生活中的二次函數(shù)

隨著人類文明不斷進(jìn)步，數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化越來越明顯，現(xiàn)代數(shù)學(xué)以技術(shù)化的方式迅速影響到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)領(lǐng)域，生活中也越來越需要數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)遍布人們的衣、食、住、行等各方面.下面我們就一起來領(lǐng)略生活中的二次函數(shù).

一、二次函數(shù)與利潤(rùn)

利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以幫助我們解決生活中的最大利潤(rùn)問題，這種問題也是中考中常見的熱點(diǎn)題型.

例1 某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)格購進(jìn)一種服裝，由試銷知，每天的銷售量t（件）與每件的銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系為t=-3x+204.

（1）寫出商場(chǎng)每天銷售這種服裝的毛利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系.

（2）商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售毛利潤(rùn)，每件的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？最大銷售毛利潤(rùn)為多少？

【解答】（1）由題意，銷售利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=（x-42）（-3x+204），即y=-3x2+330x-8568.

（2）配方得y=-3（x-55）2+507.故當(dāng)每件的銷售價(jià)為55元時(shí)，可取得最大銷售毛利潤(rùn)，每天最大銷售毛利潤(rùn)為507元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤(rùn)的問題常根據(jù)銷售利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案，從而得最大值（或最小值）.

例2 某賓館有100張床位，每床每晚收費(fèi)100元，客床可全部租出，若每床每晚每次收費(fèi)提高20元，則減少10張床位租出；以每次提高20元這種方法變化下去，為了投資少且獲利多，每床每晚應(yīng)提高多少元？

【解答】設(shè)每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高x個(gè)20元，獲得利潤(rùn)為y元，y=（100+20x）（100-10x）=

-200（x-[52]）2+11250，∵x取整數(shù)，∴當(dāng)x=2或3時(shí)，y最大，當(dāng)x=3時(shí)，每床收費(fèi)提高60元，床位最少，即投資少，∴為了投資少而獲利大，每床每晚收費(fèi)應(yīng)提高60元.

【點(diǎn)評(píng)】此題要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=[-b2a]時(shí)取得.

例3 某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：

信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤(rùn)yA（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx，并且當(dāng)投資5萬元時(shí)，可獲利潤(rùn)2萬元.

信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤(rùn)yB（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx，并且當(dāng)投資2萬元時(shí)，可獲利潤(rùn)2.4萬元；當(dāng)投資4萬元時(shí)，可獲利潤(rùn)3.2萬元.

（1）請(qǐng)分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A，B兩種產(chǎn)品共投資10萬元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少？

【解答】（1）當(dāng)x=5時(shí)，yA=2，則2=5k，

解得k=0.4，∴yA=0.4x；

當(dāng)x=2時(shí)，yB=2.4；當(dāng)x=4時(shí)，yB=3.2，

[2.4=4a+2b，3.2=16a+4b，]解得[a=-0.2，b=1.6.]

∴yB=-0.2x2+1.6x.

（2）設(shè)投資B種商品x萬元，則投資A種商品（10-x）萬元，獲得利潤(rùn)W萬元，

根據(jù)題意可得：

W=0.4（10-x）+（-0.2x2+1.6x），

∴W=-0.2（x-3）2+5.8，

所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤(rùn)5.8萬元.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于雙函數(shù)的問題.第（2）問中要注意當(dāng)設(shè)投資B種商品為x萬元時(shí)，yA=0.4x中的自變量為10-x；為防止混淆，也可以換個(gè)字母，如可設(shè)投資B種商品m萬元.

二、二次函數(shù)與旅游

“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò)，如今隨著人們生活水平的提高，各景點(diǎn)要接待的游客也逐漸增加.

例4 某景點(diǎn)試開放期間，團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下：不超過30人時(shí)，人均收費(fèi)120元；超過30人且不超過m（30

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過一定數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少這一現(xiàn)象.為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加，求m的取值范圍.

【解答】

（1）y=[120x 0

（2）由（1）可知當(dāng)0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、分段函數(shù)等知識(shí).問題（1）需要分0

三、二次函數(shù)與運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)過程中，人、球或其他物體在某一段過程形成的軌跡可看成拋物線.

例5 甲、乙兩人羽毛球比賽，甲發(fā)出一個(gè)十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關(guān)系式為h=[-112]s2+[23]s+[32].如圖，已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為[94]m，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗.（1）求羽毛球出手時(shí)的高度；（2）求a的取值范圍.

【解答】（1）令解析式中s=0時(shí)，h=[32]，則羽毛球的出手點(diǎn)高度為1.5m.

（2）令解析式中h=2.25，得a=4±[7].但扣球點(diǎn)必須在球網(wǎng)右邊，即a>5，∴a=4-[7]舍去，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，∴5

【點(diǎn)評(píng)】第（1）問求出函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)果.第（2）問先求乙恰好扣中的情況，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，說明乙站到了恰好扣中的那個(gè)點(diǎn)和網(wǎng)之間.在利用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問題時(shí)，如果題中未給出平面直角坐標(biāo)系，還需要根據(jù)實(shí)際情況建立合適的坐標(biāo)系再進(jìn)行解答.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）