兩類“磁聚焦”與“磁發(fā)散”問(wèn)題探析

浙江 李軍豪

平行微粒變會(huì)聚，發(fā)散微粒變平行。

兩類“磁聚焦”與“磁發(fā)散”問(wèn)題探析

所謂磁聚焦，是指利用特殊邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，讓從不同空間位置以相同速度、平行射入磁場(chǎng)的帶電微粒束會(huì)聚于同一點(diǎn)的現(xiàn)象。所謂磁發(fā)散，是指從某一空間位置點(diǎn)沿不同方向、發(fā)射速率相同的帶電微粒束，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后變?yōu)橄嗷テ叫?、同向運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象。

磁聚焦與磁發(fā)散，是兩個(gè)相反的物理過(guò)程，具有情景新穎、能力要求高、思維難度大的特點(diǎn)，是磁場(chǎng)類高考命題的熱點(diǎn)，能有效考查分析綜合能力、邏輯推理能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。現(xiàn)選取兩類經(jīng)典案例，分類探究其發(fā)生的條件、遵循的規(guī)律及其拓展應(yīng)用，供教學(xué)復(fù)習(xí)參考。

一、圓形磁場(chǎng)的聚焦與發(fā)散

圓形磁場(chǎng)的聚焦與發(fā)散是借助圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使速度相同、相互平行的帶電微粒聚焦于一點(diǎn)，和由某一固定點(diǎn)沿不同方向、發(fā)射速率相同的帶電微粒，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后發(fā)散為相互平行的帶電微粒的現(xiàn)象。畫出規(guī)范的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，應(yīng)用物理作圖方法與數(shù)學(xué)方程方法，選取端值點(diǎn)與任意位置點(diǎn)的微粒來(lái)探究其規(guī)律，是求解這類問(wèn)題的最有效途徑。

【例1】如圖1所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R、與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓形磁場(chǎng)的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(qgt;0)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0lt;ylt;2R的區(qū)間內(nèi)。不計(jì)微粒重力，忽略微粒間的相互作用。

圖1

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。

(2)請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說(shuō)明理由。

(3)若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說(shuō)明理由。

圖2

圖3

(2)這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。亦即這束帶電微粒都將會(huì)聚于坐標(biāo)原點(diǎn)O。理由及解法說(shuō)明如下：

從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入圓形磁場(chǎng)的帶電微粒，在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。其中四邊形PQOO′為菱形，邊長(zhǎng)為R，設(shè)P點(diǎn)與O′點(diǎn)的連線與y軸的夾角為θ，則∠QOO′=θ，微粒圓周運(yùn)動(dòng)的圓心Q的坐標(biāo)為(-Rsinθ，Rcosθ)，故微粒圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為：(x+Rsinθ)2+(y-Rcosθ)2=R2①

又圓形磁場(chǎng)的圓心坐標(biāo)為(0，R)，故圓形磁場(chǎng)的邊界方程為：

x2+(y-R)2=R2②

聯(lián)解①②兩式，可得帶電微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡與磁場(chǎng)邊界的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：

x1=0、y1=0與x2=-Rsinθ、y2=R(1+cosθ)，

顯然，后者坐標(biāo)點(diǎn)(x2，y2)就是P點(diǎn)，須舍去。

可見，這束帶電微粒都是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)離開磁場(chǎng)的。

(3)這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域是0lt;xlt;∞。理由說(shuō)明如下：

圖4

很顯然，靠近M點(diǎn)發(fā)射出的帶電微粒穿過(guò)磁場(chǎng)后會(huì)射向靠近x軸正方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處；靠近N點(diǎn)發(fā)射出的帶電微粒穿過(guò)磁場(chǎng)后會(huì)射向靠近原點(diǎn)O處。

綜上可知，這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域范圍是0lt;xlt;∞。

【規(guī)律小結(jié)】

綜上可知，平行同方向運(yùn)動(dòng)的帶電微粒在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的聚焦問(wèn)題，具有以下特點(diǎn)與規(guī)律：

(1)條件性。重力不計(jì)的帶電微粒，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=mv/qB，與圓形磁場(chǎng)的半徑R相同的條件下，才能使平行射入圓形磁場(chǎng)的帶電微粒束會(huì)聚于一點(diǎn)。

