關(guān)于q-差分方程形式解的兩個(gè)重要定理

劉富裕，王學(xué)芳， 曹 健

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

關(guān)于q-差分方程形式解的兩個(gè)重要定理

劉富裕，王學(xué)芳， 曹 健

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

文章得到了兩個(gè)關(guān)于q-差分方程形式解的定理，它很好的把差分方程與q-算子Dxy及θxy聯(lián)系起來(lái).利用此定理，可以優(yōu)化一些經(jīng)典公式、定理的證明.文章的第三、四部分將會(huì)有詳細(xì)說(shuō)明.

q-指數(shù)算子；q-差分方程; 差分方程；Euler公式；Rogers-Szeg?多項(xiàng)式；q-Mehler公式

0 引言

眾所周知，q-算子對(duì)應(yīng)的差分方程，以及它形式解的應(yīng)用，是當(dāng)今計(jì)算數(shù)學(xué)研究的重要課題之一.Dq，θq算子對(duì)應(yīng)的差分方程形式解以及它們推廣的研究，已經(jīng)相當(dāng)成熟了.

2009年Lu[1]和Liu[2]分別把T(a,bDq),TbDq算子與q-差分方程巧妙的結(jié)合，并利用這種關(guān)系給出了許多推廣和應(yīng)用.2014年Cao[3]把差分方程的形式解，由原來(lái)含有3個(gè)參數(shù)的f(a,b,c)推廣到5個(gè)參數(shù)f(a,b,c,d,e).

另外，自2003年Chen，F(xiàn)u，Zhang[4]定義算子Dxy以來(lái)，眾多學(xué)者深入研究了Dxy算子問(wèn)題，也獲得許多有意義的結(jié)果.其中，Saad，Sukhi[5]在Chen，F(xiàn)u，Zhang[4]的基礎(chǔ)上得到

并且給出了θxy算子的定義

進(jìn)而得到

然而，對(duì)于作用于兩個(gè)參數(shù)的Dxy,θxy算子與差分方程的結(jié)合，卻一直鮮有研究.這導(dǎo)致它們的拓展與推廣很受限制.鑒于此，本文受Liu[2]啟發(fā)，將q-算子Dxy,θxy與差分方程巧妙結(jié)合，并給出了應(yīng)用和推廣.

(Ⅰ)f(x,y,z)是一個(gè)含3個(gè)參數(shù)的函數(shù)，且f(x,y,z)=(0,0,0)∈C.若f(x,y,z)滿足差分方程

(x-q-1y)f(x,y,z)-z[f(x,yq-1,z)-f(xq,y,z)]+(yq-1-x)f(x,y,zq)=0.

那么有：

(Ⅱ)f(x,y,z)是含有3個(gè)參數(shù)的函數(shù)，并且(x,y,z)∈3,滿足差分方程：

(q-1x-y)[f(x,y,z)-f(x,y,zq)]=z[f(q-1x,y,z)-f(x,yq,z)].

那么有：

第三、四部分論述了它們的對(duì)經(jīng)典公式的拓展與推廣.

1 預(yù)備知識(shí)

該文中，設(shè)0lt;qlt;1,對(duì)文所用的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)作出如下規(guī)定[6]：

定義1對(duì)于任意的a,q∈C，定義q-升階乘為：

定義2對(duì)于任意的a,q∈C,定義q-升階乘為：

定義3對(duì)于任意的n,k∈N，定義q-二項(xiàng)式系數(shù)為：

定義4基本超幾何級(jí)數(shù)r+1φr和左右對(duì)稱的基本差幾何級(jí)數(shù)：

由上面的定義，很容易得到下列關(guān)系式：

(a;q)n=(a;q)∞/(aqn;q)∞.

定義5對(duì)任意的函數(shù)f(x)，q-微分算子定義為：

定義6(q-Leibniz法則) 設(shè)n≥0,則下列式子成立[7]：

式(7)的證明可參閱S. Roman[8]，Chen-Liu[9]，式(8)的證明可參閱Al-Salam-Verma[10]S. Roman[8].

定義7對(duì)任意的函數(shù)f(x，y)，q-微分算子定義為[4-5]：

兩者有以下關(guān)系：

定義8對(duì)齊次q-算子Dxy,θxy算子有以下定義[4-5]：

2 關(guān)于q-差分方程形式解的兩個(gè)重要定理

定理1f(x,y,z)是含有3個(gè)參數(shù)的函數(shù)，并且(x,y,z)∈C3,滿足差分方程：

那么有：

定理2f(x,y,z)是含有3個(gè)參數(shù)的函數(shù)，并且(x,y,z)∈3,滿足差分方程：

那么有：

證明首先證明定理1， 可以設(shè)函數(shù)為:

經(jīng)過(guò)變形以及f(x,y,z)的代入，可得：

對(duì)比當(dāng)?shù)仁絻蛇卋n的系數(shù)(n≥1)，可得：

通過(guò)迭代，可得：

通過(guò)計(jì)算可以得出A0(x,y).在等式(19)中令z=0，可以直接推出A0(x,y)=f(x,y,0),所以有：

即定理1得證.

同理，定理2也得證. 證畢.

3 Euler算子公式的證明

定理3對(duì)于算子Dxy和θxy，有以下重要定理[5，11]：

證明首先證明定理(24)

可設(shè)：

經(jīng)驗(yàn)證滿足差分方程(15)：

即為定理1.

