分組M—正交隨機(jī)場(chǎng)的部分和上升的階

任園園??

摘要：本文由分組M-正交隨機(jī)場(chǎng)的MenshovRademacher強(qiáng)極限定理和Martikainen的Abel引理，給出分組M-正交隨機(jī)場(chǎng)部分和上升的階的一個(gè)估計(jì)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)場(chǎng)；M-正交；部分和上升的階

一、 引言

Petrov[1]研究了正交隨機(jī)變量序列部分和上升的階的問題。后來，O. I. Klesov在文獻(xiàn)[2]討論了隨機(jī)場(chǎng)的收斂速度，文獻(xiàn)[3]研究了正交隨機(jī)場(chǎng)部分和上升的階。本文，將要研究分組M-正交隨機(jī)場(chǎng)部分和上升的階。

定義1.1隨機(jī)序列（Xkl），k，l∈N稱為M-正交隨機(jī)變量序列，如果

EXk1l1Xk2l2=0（1.1）

對(duì)所有滿足max|k1-k2|>M，max|l1-l2|>M的k1，k2，l1，l2都成立，且k1，k2，l1，l2∈N。

下面給出一個(gè)相對(duì)較弱的M-正交的定義。

定義1.2對(duì)于自然數(shù)列（βk），（β～k）↑∞，稱（Xmn）在分組[βk，βk+1）×[β～l，β～l+1），k，l∈N上是M-正交的，即隨機(jī)變量（Xmn）關(guān)于指標(biāo)（m，n）∈[βk，βk+1）×[β～l，β～l+1），k，l∈N是M-正交的。

此定義和一維隨機(jī)變量的情形是一致的，見參見文獻(xiàn)[1]。此定義允許隨機(jī)變量在不同區(qū)間內(nèi)可以任意相依，當(dāng)βk=β～k=2k，k∈N時(shí)，更為特殊。

而對(duì)于場(chǎng){Xmn}的部分和我們記為Smn=∑mi=1∑nj=1Xij，且令B（m，n）=∑mi=1∑nj=1EX2ij。

首先，我們介紹場(chǎng)的單調(diào)性的概念。場(chǎng){c（m，n）}稱為保序的，若對(duì)所有的m≤m′，n≤n′有

c（m，n）≤c（m′，n′）

當(dāng)對(duì)所有的m≥1，n≥1，都有Δc（m，n）≥0，那么，稱場(chǎng){c（m，n）}有非負(fù)的增量。其中

Δc（1，1）=c（1，1），當(dāng)m>1時(shí)，Δc（m，1）=c（m，1）-c（m-1，1），

當(dāng)n>1時(shí)，Δc（1，n）=c（1，n）-c（1，n-1），

當(dāng)m，n≥1時(shí)，Δc（m，n）=c（m，n）-c（m-1，n）-c（m，n-1）+c（m-1，n-1）

顯然，所有非負(fù)增量的場(chǎng)都是保序的。反之，不一定成立。

引理1.1設(shè)隨機(jī)場(chǎng){Xmn}是中心化的，即EXmn=0，且在[2k，2k+1）×[2l，2l+1）上是M-正交的，并設(shè)Φ（·），Ψ（·）是定義在[0，∞）上的嚴(yán)格增且正的無界函數(shù)，{kn}∞0，{ln}∞0是嚴(yán)格增的整數(shù)序列，其中k0=l0=0。當(dāng)km=lm=2m，m∈N時(shí)，滿足下面的式子

limm→∞supΦ（2m+1）Φ（2m）<∞和limm→∞supΨ（2m+1）Ψ（2m）<∞；limm→∞infΦ（2m+1）Φ（2m）>1和limm→∞infΨ（2m+1）Ψ（2m）>1

如果，

∑∞i，j=1（Φ（i）Ψ（j））-2（log22i）2（log22j）2E|Xij|2<∞（1.2）

那么

limm，n→∞1Φ（m）Ψ（n）∑m，ni，j=1Xij=0 a.s.（1.3）

可以看出Φ（m）Ψ（n）是一個(gè)場(chǎng)，我們記c′（m，n）=Φ（m）Ψ（n），此引理見文獻(xiàn)[4]。下面，我們給出場(chǎng)的特征（示性）的概念。

假設(shè){b（m，n）}為一非隨機(jī)的非負(fù)場(chǎng)，它在N2的有限子集上產(chǎn)生了一測(cè)度B，即對(duì)任何有限集合DN2，有B（D）=∑（i，j）∈Db（i，j）。為了完善起見，令∑（i，j）∈b（i，j）=0。若場(chǎng)的部分和為B（m，n），即B（m，n）=∑mi=1∑nj=1b（i，j）。我們定義其測(cè)度為B（∏（m，n）），其中∏（m，n）={（i，j）：1≤i≤m，1≤j≤n}。

對(duì)于固定的x，考慮集合D=D（x）={（i，j）：B（i，j）≤x}，且集合D的測(cè)度為B（D（x））。特別地，對(duì)一些（m，n）∈N2，如果x=B（m，n），那么

