以“本”為本，“一將”統(tǒng)“三軍”

李紅

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)要熟練掌握基本定義、圖像性質(zhì)，進(jìn)而能靈活應(yīng)用，現(xiàn)在的中考題又多是課本例題、習(xí)題的變式或延伸，因而同學(xué)們尤其應(yīng)重視對(duì)課本的學(xué)習(xí).

原題呈現(xiàn)

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第17頁(yè)例題：畫(huà)出二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像，并指出它的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最大值或最小值.

【分析】要畫(huà)二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c圖像，可先將函數(shù)表達(dá)式變成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k的形式，由a判斷開(kāi)口方向，頂點(diǎn)為（h，k），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=h，當(dāng)x=h時(shí)y的最值是k.

解：y=-x2-4x-5=-（x+2）2-1，二次項(xiàng)系數(shù)

-1<0，函數(shù)圖像開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，

-1），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-2，二次函數(shù)y=-x2-4x-5圖像如圖1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，解題關(guān)鍵是二次函數(shù)形式的轉(zhuǎn)化.

延展一 不畫(huà)圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2

-4x-5的圖像與x軸是否有公共點(diǎn).

【分析】當(dāng)y=0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0，所以通過(guò)判斷Δ=b2-4ac與0的大小，可以確定拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)：（1）b2-4ac>0，拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根）；（2）b2-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)（一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根）；（3）b2-4ac<0，拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)（一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根）.

解：b2-4ac=（-4）2-4×（-1）×（-5）<0，所以方程-x2-4x-5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)y=-x2

-4x-5的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).

延展二 拋物線y1=-x2-4x-5與直線y2=

-x-5交于（x1，y1）、（x2，y2）兩點(diǎn)，求y1>y2時(shí)x的范圍.

【分析】求直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是求兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立的方程組的解，畫(huà)出圖像，根據(jù)圖像可以直接寫(xiě)出范圍.要求y1>y2時(shí)x的范圍，即為函數(shù)y1的圖像在y2圖像上方的部分的x的范圍，反之亦然.

解：方程組[y=-x2-4x-5，y=-x-5]的解為[x1=-3，y1=-2，][x2=0，y2=-5.]

兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖2，當(dāng)y1>y2時(shí)，x的范圍是-3

延展三 將二次函數(shù)y=-x2-4x-5的圖像向上平移5個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位后與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC最小.

【分析】求平移后函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，首先要求平移后函數(shù)的解析式，一般先化成頂點(diǎn)式，再按上（+）下（-），左（+）右（-）方式寫(xiě)出平移后的解析式，令x=0或y=0代入可求.線段和（或差）的最值問(wèn)題，利用兩點(diǎn)之間線段最短，找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)解決.

解：因?yàn)槠揭坪髵佄锞€y=-（x-1）2+4，當(dāng)y=0時(shí)，x1=3，x2=-1；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，所以A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.連接BC交對(duì)稱(chēng)軸x=1于點(diǎn)P，因?yàn)锳、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則P為求作的點(diǎn)，所以PA+PC=PB+PC=BC=[32].

延展四 Q為直線BC上方的拋物線y=

-（x-1）2+4上任意一點(diǎn)，求△BCQ面積的最大值及此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形面積時(shí)，可采用割補(bǔ)法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)三角形計(jì)算.分割方法一般采用橫向或縱向比較容易計(jì)算.

解：過(guò)Q作x軸垂線交直線BC于點(diǎn)M.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有[k=-1，b=3，]故直線BC的解析式為y=-x+3.

設(shè)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)是m，得Q（m，-m2+2m+3），M（m，-m+3），所以QM=-m2+3m（0

S△BQC=S△QMC+S△QMB=[12]QM·OB=[12]（-m2+3m）·3=[-32]（m-[32]）2+[278]，所以當(dāng)m=[32]時(shí)，△BCQ的最大面積是[278]，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（[32]，[154]）.

（作者單位：江蘇省宿遷市湖濱新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）