于是得出等式：

因此定理(24)得證.

同理，可以驗(yàn)證：

滿足差分方程(17)：

也即為定理2.

所以:

于是定理(25)得證. 證畢.

4 含三個(gè)變量的Rogers-Szeg?多項(xiàng)式

在此定義3個(gè)變量的Rogers-Szeg?多項(xiàng)式為hn(x,y,z/q),其中x,y,z為參數(shù).Rogers-Szeg?多項(xiàng)式在正交多項(xiàng)式理論和q-多項(xiàng)式中扮演重要角色.Rogers是第一個(gè)對(duì)這些多項(xiàng)式研究的學(xué)者[12],而后就是Szeg?[13]，這些多項(xiàng)式中最重要的一個(gè)是q-Mehler公式.在這一部分，我們要說(shuō)明q-Mehler 公式是定理1 的直接推論. 已知q-二項(xiàng)式系數(shù)被定義為：

3個(gè)變量Rogers-Szeg?多項(xiàng)式被定義為[5]：

另外由二項(xiàng)式定理有[5]：

這里max{|xt|,|zt|}lt;1. 這部分主要結(jié)果是以下公式的拓展.

定理4f(x,y,z)是3個(gè)參數(shù)的函數(shù),(x,y,z)∈3滿足定理1，而且f(x,y,0)有以下定義：

這里的cn是獨(dú)立于x,y的，有：

證明由已知條件

很容易發(fā)現(xiàn)

由定理1和式(32)得

f(x,y,z) =J(zDxy){f(x,y,0)}=

定理4證畢.

由定理4，我們可以利用Rogers-Szeg?多項(xiàng)式給出一個(gè)證明q-Mehler公式的方法.

定理5q-Mehler公式[5]:

這里max{|xwt|,|zwt|,|xut|,|uzt|}lt;1.

證明設(shè)f(x,y,z)等于上式右邊，那么容易驗(yàn)證f(x,y,z)滿足定理1，另外由(24)有：

因此由定理3，得到：

即定理5.證畢.

5 結(jié)論

通過(guò)第三、四兩部分的具體應(yīng)用，可以看出，本文提出的q-算子Dxy與θxy和差分方程之間的關(guān)系，對(duì)經(jīng)典公式定理的證明有一定的優(yōu)越性，相對(duì)于原始的證明方法與過(guò)程，顯得十分便捷.由此可見(jiàn)，本文的結(jié)果，不僅把算子與方程有機(jī)聯(lián)系在一起， 而且它在實(shí)際應(yīng)用上，也有著十分重要的意義.

[1] LU D. q-difference equation and the Cauchy operator identities[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2009, 359(1): 265-274.

[2] LIU Z G. Two q-difference equations and q-operator identities[J]. Journal of Difference Equations and Applications, 2010, 16(11): 1293-1307.

[3] CAO J. A note on generalized q-difference equations for q-beta and Andrews-Askey integral[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 412(2): 841-851.

[4] CHEN W Y C, FU A M, ZHANG B. The homogeneous q-difference operator[J]. Advances in Applied Mathematics, 2003, 31(4): 659-668.

[5] SAAD H L, SUKHI A A. Another homogeneous q-difference operator[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 215(12): 4332-4339.

[6] GASPER G, RAHMAN M. Basic hypergeometric series[M]. Cambridge :Cambridge University Press, 2004.

[7] ROMAN S. More on the umbral calculus, with emphasis on the q-umbral calculus[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1985, 107(1): 222-254.

[8] ROMAN S. The theory of the umbral calculus[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1982, 87(1): 58-115.

[9] CHEN W Y C, LIU Z G. Parameter augmentation for basic hypergeometric series, I[M]//Mathematical Essays in Honor of Gian-Carlo Rota.Boston:Birkh?user Boston, 1998: 111-129.

[10] AL-SALAM W, VERMA A. A fractional Leibniz q-formula[J]. Pacific Journal of Mathematics, 1975, 60(2): 1-9.

[11] ABDLHUSEIN M A. The Euler operator for basic hypergeometric series[J]. Int J Adv Appl Math and Mech, 2014, 2(1): 42-52.

[12] ROGERS L J. On a three-fold symmetry in the elements of Heine's series[J]. Proceedings of the London Mathematical Society, 1892, 1(1): 171-181.

[13] SZEG?G, Ein Beitrag zur tbeorie der thetafunktionen[J]. Sitz Preuss Akad Wiss Phys Math, 1926,19： 242-252.

TwoImportantTheoremsabouttheFormalSolutionforq-differenceEquation

LIU Fuyu,WANG Xuefang,CAO Jian

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In this article, two theorems about the formal solution for q-difference equation are obtained,which relate difference equation with q-operatorsDxyandθxy. With the help of these theorems, some classic formulas and proofs of theorems can be optimized. There is a detailed explanation in the third and fourth parts of the article.

q-exponential operator;q-difference equation; difference equation;Euler formula;Rogers-Szeg? polynomial;q-Mehler formula

2016-10-18

曹 健(1982—)，男，副教授，博士，主要從事q-級(jí)數(shù)、生成函數(shù)研究.E-mail:21caojian@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.05.016

O177.91MSC201047H10, 54H25

A

1674-232X(2017)05-0539-06