離心率求解策略例談

河北 朱建國

離心率求解策略例談

河北 朱建國

圓錐曲線作為比較重要的一種曲線類型，由于其特殊的形式和性質(zhì)而頻繁出現(xiàn)在高考試題中.而離心率是描述圓錐曲線形狀特征的一個(gè)重要概念，是三類二次曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)統(tǒng)一定義的橋梁和紐帶.離心率問題內(nèi)涵豐富且綜合性強(qiáng)，歷年來是高考中的考查重點(diǎn)和熱點(diǎn).

對于求圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍.本文結(jié)合實(shí)例，分析求解離心率的常用策略.

一、借助定義(或第二定義)求離心率

【解析】由雙曲線的定義可知||PF2|-|PF1||=2a,

又|PF1|=4|PF2|，所以|PF1|-|PF2|=2a.

【評注】點(diǎn)P在橢圓或雙曲線上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的定義|PF2|+|PF1|=2a；雙曲線的定義||PF2|-|PF1||=2a.

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A.(1,2) B.(2,+∞)

C.(1,5) D.(5,+∞)

所以3e2-5e-2gt;0，即(3e+1)(e-2)gt;0.

又egt;1,所以egt;2.故選B.

【評注】由圓錐曲線的第二定義可知，圓錐曲線的離心率e是平面上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和該動(dòng)點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比，特別適用于條件中含有焦半徑的問題.

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，

由|PF1|是P點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)知|PF1|2=d×|PF2|，

由于P是雙曲線左支上一點(diǎn)，故有x0≤-a，

整理得a2=3c2，

二、利用方程思想求離心率

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【評注】根據(jù)題設(shè)條件，借助a，b，c之間的關(guān)系，列出關(guān)于a，c的方程關(guān)系式，進(jìn)而得到關(guān)于離心率e的方程，從而通過解方程來得到離心率e，關(guān)鍵是構(gòu)造相應(yīng)的方程，但解方程時(shí)要注意對應(yīng)圓錐曲線的離心率的特征.

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三、數(shù)形結(jié)合求離心率

【解析】如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為T，

【評注】離心率具有明確的幾何意義，在某些問題中，借助數(shù)形結(jié)合，由“數(shù)”到“形”加以轉(zhuǎn)化，畫出合適圖形，找出a，b間的關(guān)系，則雙曲線的離心率的求解過程會相對便捷很多，能夠大大提高解題速度和正確率.

【變式4】已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為

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四、利用焦點(diǎn)三角形求離心率

【解析】 根據(jù)正弦定理，

因?yàn)閑gt;1，所以PF1gt;PF2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上．

又PF1-PF2=ePF2-PF2=PF2(e-1)=2a，

橢圓的焦點(diǎn)三角形是指以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2與橢圓上任意一點(diǎn)P為頂點(diǎn)組成的三角形，靈活運(yùn)用其定義和性質(zhì)也可求解離心率.

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【簡解】本題可以用焦點(diǎn)三角形求解,

由對稱性AF2=BF2，只要∠AF2Blt;90°?∠AF2F1lt;45°即可滿足△ABF2為銳角三角形，

五、利用函數(shù)思想求離心率

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【解析】根據(jù)雙曲線離心率公式，顯然

【評注】當(dāng)所求離心率轉(zhuǎn)化為某參數(shù)的二次函數(shù)(或類二次函數(shù))時(shí)，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定離心率的范圍；如果能夠構(gòu)造出現(xiàn)夾角，就可以將離心率轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)求最值，進(jìn)而求得離心率.

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A．(1,3) B．(1,3]

C．(3,+∞) D．[3,+∞)

六、利用向量求離心率

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【簡解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，

又O是FF1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PF1，

由|PF|2+|PF1|2=|FF1|2，|PF1|=a，

|PF|=2a+|PF1|=3a，所以9a2+a2=(2c)2，

由上可見，離心率的求解方法多種多樣，我們在處理有關(guān)離心率的問題時(shí)，必須注意分析判斷問題的類型，以選擇合適的方法進(jìn)行求解.

七、結(jié)合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率

【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，

【評注】如果題中給出直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可以根據(jù)相關(guān)的條件建立含a,b,c的方程，也可以進(jìn)一步求得離心率.

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河北省衡水市第一中學(xué))