金融數(shù)學(xué)中的隨機(jī)過(guò)程課程教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

【摘 要】隨機(jī)過(guò)程作為金融數(shù)學(xué)的主干課程之一，難度大，內(nèi)容多。如何能夠真正學(xué)好它，并學(xué)以致用。本文根據(jù)個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索了如何提高隨機(jī)過(guò)程教學(xué)質(zhì)量的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)過(guò)程；教學(xué)方法

Several Thoughts of Teaching Stochastic Processes in Finance Mathematics

WANG Hui-lei

（GuangDong University of Foreign Studies，GuangDong Guangzhou 510006，China）

【Abstract】Stochastic Process is one of major courses of Finance Mathematics，it is difficult to learn and it includes many content.In this paper，basing on personal teaching experience，I look into a problem that how to improve the quantity of Stochastic Process.

【Key words】Stochastic Process；Teaching method

0 引言

二十世紀(jì)中葉以來(lái)，隨著金融學(xué)從經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中分離出來(lái)，金融學(xué)從定性的研究逐漸發(fā)展為定量的研究。金融數(shù)學(xué)的起點(diǎn)被認(rèn)為是第一次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命，從二十世紀(jì)七十年代以來(lái)，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家獲得了數(shù)次諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，這使得金融和數(shù)學(xué)很快的結(jié)合并發(fā)展起來(lái)?，F(xiàn)在，金融數(shù)學(xué)成為世界上的尖端科學(xué)之一。金融數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展，也帶動(dòng)了現(xiàn)代金融學(xué)的極大發(fā)展。金融數(shù)學(xué)是將數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到金融問(wèn)題上來(lái)，并且用計(jì)算機(jī)來(lái)輔助編程計(jì)算，是將數(shù)學(xué)、金融學(xué)、計(jì)算機(jī)學(xué)結(jié)合起來(lái)的學(xué)科。金融數(shù)學(xué)是對(duì)不確定性對(duì)象進(jìn)行建模、分析、數(shù)值計(jì)算等定量分析，并以此分析為依據(jù)來(lái)指導(dǎo)金融實(shí)踐。姜禮尚教授和徐承龍教授提出構(gòu)建一個(gè)“從原理—方法—應(yīng)用（畢業(yè)論文）”的金融數(shù)學(xué)課程體系[1]。而這個(gè)體系的主干課程主要包括數(shù)值計(jì)算、偏微分方程和隨機(jī)過(guò)程等學(xué)科，其中隨機(jī)過(guò)程當(dāng)中的隨機(jī)分析等理論被廣泛的應(yīng)用于現(xiàn)代金融問(wèn)題當(dāng)中，是解決很多不確定性問(wèn)題的非常行之有效的方法。

《隨機(jī)過(guò)程》是金融數(shù)學(xué)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)課，也是金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在實(shí)際生活中，有些隨機(jī)現(xiàn)象涉及隨時(shí)間t改變的隨機(jī)變量，這種依賴于時(shí)間t的一族隨機(jī)變量就是隨機(jī)過(guò)程[2]。隨機(jī)過(guò)程理論廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、電子電路、醫(yī)學(xué)、通信、自動(dòng)控制、工程、經(jīng)濟(jì)、金融等各大領(lǐng)域。因此，《隨機(jī)過(guò)程》這門(mén)課的重要性不言而喻，金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)勢(shì)必要開(kāi)設(shè)這門(mén)課程。

但是，由于《隨機(jī)過(guò)程》課程較難，內(nèi)容抽象等特點(diǎn)，如何讓本科學(xué)生能夠?qū)@門(mén)課程感興趣，進(jìn)而能應(yīng)用，值得我們?nèi)握n教師的探討。這里作者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和其他同行教師的理論與經(jīng)驗(yàn)，提出幾點(diǎn)思考。

1 《隨機(jī)過(guò)程》課程教學(xué)目的和培養(yǎng)目標(biāo)

《隨機(jī)過(guò)程》的教學(xué)目的是為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)解決問(wèn)題能力，提升學(xué)生學(xué)習(xí)隨機(jī)過(guò)程課程的積極性，要著重培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，以適應(yīng)業(yè)界對(duì)金融數(shù)學(xué)學(xué)生的要求。隨機(jī)過(guò)程是概率論的一大分支，在現(xiàn)代金融及其衍生市場(chǎng)起著重要的作用，本課程授課的主要內(nèi)容有：隨機(jī)過(guò)程的基本理論，泊松過(guò)程、更新過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、鞅、布朗運(yùn)動(dòng)以及隨機(jī)微積分，其中泊松過(guò)程等是在金融學(xué)中經(jīng)常用到的。與金融緊密相關(guān)的模型和理論還有期權(quán)定價(jià)理論、套利定價(jià)等。目的是使學(xué)生學(xué)會(huì)用隨機(jī)的思想建模并有較好的數(shù)值計(jì)算能力。建模能力是經(jīng)濟(jì)金融問(wèn)題的關(guān)鍵和出發(fā)點(diǎn)，因此，學(xué)生不但要有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還要對(duì)金融市場(chǎng)有所了解，對(duì)金融基礎(chǔ)知識(shí)了解掌握，以便在建模和解決問(wèn)題是能夠更好更快的與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系，真正做到不紙上談兵[1]。建模是研究金融問(wèn)題的最關(guān)鍵的步驟，比如隨機(jī)過(guò)程理論當(dāng)中的泊松過(guò)程、復(fù)合泊松過(guò)程和維納過(guò)程是建模中最常出現(xiàn)的。學(xué)習(xí)掌握這些方法并靈活應(yīng)用到實(shí)踐中，是學(xué)習(xí)《隨機(jī)過(guò)程》的關(guān)鍵所在。

