三角形問題中避免增解的常用策略

江蘇 王安寓 范賢麗

三角形問題中避免增解的常用策略

江蘇 王安寓 范賢麗

計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要技能．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是新課標(biāo)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要起源，更是數(shù)學(xué)后續(xù)發(fā)展思想方法的源泉．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個角落．三角形問題中離不開計(jì)算，但有些三角形問題的計(jì)算往往會出現(xiàn)增解，如何避開增解呢？首先，要弄清楚產(chǎn)生增解的原因，然后根據(jù)產(chǎn)生增解的原因?qū)ふ覍?yīng)的解決策略．造成解三角形問題的增解的原因，主要有運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方、由正弦值求角的運(yùn)算、鈍角或銳角的充要條件等等．根據(jù)增解原因，思考對應(yīng)的解決策略：少用開方、少用正弦、縮小角的范圍、找準(zhǔn)鈍角或銳角的充要條件等等．

策略一：能用倍角，符號內(nèi)蘊(yùn)，不用開方

(Ⅰ)求sinB；

點(diǎn)評：當(dāng)出現(xiàn)平方關(guān)系需要開方時，一定要小心，要判斷清楚符號，才能實(shí)施開方運(yùn)算．當(dāng)題設(shè)中存在倍數(shù)關(guān)系時，要優(yōu)先選擇倍數(shù)關(guān)系，避開出現(xiàn)開方造成增解．

策略二：能用余弦，或者正切，不用正弦

分析：由條件易求sinA, sinB，再由和角公式求C的某一三角函數(shù)值．

由于是限制在三角形中，角的范圍往往是(0,π)，因此，要多求余弦或正切，而少用正弦．

錯解：設(shè)P(x,y)在第一象限，

即a4-16a2+48=0，解得a2=4或12，

正解：設(shè)P是第一象限的點(diǎn)，設(shè)|PE|=m,|PF|=n，則m-n=2a，則余弦定理有

4c2=m2+n2-mn=(m-n)2+mn，∴mn=4b2，

策略三：鈍角銳角，充要條件，避開增解

【例4】鈍角三角形ABC中，a=1，b=2，則最大邊c的范圍是________．

分析：最大邊所對的角一定為鈍角．由cosClt;0求得c的范圍．

錯因分析：顯然c不能取很大的值．實(shí)際上，c=5gt;a+b，構(gòu)不成三角形．

在三角形中，一般用余弦定理就能避開增解，為什么本題出現(xiàn)了增解？請先思考：cosClt;0C為鈍角嗎？也就是說，cosClt;0是C為鈍角的必要不充分條件．cosClt;0中還包含cosC=-1！C為鈍角lt;Clt;π-1lt;cosClt;0．因此，在附加條件“三角形”下，C為鈍角的充要條件是-1lt;cosClt;0．

正解：∵c是最大邊，△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角，∴-1lt;cosClt;0，

點(diǎn)評：在△ABC中，角A為鈍角-1lt;cosAlt;0；角A為銳角0lt;cosAlt;1．

銳角三角形ABC

筆者不禁回想起向量夾角為鈍角的問題．能借鑒嗎？

題目(必修4P85練習(xí)5改編)設(shè)向量a=(x,4)，b=(-2,-1)，向量a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．

解析：a與b的夾角為鈍角a·blt;0且a與b不共線-2x-4lt;0且-x≠-2×4xgt;-2且x≠8．

在處理向量夾角為鈍角時，采用剔除法：在a·blt;0中剔除a與b共線，相當(dāng)于排除a與b的夾角為π(當(dāng)然也包含0)的情形．這種解法能借鑒到三角形中鈍角問題．

如，例4也可以采用向量的解法．

這種解法是最本質(zhì)的解法．

這啟發(fā)我們，解三角形問題，完全可以用解析法．

策略四:用已知角，表示待角，避開增解

分析：由題意求角A，用余弦定理求邊c．

∴a2=7=32+c2-3c，解得c=1或2．

點(diǎn)評：由正弦定理求邊所構(gòu)建的方程是一次式，其解也唯一．因此，不會出現(xiàn)增解．與策略一比較，應(yīng)能體會求邊與求角的不同處理方式．本題中，“銳角三角形ABC”是指A,B,C都是銳角，不能只看一個角或兩個角．本題求邊c，也可以用射影定理求解．c=acosB+bcosA=2．

策略五:比較函值，確定角圍，避開增解

分析：求出sinB,cosC，運(yùn)用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解．

點(diǎn)評：比較正弦值，結(jié)合正弦定理，得到邊的關(guān)系，再根據(jù)大角對大邊、大邊對大角的結(jié)論，確定角的范圍，是求解某些三角形問題的常用方式．挖掘隱含條件，縮小角的范圍，是求解三角形問題必須考慮的．

策略六:二次方程，多解檢驗(yàn)，避開增解

(Ⅰ)求角C的大??；

(Ⅱ)若a2=2b2+c2，求tanA的值．

分析：(Ⅰ)根據(jù)向量共線得到關(guān)于cosC的方程，解方程并注意范圍；(Ⅱ)由邊的關(guān)系聯(lián)想正弦定理，降次、萬能公式或化切，解方程即可．

(Ⅱ)∵a2=2b2+c2,

正解1：由余弦定理得c2=a2+b2-ab，

∴a2=2b2+c2=2b2+a2+b2-ab，∴ab=3b2，

∴a=3b，

正解2：仿上得a=3b，

江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級中學(xué))