平面向量面積比問題的探究與應用

安徽 趙艷麗

平面向量面積比問題的探究與應用

安徽 趙艷麗

這是一道平面向量面積比問題，小題中的難題，在高考、競賽試題中時有出現，有沒有什么方法可以幫助我們快速、準確地解決這類問題呢？

一、面積比與系數的關系

證明：作PD∥AC交AB于D,PE∥AB交AC于E,

即△APB的高h1與△ABC的高h之比為μ，

即S△PAB∶S△ABC=μ∶1.

同理，S△PAC∶S△ABC=λ∶1，即S△PAB∶S△PAC=μ∶λ.

觀察圖形易得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC∶S△ABC=μ∶λ∶(1-μ-λ)∶1.

二、面積比與P點位置無關

若P點位于其它6個區(qū)域呢？是否也有類似結論呢？

探究2：我們知道笛卡爾建立的平面直角坐標系架起了幾何與代數的橋梁，能不能用代數方法解決這個幾何問題呢？

證明：以A點為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系.

可設B(b,0),C(a,c),P(x,y)，

即P(λb+μa，μc).

而lAC:cx-ay=0，lBC：cx-(a-b)y-bc=0.

從而，點P到邊AB，AC，BC的距離分別為

dAB=|μ|·|c|，

故S△PAB∶S△PAC∶S△PBC∶S△ABC=|μ|∶|λ|∶|μ+λ-1|∶1.

解析：解題的過程中,化歸思想非常重要.轉化如下：

則S△PAB∶S△PAC∶S△PBC∶S△ABC

=|μ|∶|λ|∶|μ+λ-1|∶1

=|l|∶|n|∶|m|∶|m+n+l|.

兩個結論本質上具有共通性，接下來嘗試利用第二個結論再解應用1.

安徽省滁州市定遠縣定遠中學)