B′（m，n）=B（D（B（m，n）））

就稱為場(chǎng){b（m，n）}的特征（示性）。

引理1.2假設(shè){b（m，n）}是一非負(fù)場(chǎng)，{B（m，n）}是它的部分和，{B′（m，n）}是它的特征（示性），假設(shè)limm，n→∞B（m，n）=∞。那么對(duì)所有的ψ∈Ψc有，

∑∞m=1∑∞n=1b（m，n）B′（m，n）ψ（B′（m，n））<∞（1.4）

此引理拓展了Able引理在雙指標(biāo)的和的情況，但是，示性B′（m，n）似乎可以替代B（m，n）。按上述方法定義的雙指標(biāo)和示性，產(chǎn)生了引理1.2中序列直接模擬的問題。定義序列{Bk}的示性為B′k，可見，當(dāng)k≥1時(shí)，有B′k≤Bk。從而，引理1.2包括了Able引理，是它的推廣。

二、 主要結(jié)論

定理2.1設(shè)隨機(jī)場(chǎng){Xmn}在[2k，2k+1）×[2l，2l+1）上是M-正交的、中心的，部分和為{Smn}。假設(shè)B（m，n）=∑mi=1∑nj=1EX2ij，{B′（m，n）}是場(chǎng){b（m，n）}的特征（示性）。若B′（m，n）與ψ（B′（m，n））可以變量分離出關(guān)于m和n的項(xiàng)，且limm，n→∞B（m，n）=∞，那么，對(duì)一切ψ∈Ψc有

limm，n→∞Smn（B′（m，n）ψ（B′（m，n）））1/2（log22i）（log22j）=0 a.s.（2.1）

其中Ψc是非負(fù)、非降的函數(shù)的集合：Ψc=ψ：∑∞n=n01nψ（n）<∞，對(duì)一些n0≥1。

例如：設(shè)B（m，n）=m+n，顯然在這種情況下b（i，j）=0，max（i，j）>11，其他。由于

B（D（x））=∑i≤[x]b（i，1）+∑j≤[x]b（1，j）～x，那么 B′（m，n）～mn。特別的，令ψ（x）=|x|ε。則endprint

c（m，n）=（mn|mn|ε）1/2（log22i）（log22j）。

從而，由引理1.2得

∑∞m=1∑∞n=1EXmn2c2（m，n）（log22i）2（log22j）2

=∑∞m=1∑∞n=1EXmn2B′（m，n）ψ（B′（m，n））

=∑∞m=1∑∞n=1EXmn2x|x|ε

<∞（2.2）

故由引理1.1得

limm，n→∞Smn（mn|mn|ε）1/2（log22i）（log22j）=0（2.3）

推論2.1設(shè){Xmn}和{Smn}滿足定理2.1的條件，若對(duì)所有的（m，n）∈N2，有EX2mn=1。那么，對(duì)一切ψ∈Ψc有

limm，n→∞Smn（mnψ（m，n））1/2（log22i）（log22j）=0 a.s.（2.4）

定理2.1的證明：

證明：首先，定義場(chǎng)

c（m，n）=（B′（m，n）ψ（B′（m，n）））1/2（log22i）（log22j）（2.5）

顯然它是保序的，它屬于場(chǎng)c′（m，n）=Φ（m）Ψ（n），而B（m，n）=∑mi=1∑nj=1EXij2

故由引理1.2得

∑∞m=1∑∞n=1EXmn2c2（m，n）（log22i）2（log22j）2

=∑∞m=1∑∞n=1EXmn2B′（m，n）ψ（B′（m，n））<∞（2.6）

再由引理1.1可以得到本定理結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1]Petrov V V. On the strong law of large numbers for a sequence oforthogonal random variables[J]. Vestnik Leningrard. Univ.， 1975，（02）：54-57（in Russian）.

[2]Klesov O I. The rate of convergence ofrandom fields[J]. Teor . Veroyatnost. I Matem. Statist， 1984，（30）：81-92（in Russian）.

[3]Klesov O I. On the order of growth of orthogonalrandom fields[J]. Analysis Mathematics， 2003，（29）：15-28.

[4]任園園，汪忠志.分組M-正交隨機(jī)場(chǎng)的強(qiáng)極限定理[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28（01）：82-84.

[5]Martikainen A I. On the order of growth of arandom field[J]. Matem. Zametki， 1986，（39）：431-437（in Russian）.

[6]Alexits G. Convergence Problems of Orthogonal Series. Pergamon，Oxford/ New York.， 1961.

[7]F. Móricz. Strong limit theorems for blockwise mdependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables[J]. Proc. Am. Math. Soc.1987， 101， 709-715.

[8]F. Móricz， S. M. Thalmaier. Strong laws for blockwise mdependent random fields[J]. Theor. Probab. 2008，21，660-671.

[9]陸傳榮，林正炎.混合相依變量的極限理論[M].北京：科學(xué)出版社，1997.endprint