2 《隨機(jī)過(guò)程》關(guān)聯(lián)的相關(guān)課程

學(xué)習(xí)《隨機(jī)過(guò)程》同時(shí)要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)功底，《概率論》和《數(shù)學(xué)分析》是必須的先修課程，在課程講授時(shí)可以先以學(xué)生熟悉的概率論引入，再擴(kuò)展接下來(lái)的知識(shí)。當(dāng)然，僅這些還是不夠的，學(xué)有余力的同學(xué)可推薦《測(cè)度論》等課程進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。并可修《現(xiàn)代金融市場(chǎng)概論》等金融工程方面的課程，了解現(xiàn)代金融基本理論，研究所用基本工具和基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的金融意識(shí)，為后續(xù)課程打下良好基礎(chǔ)。《Matlab》的學(xué)習(xí)也是必不可少的，編程在解決實(shí)際問(wèn)題中是不可或缺的。于此同時(shí)，一些相關(guān)的經(jīng)濟(jì)、金融、統(tǒng)計(jì)學(xué)科軟件也要盡量掌握，比如SPSS、EVIEWS等。這些可以豐富學(xué)生解決問(wèn)題的方法手段，有了解決方法，學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心自然會(huì)提高，也就提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

3 《隨機(jī)過(guò)程》的課堂教學(xué)

在《隨機(jī)過(guò)程》教學(xué)過(guò)程中，課程內(nèi)容的引入與講解非常重要。開(kāi)設(shè)這門(mén)課以來(lái)，作者用過(guò)兩套教材，同時(shí)自己制作了與課程內(nèi)容相關(guān)的教學(xué)課件，而且在課上也適當(dāng)引入課外教材的同一問(wèn)題的不同證明、不同方法或?qū)嵗鳛榉独v解給學(xué)生，以此作為對(duì)教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和擴(kuò)展。課堂教學(xué)采取板書(shū)和課件相結(jié)合的方式，盡量運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)方式，學(xué)生反響較好。由于我校金融數(shù)學(xué)的學(xué)生可以參加國(guó)家精算師考試，他們往往是帶著問(wèn)題來(lái)上課，效果更佳。

4 《隨機(jī)過(guò)程》課程的實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)

由于《隨機(jī)過(guò)程》課程本身抽象、難懂，作為本科生學(xué)習(xí)起來(lái)難免吃力，可以以實(shí)踐帶教學(xué)，將理論應(yīng)用于金融實(shí)例，用實(shí)例反思理論，帶動(dòng)理論的理解。運(yùn)用理論應(yīng)用于實(shí)例，實(shí)例反哺于理論的教學(xué)方法，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)《隨機(jī)過(guò)程》。比如：Brown運(yùn)動(dòng)作為對(duì)稱隨機(jī)游動(dòng)的極限過(guò)程，它的軌道具有連續(xù)性。而在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)研究股票市場(chǎng)時(shí)，由于某些原因，股票價(jià)格會(huì)突然震蕩，與Brown運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性不符，此時(shí)可加入泊松跳躍擴(kuò)散過(guò)程的講解。此過(guò)程是Press（1967）提出來(lái)的，可以用來(lái)描述股票價(jià)格行為過(guò)程。在實(shí)際中，在某些特殊境況下，加入具有跳躍性質(zhì)的模型，對(duì)股票的波動(dòng)和走勢(shì)的預(yù)測(cè)可能會(huì)提高準(zhǔn)確度，以此作為補(bǔ)充說(shuō)明，可加深學(xué)生對(duì)Brown運(yùn)動(dòng)的理解并擴(kuò)充了課程內(nèi)容。再比如講解到與隨機(jī)微積分相關(guān)時(shí)，可以介紹給學(xué)生Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式是Black-Scholes偏微分方程式的顯式解。如此這樣，學(xué)生可以學(xué)以致用，不但加強(qiáng)對(duì)模型的理解，更可以進(jìn)一步加深理論學(xué)習(xí)。endprint