(2)聚焦性。沿+x方向平行射入圖1的圓形磁場(chǎng)的帶正電微粒束，將會(huì)聚于磁場(chǎng)圓周的最低點(diǎn)；如果微粒束帶負(fù)電，或者磁場(chǎng)方向相反，微粒束將會(huì)聚于磁場(chǎng)圓周的最高點(diǎn)。

(3)發(fā)散性。在圖1中ygt;0的空間區(qū)域，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿不同方向射出的速率相同的帶正電的微粒束，經(jīng)圓形磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都將沿+x方向平行射出；如果微粒束帶負(fù)電，或磁場(chǎng)方向相反，經(jīng)圓形磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都將沿-x方向平行射出。

(4)可逆性。聚焦與發(fā)散是兩個(gè)相反、可逆的過(guò)程，運(yùn)用圓形磁場(chǎng)的組合，或者改變微粒束的電性，或者改變磁場(chǎng)方向，可以實(shí)現(xiàn)磁聚焦與磁發(fā)散的逆向轉(zhuǎn)換。

明確圓形磁場(chǎng)的聚集與發(fā)散的條件，以及會(huì)聚性、發(fā)散性、逆向性的規(guī)律，就能快速、有效地求解更深層次的同類問(wèn)題。

【拓展應(yīng)用】

【例2】真空中有一半徑為r的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，Ox為過(guò)邊界上O點(diǎn)的切線，如圖5所示，從O點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率均為v0的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，且電子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)半徑也為r。已知電子的電量為e，質(zhì)量為m。

圖5

圖6

(1)速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為多少；

(2)所有從磁場(chǎng)邊界出射的電子，速度方向有何特征；

(3)今在某一平面內(nèi)有M、N兩點(diǎn)，其水平間距MN=l，從M點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為v0的電子。請(qǐng)?jiān)趫D6中設(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布，使得由M點(diǎn)發(fā)出的電子都能夠匯聚到N點(diǎn)，并求出勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值。

【解析】(1)如圖7所示，令入射時(shí)電子速度與x軸夾角為θ，其入射點(diǎn)為O，射出點(diǎn)為A。由于電子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)半徑與圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑相等，故無(wú)論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，磁場(chǎng)區(qū)域圓心O1和電子圓周運(yùn)動(dòng)軌道圓心O2一定組成邊長(zhǎng)為r的菱形。

圖7

因O1O⊥Ox，OO2垂直于入射速度，故∠OO2A=θ。即電子在磁場(chǎng)中所轉(zhuǎn)過(guò)的角度一定等于入射時(shí)電子速度與Ox軸的夾角。

(2)因O2A∥OO1，且O1O⊥Ox，故O2A⊥Ox。又O2A與電子射出的速度vA方向垂直，可知電子射出方向vA一定與Ox軸方向平行，即vA⊥Ox，故所有的電子射出圓形磁場(chǎng)時(shí)，速度方向均與Ox軸同方向、且相互平行。

(3)由于磁發(fā)散與磁聚焦的路徑是可逆的，所以從圖7中的圓形磁場(chǎng)射出的這些速度相同、相互平行的電子束，若再進(jìn)入一相同的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，一定會(huì)聚焦于某一點(diǎn)。

在圖8所示中，四個(gè)圓形磁場(chǎng)的半徑相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，磁場(chǎng)方向上下相反，上下圓形磁場(chǎng)分別與MN相切，其中，M、N為切點(diǎn)。

圖8

對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線上方射出的電子，經(jīng)圓形磁場(chǎng)MM1與NN1依次發(fā)散、磁聚后，都能夠匯聚到N點(diǎn)。同理，對(duì)于從M點(diǎn)向MN連線下方射出的電子，經(jīng)圓形磁場(chǎng)MM2與NN2依次發(fā)散、磁聚后，亦都能夠會(huì)聚到N點(diǎn)。

【特別說(shuō)明】例2中的磁場(chǎng)設(shè)計(jì)，涵蓋圓形磁場(chǎng)的發(fā)散與聚焦兩個(gè)過(guò)程。圖8中的磁場(chǎng)分布，只是符合題意的磁場(chǎng)之一，是符合題意的磁場(chǎng)面積最小的情形。其實(shí)，只要在矩形區(qū)域M1N1M2N2內(nèi)除圖中四個(gè)半圓形磁場(chǎng)外必須無(wú)其他磁場(chǎng)存在，矩形M1N1M2N2區(qū)域外的磁場(chǎng)均可向其余區(qū)域擴(kuò)展。

