué)生：“1、2、3、4、5是什么數(shù)？”學(xué)生說“整數(shù)。”老師續(xù)問：“還是什么數(shù)？”學(xué)生說：“自然數(shù)?！崩蠋熢賳枺骸斑€是什么數(shù)？”學(xué)生茫然不知如何作答，老師兩次提示 “正……”學(xué)生仍然答不出“正整數(shù)”。這是什么原因？原來學(xué)生把自然數(shù)分為正整數(shù)、整數(shù)、0。不過，教學(xué)中為什么學(xué)生很難意識到這樣的分類是錯誤的？學(xué)生把自然數(shù)分為正整數(shù)、整數(shù)、0，有什么樣的價值？原來，學(xué)生的數(shù)學(xué)啟蒙，大多是從學(xué)數(shù)1、2、3開始，待掌握了9、10之后才回過頭來認(rèn)識0，何況學(xué)習(xí)1、2、3等數(shù)的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于學(xué)習(xí)0的時間，因此學(xué)生在多年的強(qiáng)化中，將0排斥在了整數(shù)之外。還有，學(xué)生很少接觸負(fù)數(shù)，心理上抵觸-1、-2等數(shù)也屬于整數(shù)，在很長一段時間里，學(xué)生理所當(dāng)然地認(rèn)為整數(shù)就是正整數(shù)。因此課堂教學(xué)中，老師總要為知識的生長埋下一些種子，例如0與1、-1的同步認(rèn)識，這些種子知識可能學(xué)生暫時有困惑，但困惑何嘗不是求知的原動力，何嘗不是將來某個知識點(diǎn)的支點(diǎn)。endprint

三、教學(xué)維度：從經(jīng)驗(yàn)走向理性

1.教學(xué)設(shè)計視野寬

基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計，既要體現(xiàn)立德樹人的育人理念，更要彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，也就是凸顯“兒童基點(diǎn)，學(xué)科視野”這兩大特點(diǎn)，體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容所承載的實(shí)用價值、理性價值（數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心）和發(fā)展價值。正是因?yàn)檫@些獨(dú)特且豐富的育人價值開發(fā)，學(xué)科教學(xué)才有可能生成豐富而又多元的資源，學(xué)生的精神世界的發(fā)展才有可能從中獲得多方面的滋養(yǎng)，才有可能不斷豐富和完善自己的生命世界。

如：在沒有括號的四則混合運(yùn)算中為什么要先乘除后加減，可能是很多老師也說不清的。訪談得到的答案一般有兩種，一是認(rèn)為是規(guī)定，二是認(rèn)為乘除法是加減法的高級形式，所以要先乘除后加減。其實(shí)兩種說法都沒有道出運(yùn)算順序的本質(zhì)。要讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，如果我們教學(xué)的內(nèi)容都沒有真正理解，結(jié)果可想而知。四則混合運(yùn)算順序這種“規(guī)定”的背后有深刻的道理，有數(shù)學(xué)的思想和方法。那我們的教學(xué)就要讓學(xué)生明白這樣的道理，觸摸“規(guī)定”，感悟這知識背后的思想和方法，這樣的學(xué)習(xí)才是深入的。

可以看出，四則混合運(yùn)算的教學(xué)關(guān)鍵是讓學(xué)生理解運(yùn)算順序并了解它的由來，教學(xué)的重點(diǎn)是指向算理的深度理解，教學(xué)的目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，要讓學(xué)生依據(jù)自身的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識，探索并“創(chuàng)造”出四則混合運(yùn)算的“序”，讓“序”有理，讓“序”有型，讓“序”有值，從而實(shí)現(xiàn)讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的目標(biāo)。

2.核心問題引領(lǐng)探究

著名數(shù)學(xué)家P. Harmous 強(qiáng)調(diào)“問題是關(guān)鍵”，數(shù)學(xué)概念、定理、模型和應(yīng)用都是在解決問題的過程中總結(jié)形成的。在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中，特別強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題與分析解決問題的能力，在基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度學(xué)習(xí)中，這也是關(guān)注的重點(diǎn)。

例如“近似數(shù)”一課，教師設(shè)計了這樣三個核心問題：“為什么要有近似數(shù)？什么是四舍五入？怎么運(yùn)用近似數(shù)？”在層層遞進(jìn)式的核心問題引領(lǐng)下，學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、交流的過程，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，并獲得良好的、積極的情感體驗(yàn)。

3.評價多元化

指向數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)生經(jīng)歷深度學(xué)習(xí)的過程，即不僅考查對知識與技能的掌握情況，而且注重考查學(xué)生對其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，更多地關(guān)注對數(shù)學(xué)方法、思想本身的理解，以及在理解基礎(chǔ)上具體情境中的合理運(yùn)用。

教學(xué)中，可以關(guān)注學(xué)生“對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)持久的興趣”，并從以下方面進(jìn)行評價：（1）喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)擁有好奇心；（2）喜歡探求新問題，對學(xué)習(xí)內(nèi)容高度關(guān)注；（3） 能用數(shù)學(xué)的眼光來關(guān)注生活，從生活世界中捕捉數(shù)學(xué)問題。學(xué)生“數(shù)學(xué)應(yīng)用能力”可從以下方面進(jìn)行評價：（1）能靈活掌握所學(xué)知識，對相關(guān)知識能夠理解和熟記；（2）能結(jié)合具體的情境，有依據(jù)地進(jìn)行合情的推理和判斷；（3）能應(yīng)用所學(xué)知識靈活解決實(shí)際問題。

以考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力為例，可以設(shè)計如下問題情境：李紅的爸爸開車出門，在駕駛期間，一只貓跑到了汽車前面。他猛踩剎車，躲過了那只貓，但心里有點(diǎn)受驚的感覺，于是決定回家。下圖簡略地記錄了李紅的爸爸駕駛期間汽車的速度。

（1）在李紅的爸爸駕駛期間，汽車的最大速度是多少？

（2）為了躲避那只貓，爸爸猛踩剎車的時間點(diǎn)是多少？

（3）爸爸回家的路程，跟他出門的距離一樣嗎？利用圖表中所給的信息，寫出一個解釋來說明你的答案。

人們追求可靠性、確定性的時候，只剩下一塊安寧的綠洲，就是數(shù)學(xué)。但長期以來，數(shù)學(xué)看重知識的邏輯結(jié)構(gòu)和形式化體系，加之?dāng)?shù)學(xué)課程在“應(yīng)試”中所占有的重要地位，使得“解題”一度成為數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標(biāo)，這種“見數(shù)不見人”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀在實(shí)踐中已經(jīng)形成諸多弊端。教育就其本質(zhì)來說“是人生存的需要，教育是主動的行為，每個人都有受教育的欲望”。因此，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)著數(shù)學(xué)教師對MPCK的深度理解。

（作者單位：江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院）

□責(zé)任編輯 李杰杰

E-mail：731836457@qq.comendprint