在講解之外，可以增開(kāi)實(shí)驗(yàn)課，給學(xué)生設(shè)定不同題目，實(shí)驗(yàn)報(bào)告根據(jù)所選題目可做不同要求。比如，在學(xué)習(xí)馬爾可夫鏈時(shí)，可以給學(xué)生一組原始數(shù)據(jù)，讓學(xué)生自行尋找轉(zhuǎn)移矩陣、研究狀態(tài)，并討論是否平穩(wěn)分布，而且可以在此基礎(chǔ)上嘗試分析結(jié)果，進(jìn)一步研究如何指導(dǎo)生產(chǎn)生活等。作者曾經(jīng)在以前的論文當(dāng)中給出過(guò)[3]相關(guān)實(shí)驗(yàn)題目。這些實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生必須用計(jì)算機(jī)編程，并附源程序。

5 《隨機(jī)過(guò)程》與其他學(xué)科的交叉運(yùn)用

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，任一個(gè)學(xué)科往往不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)，經(jīng)常需要多學(xué)科的交叉應(yīng)用。學(xué)科交叉已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)。比如，貨郎擔(dān)問(wèn)題，可以用馬爾可夫鏈Monte-Carlo方法[4]即退火法進(jìn)行研究。又比如，隨機(jī)矩陣論[5]可以作為算子代數(shù)的基本工具。再如，運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)重要組成部分排隊(duì)論就是基于隨機(jī)過(guò)程當(dāng)中的生滅論。馬爾可夫鏈可以做預(yù)測(cè)方法使用，但單純一種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果往往不盡如人意，如果加上其他預(yù)測(cè)方法的修正，比如灰色預(yù)測(cè)等，可能會(huì)取得相當(dāng)不錯(cuò)的結(jié)果。因此，在教學(xué)過(guò)程中，可以有意識(shí)的啟發(fā)學(xué)生，注意不同學(xué)科的交叉運(yùn)用所帶來(lái)的好處與便利，幫助學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，開(kāi)闊眼界，增加解決問(wèn)題的手段與方法。通過(guò)一門(mén)課的學(xué)習(xí)，可以初步了解多門(mén)課程在本學(xué)科的發(fā)展和應(yīng)用。

6 《隨機(jī)過(guò)程》課程課下的活動(dòng)

僅僅一學(xué)期的《隨機(jī)過(guò)程》授課是不夠的，鼓勵(lì)學(xué)生在課后還要下功夫。在課程結(jié)束后，應(yīng)利用一些科研或是實(shí)習(xí)等活動(dòng)，幫助學(xué)生將理論與實(shí)際結(jié)合起來(lái)。這門(mén)課比起在課上的講授方式，在課下應(yīng)以討論方式為主。為了要進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生的視野，提高學(xué)生應(yīng)用解決問(wèn)題能力，在此期間，可以指導(dǎo)學(xué)生參加經(jīng)濟(jì)或金融專(zhuān)業(yè)的各種級(jí)別的競(jìng)賽，比如：大學(xué)生金融建模大賽，讓學(xué)生真正面對(duì)問(wèn)題，針對(duì)實(shí)際問(wèn)題練習(xí)建模和求解，能夠幫助學(xué)生盡快學(xué)以致用。同時(shí)，也鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展相關(guān)方面的研究并作出實(shí)證分析。教師對(duì)學(xué)生應(yīng)以指導(dǎo)為主，如此可以加強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立思考能力，擺脫依賴心理，盡快培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，為今后的工作奠定基礎(chǔ)。

在學(xué)生做本科畢業(yè)論文時(shí)，也可以進(jìn)行相關(guān)方面選題和指導(dǎo)，使學(xué)生能夠參與其中，樂(lè)于其中，收獲知識(shí)與能力。

7 結(jié)語(yǔ)

金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的發(fā)展離不開(kāi)教師與學(xué)生的共同努力。對(duì)金融數(shù)學(xué)主干課程設(shè)置就要靈活變通，與時(shí)俱進(jìn)。本科《隨機(jī)過(guò)程》課程的開(kāi)設(shè)應(yīng)該針對(duì)本科學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)薄弱、知識(shí)面相對(duì)窄等學(xué)習(xí)特點(diǎn)來(lái)設(shè)置，盡量開(kāi)展實(shí)踐教學(xué)課程，以用促學(xué)，學(xué)以致用，學(xué)生所用即所學(xué)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)能力的增強(qiáng)都能夠有幫助，讓學(xué)生明白《隨機(jī)過(guò)程》對(duì)于金融的重要性。同時(shí)，希望以此培養(yǎng)學(xué)生的科研興趣，促進(jìn)學(xué)科發(fā)展，為學(xué)生以后的專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生是學(xué)科發(fā)展的重中之重，培養(yǎng)優(yōu)秀的金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的人才，任重而道遠(yuǎn)。

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