勻強(qiáng)電場中四個(gè)重要結(jié)論的推導(dǎo)及其運(yùn)用

江西 徐亮亮 江秀梅 劉大明

解題之路隱荊棘，撥開云霧見光明——四個(gè)結(jié)論引路。

勻強(qiáng)電場中四個(gè)重要結(jié)論的推導(dǎo)及其運(yùn)用

在高考物理試題中，力電綜合題是每年必考的壓軸題型。其中，力學(xué)與電場綜合也是非常重要的，尤其以勻強(qiáng)電場為背景命制綜合試題較多。

本文主要研究勻強(qiáng)電場，給出了勻強(qiáng)電場中四個(gè)重要而好用的結(jié)論，以饗讀者。

【重要結(jié)論1】在勻強(qiáng)電場中，所有平行(包括同一直線上)且相等線段兩端點(diǎn)電勢差相等。

【證明】如圖1所示，在勻強(qiáng)電場中，任一一束平行線確定下來，則它們與電場線之間的夾角θ為確定值。同理，在這束平行線中的任一直線上，取長度為l的任一線段AB，電荷量為q的點(diǎn)電荷沿直線從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，則電場力做功都為確定值，即W=qUAB=qElcosθ。于是有UAB=

Elcosθ，其中E為勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)。

圖1

根據(jù)重要結(jié)論1，極容易推導(dǎo)一系列其他重要結(jié)論，姑且稱它們?yōu)橹匾普摚?/p>

圖6

七、場強(qiáng)疊加法

庫侖定律的適用范圍是真空中的點(diǎn)電荷，而實(shí)際帶電體，如帶電圓盤、帶電導(dǎo)線等產(chǎn)生的場強(qiáng)的求解常常要用到場強(qiáng)的對(duì)稱性和疊加原理才能順利求解。

圖7

【例7】(2013新課標(biāo)全國卷Ⅰ)如圖7所示，一半徑為R的圓盤均勻分布著電荷量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個(gè)點(diǎn)，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點(diǎn)處有一電荷量為q(qgt;0) 的固定點(diǎn)電荷，已知b點(diǎn)處的場強(qiáng)為零，則d點(diǎn)處場強(qiáng)的大小為(k為靜電力常量)

( )

【解析】b和d處的場強(qiáng)都是點(diǎn)電荷和圓盤產(chǎn)生的場強(qiáng)的疊加，而b和d又關(guān)于圓盤對(duì)稱，圓盤在b、d兩點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小相等、方向相反。點(diǎn)電荷在b和d兩點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)用庫侖定律即可得到。

圖2

【推論2】如圖3所示，在勻強(qiáng)電場中，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C、D四點(diǎn)的電勢分別為φA、φB、φC、φD，則φA-φB=φD-φC或φA-φD=φB-φC。

圖3

【證明】AB與DC平行且相等，根據(jù)重要結(jié)論2，得到φA-φB=φD-φC；同理，亦有φA-φD=φB-φC。

【例1】如圖4所示，在一勻強(qiáng)電場區(qū)域中，有A、B、C、D四點(diǎn)恰好位于一長方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，已知A、B、C三點(diǎn)電勢分別為φA=2 V，φB=4 V，φC=0，則D點(diǎn)電勢φD為________。

圖4

【解析】四邊形ABCD為長方形，根據(jù)推論2，有：

φA-φB=φD-φC，即φD=φA-φB+φC=-2 V。

圖5

【重要結(jié)論3】等勢面(或等勢線)與電場線垂直，沿著電場線方向電勢越來越低。

【例2】在例1基礎(chǔ)上，畫出勻強(qiáng)電場的一條電場線。

圖6

【重要結(jié)論4】在勻強(qiáng)電場中有一個(gè)圓，其圓面與電場線平行。那么，圓上的點(diǎn)與圓心的電勢差遵循余弦關(guān)系，即UOA=Ucosθ(如圖7所示)。其中，θ為半徑OA與電場線之間的夾角，U由勻強(qiáng)電場的強(qiáng)度E和圓半徑的長度R決定，即U=ER。

圖7

【證明】設(shè)一個(gè)電荷量為q的點(diǎn)電荷沿半徑方向從O點(diǎn)移到A點(diǎn)，則電場力做功為W=qUOA=qERcosθ，令U=ER，得到UOA=Ucosθ。

特別指出，U實(shí)際上是與電場線平行的半徑線段兩端點(diǎn)的電勢差，即θ=0時(shí)，UOA=U。

圖8

圖9

【答案】3 5

(1)無電場時(shí)，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的比值；

(2)電場強(qiáng)度的大小和方向。

圖10

設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為Ek，由動(dòng)能定理得

所以Ek∶Ek0=7∶3。

(2)令OA=2L，則OB=3L。設(shè)小球帶電后，到達(dá)A的動(dòng)能EkA，到達(dá)B的動(dòng)能為EkB，由動(dòng)能定理得：

qUOA+mg2Lcos60°=EkA-Ek0

和qUOB+mg3L=EkB-Ek0

根據(jù)重要推論2，OB上可取一點(diǎn)M(OM=2MB)，使得φM=φA，連接AM，即為一條等勢線，不難推知△OAM為等邊三角形。根據(jù)重要推論3，知在∠AOB的角平分線為一條電場線，斜向下與豎直方向成30°角，如圖11所示。

圖11

(作者單位：江西省南昌市南鋼學(xué)校 江西省撫州市第一中學(xué) 江西省撫州市第一中學(xué))

安徽省靈璧縣黃灣中學(xué))