突破探究性問(wèn)題的幾種有效策略

四川 蔡勇全 趙菊英

突破探究性問(wèn)題的幾種有效策略

四川 蔡勇全 趙菊英

探究性問(wèn)題是運(yùn)用已有知識(shí)，利用觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索和研究的一類問(wèn)題，其立意具有新穎性，思維具有發(fā)散性，解法具有探索性，結(jié)論具有多元性，因而備受各級(jí)各類考試命題者的青睞.本文借助實(shí)例，介紹突破探究性問(wèn)題的幾種有效策略，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法，以期拋磚引玉.

一、特值探路法

當(dāng)我們面臨一道難以入手的一般性題目時(shí)，不妨以退為進(jìn)，退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題，即對(duì)題設(shè)條件取某些特殊值，然后探求出結(jié)論或滿足結(jié)論所需要的某些條件，并予以驗(yàn)證或證明.

例1已知不等式a(4-sinθ)4+cos2θ-3+agt;0對(duì)一切θ∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)注特值探路法實(shí)質(zhì)上是特殊化思想在解題中的體現(xiàn)，先行運(yùn)用特值試探可以將繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，就像在大海里航行的船只發(fā)現(xiàn)了航線中的燈塔，能使人準(zhǔn)確定位,快速答題，高效且省時(shí)省力.

二、觀察猜想法

當(dāng)題目中給出幾個(gè)具體的關(guān)系式，要求寫出一般性規(guī)律或后續(xù)某一項(xiàng)的具體形式或結(jié)果，可通過(guò)觀察、分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)或猜測(cè)得到結(jié)果，必要時(shí)還應(yīng)按要求對(duì)猜測(cè)結(jié)論進(jìn)行證明.

例2給出下列等式:

①cos2α=2cos2α-1；

②cos4α=8cos4α-8cos2α+1；

③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1；

④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1；

⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以得出，m-n+p=________.

解析下面通過(guò)觀察各等式中各項(xiàng)系數(shù)的變化規(guī)律，作出猜想.

(1)先觀察各等式右邊的首項(xiàng)系數(shù):2=21，8=23，32=25，128=27，猜想m=29=512；

(2)再觀察各等式倒數(shù)第2項(xiàng)的系數(shù):2=12+12，-8=-(22+22)，18=32+32，-32=-(42+42)，猜想n=52+52=50.

(3)最后觀察各行右邊各項(xiàng)系數(shù)之和:2-1=1，8-8+1=1，32-48+18-1=1，128-256+160-32+1=1，猜想⑤中應(yīng)有512-1280+1120+50+p-1=1，得p=-400.

綜上所述，m-n+p=512-(-400)+50=962.

變式觀察下列各式:

……

提示下面通過(guò)觀察各等式中n的取值與等式右邊指數(shù)的變化規(guī)律，作出猜想.

第一個(gè)等式中，n=1，右邊式子為40=41-1；

第二個(gè)等式中，n=2，右邊式子為41=42-1；

第三個(gè)等式中，n=3，右邊式子為42=43-1；

Woodruff顧客價(jià)值層次模型認(rèn)為顧客感知價(jià)值具有3個(gè)不同層次，即基于產(chǎn)品屬性的價(jià)值感知，基于使用結(jié)果的價(jià)值感知與基于使用目的的價(jià)值感知，3種價(jià)值感知之間存在層次影響關(guān)系，且具有“自上而下”與“自下而上”兩種影響關(guān)系，“自下而上”主要應(yīng)用于對(duì)產(chǎn)品屬性的完善以達(dá)到消費(fèi)者使用結(jié)果，從而強(qiáng)化消費(fèi)者的需求[18]853。本文主要對(duì)“自下而上”即“屬性-結(jié)果-目的”層次關(guān)系進(jìn)行實(shí)證研究，并且基于游客感知視角，依據(jù)感知價(jià)值層次模型的關(guān)聯(lián)程度提供完善鄉(xiāng)村旅游地游客中心的功能的對(duì)策。

第四個(gè)等式中，n=4，右邊式子為43=44-1；

……

猜想，第n個(gè)等式的右邊為4n-1.

評(píng)注此類問(wèn)題有效地考查了學(xué)生由特殊到一般的歸納推理能力，解題時(shí)，能否完成歸納，關(guān)鍵在于能否通過(guò)觀察、抽象、概括出隱藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律.

三、逆推判斷法

當(dāng)題目中要求判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立時(shí)，可采用逆推的策略，即先假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或暫且認(rèn)可其中一部分結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論的證明.

(Ⅰ)令bn=an+1-an-1，求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

評(píng)注上例及其變式分別是從某一數(shù)學(xué)對(duì)象最終存在、不存在兩個(gè)角度進(jìn)行設(shè)計(jì)，值得一提的是，逆推時(shí)，常見的數(shù)學(xué)對(duì)象不存在的依據(jù)可能是導(dǎo)出了常識(shí)性的錯(cuò)誤，也可能是導(dǎo)出了知識(shí)深度性錯(cuò)誤，所以解題策略應(yīng)往這兩方面考慮.

四、分類整合法

在探究性問(wèn)題中，由于參數(shù)的變化或元素的位置關(guān)系可能有多種情況發(fā)生，因此往往需要用分類整合的方法進(jìn)行探索或排除，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類整合，可避免以偏概全，防止丟值漏解.

例4已知{an}為正項(xiàng)等差數(shù)列，{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，是否存在實(shí)常數(shù)a，使an-a1=logabn-logab1對(duì)一切n∈N*恒成立？若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=ntn+t(tgt;0)，數(shù)列{an}是否存在最大的項(xiàng)？若存在，指出是第幾項(xiàng)最大；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

提示an-an+1=ntn-(n+1)tn+1=tn[n(1-t)-t].

(1)當(dāng)t≥1時(shí)，易知an-an+1lt;0，即a1lt;a2lt;a3lt;…，所以數(shù)列{an}不存在最大項(xiàng)；

五、聯(lián)想類比法

當(dāng)題目中事先給出某一數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)或特征，要求指出與該數(shù)學(xué)對(duì)象處于同一體系內(nèi)或不同維度下另一種數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)或特征，解決此類問(wèn)題，常需進(jìn)行類比、分析、聯(lián)想，或構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，或?qū)?wèn)題從低維推廣到高維，最終給出具體答案或得出新的結(jié)論.

試對(duì)空間中的四面體V-BCD寫出具有類似的結(jié)論，并加以證明.

四川省資陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 四川省資陽(yáng)市雁江區(qū)第二中學(xué))