二、“葉形”磁場(chǎng)的聚焦與發(fā)散

什么形狀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使磁場(chǎng)區(qū)域的面積最小，也能使速度相同、相互平行的帶電微粒聚焦于一點(diǎn)，或者由某一固定點(diǎn)沿不同方向發(fā)射的速率相同的帶電微粒，經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后發(fā)散為相互平行的帶電微粒？要探究這類問(wèn)題的規(guī)律性，關(guān)鍵是要建立起正確的空間幾何圖形，具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，特別是圓的方程知識(shí)。這類問(wèn)題重在考查探究性、創(chuàng)造性的思維能力，以及深層次應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。

【例3】如圖9所示，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：

圖9

(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大?。?/p>

(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

【解析】(1)如圖9所示，設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B?，F(xiàn)考察特殊情形，即電子自C點(diǎn)垂直于BC入射，其運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧CEA，圓弧的圓心在A、C連線的中垂線上，故B點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心。由左手定則可知，磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外。

由圖10可知，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=a，

(2)由(1)中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向和大小情形下，自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子，在A點(diǎn)沿DA方向射出；自BC邊上其他點(diǎn)垂直入射的電子，其運(yùn)動(dòng)軌跡只能在BAEC區(qū)域中。故圓弧CEA是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。

為了確定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界，我們來(lái)考查自BC邊上任意點(diǎn)垂直BC入射的電子的情形。設(shè)該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡qpA如圖10所示，其中，qp為無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，圓弧pA為磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半徑r仍然為a。

圖10

若以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸、AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)從A點(diǎn)射出的電子的速度方向與x軸負(fù)方向的交角為θ，則磁場(chǎng)邊界入射點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)數(shù)值為：

x=asinθ，y=a-acosθ，

顯然，其滿足以下圓方程：x2+(y-a)2=a2。

這意味著，電子射入磁場(chǎng)的點(diǎn)p，是以D為圓心、a為半徑的四分之一圓弧CFA，即圓弧CFA是電子做直線運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，也就是構(gòu)成所求最小磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界。

因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，就是分別以B和D為圓心，以a為半徑的兩個(gè)四分之一圓弧CEA和CFA所圍成的區(qū)域，其最小面積數(shù)值為：

【規(guī)律小結(jié)】綜上可知，平行同方向運(yùn)動(dòng)的帶電微粒在最小磁場(chǎng)區(qū)域的聚焦問(wèn)題，具有以下特點(diǎn)與規(guī)律：

(1)條件性。最小磁場(chǎng)區(qū)域的兩個(gè)邊界，就是兩個(gè)正對(duì)的半徑相同的四分之一圓周的圓??；最小的磁場(chǎng)面積就是兩個(gè)四分之一圓弧之交集的面積。最小磁場(chǎng)區(qū)域形狀呈“葉形”。

(2)聚焦性。沿-x方向平行射入圖10“葉形”磁場(chǎng)的電子束，將會(huì)聚于“葉形”磁場(chǎng)的最低點(diǎn)(A點(diǎn))；若電子束沿+x方向平行射入“葉形”磁場(chǎng)，將會(huì)聚于“葉形”磁場(chǎng)的最高點(diǎn)(C點(diǎn))。

(3)發(fā)散性。若改變圖10中的磁場(chǎng)方向，則從坐標(biāo)原點(diǎn)A向第Ⅰ象限射入速率相同、方向不同的電子束，經(jīng)“葉形”最小磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后發(fā)散，將變?yōu)槠叫杏?x軸方向的電子束離開。

若從圖10磁場(chǎng)的最高點(diǎn)C向“葉形”磁場(chǎng)內(nèi)射入速率相同、方向不同的帶正電粒子束，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后發(fā)散，將變?yōu)槠叫杏?x軸方向的粒子束離開。

(4)可逆性。運(yùn)用“葉形”磁場(chǎng)的組合與對(duì)接，或者改變微粒束的電性，或者改變磁場(chǎng)的方向，可以實(shí)現(xiàn)磁聚焦與磁發(fā)散的逆向轉(zhuǎn)換。

浙江省衢州第一中學(xué))