三管齊下“平均數(shù)”

張永艷

《平均數(shù)》一節(jié)是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊第三單元《統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)內(nèi)容。看到“平均數(shù)”這個(gè)詞，老師們第一感覺是：“好教，不就是‘平均數(shù)=總數(shù)÷數(shù)量嘛！”可事實(shí)卻不盡然。筆者今年所帶班級在三月份正好學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，教學(xué)流程不可謂不流暢，基礎(chǔ)訓(xùn)練不可謂不扎實(shí)，但學(xué)生遇到諸如 “一條河平均水深110厘米，小明身高140厘米，他下水游泳有危險(xiǎn)嗎？”之類的問題仍一籌莫展；求平均速度、平均溫度等問題時(shí)雖能套上公式計(jì)算卻不知其所以然的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生。原因何在？又該如何改進(jìn)？下面進(jìn)行詳細(xì)的探討。

一、凸顯平均數(shù)概念的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念，是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。以前，平均數(shù)是作為典型應(yīng)用題來編排的，新課改后的教材把平均數(shù)放在“統(tǒng)計(jì)與概率”里進(jìn)行教學(xué)，毋庸置疑，便是對平均數(shù)統(tǒng)計(jì)價(jià)值的定位，也給廣大的教師帶來了新的挑戰(zhàn)。

請看如下教學(xué)片斷：

出示課本中四名學(xué)生收集廢舊礦泉水瓶的情境圖。

師：誰收集得最多？誰收集得最少？

師：你能讓他們數(shù)量一樣多嗎？（體現(xiàn)移多補(bǔ)少的思想）

生：小紅給小蘭1個(gè)，小明給小亮2個(gè)。

師：真棒！這樣，他們都達(dá)到了13個(gè)，這個(gè)“13”，就叫這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。我們怎樣通過計(jì)算得到平均數(shù)呢？

學(xué)生討論后回答：可以先求總個(gè)數(shù)52，再除以4。

師：很好！平均數(shù)=總數(shù)÷數(shù)量。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)雖然流暢，但把重點(diǎn)放在平均數(shù)的含義和求法上，對平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義和作用沒有涉及。

什么是平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義就是能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)（有可能等于某個(gè)原始數(shù)據(jù)），但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。它既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的總體情況，又因?yàn)榫哂辛己玫拇硇?，便于比較又公平，因此也作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)指標(biāo)。

由此可知，“平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)”。當(dāng)然這樣的概念不能直接對學(xué)生說。那么，如何在教學(xué)中凸顯出平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義？

1.準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)

《教學(xué)用書》指出，平均數(shù)的教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)：①使學(xué)生理解平均數(shù)的含義；②初步學(xué)會(huì)簡單的求平均數(shù)的方法；③理解平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義。

從教學(xué)目標(biāo)的三個(gè)維度來說，第一、二個(gè)目標(biāo)屬知識技能維度，達(dá)成度只要看看學(xué)生做題情況便一目了然；而第三個(gè)“理解平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義”，屬于過程與方法的層面，這恰恰是廣大教師最難把握的，什么是“平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義”？采用怎樣的情境利于學(xué)生感悟？如何利用平均數(shù)這一媒介培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識？這些都要課前細(xì)細(xì)推敲，比較鑒別。

筆者認(rèn)為本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)應(yīng)定位為：重點(diǎn)理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，其次才是求平均數(shù)的方法。

2.關(guān)注學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)

教材呈現(xiàn)的是四人收集廢舊汽水瓶的情境。教師提出問題：“他們組平均每人收集了多少個(gè)？”學(xué)生經(jīng)過操作、計(jì)算等活動(dòng)，得出“先求總數(shù)52個(gè)，再除以人數(shù)4，平均每人收集13個(gè)”。對于三年級學(xué)生來說，這一心理轉(zhuǎn)換過程是缺乏活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的支撐的；最后計(jì)算的結(jié)果平均數(shù)“13個(gè)”，就是這個(gè)小組整體上收集水平的代表，其統(tǒng)計(jì)意義對學(xué)生而言也是很難直接建立的，學(xué)生會(huì)疑惑，“用一共撿了52個(gè)”不也能代表他們組的水平嗎？因此，僅僅“移多補(bǔ)少”，然后把總個(gè)數(shù)平均分成幾份來揭示平均數(shù)代表整體的一般水平意義，學(xué)生還有難以跨越的思維斷點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳。

3.系統(tǒng)把握三個(gè)統(tǒng)計(jì)量

小學(xué)階段統(tǒng)計(jì)與概率部分有三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)。平均數(shù)與組中每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)聯(lián)，它可能是組中數(shù)，也可能不是組中數(shù)。平均數(shù)受數(shù)據(jù)的制約，能反映一組數(shù)據(jù)的全貌，因而具有敏感易變的特點(diǎn)。

而眾數(shù)著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，常用眾數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的整體水平。

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可采用中位數(shù)描述其集中趨勢。

如果教師能系統(tǒng)把握三者的聯(lián)系和區(qū)別，那么在執(zhí)教平均數(shù)時(shí)便會(huì)心中有數(shù)，游刃有余，教學(xué)設(shè)計(jì)的視野也會(huì)更廣闊、教學(xué)目標(biāo)更恰當(dāng)。

二、明確“平均數(shù)”與“平均分”的關(guān)系

教學(xué)片斷：

師：想一想，除了移多補(bǔ)少，還可以怎樣求他們組平均每人收集了多少個(gè)？

學(xué)生：思考。

師提示：看看統(tǒng)計(jì)圖，是不是可以把52個(gè)汽水瓶平均分成4份？怎樣計(jì)算？

生：52÷4=13。

師：其實(shí)，求平均數(shù)就是把總數(shù)平均分。

如果為了引出平均數(shù)求法，教師的引導(dǎo)無可厚非，但如果就此打住，不再對“13”所具有的統(tǒng)計(jì)意義進(jìn)行辨析，那么學(xué)生便會(huì)認(rèn)為平均數(shù)等同于平均分。其實(shí)，平均數(shù)與平均分既有聯(lián)系又有區(qū)別。

誠然，二者的計(jì)算過程相同，且平均數(shù)是借助平均分的意義通過計(jì)算得到的。但是二者的意義是根本不同的。

從問題解決角度看，“平均分”有兩層含義：一是已知總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)是多少；二是已知總數(shù)和每份數(shù)，求有這樣的多少份，強(qiáng)調(diào)的是除法運(yùn)算的意義，解決的是“單位量”與“單位個(gè)數(shù)”的問題。而平均數(shù)則反映全部數(shù)據(jù)的整體水平，目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

從問題的答案來看，平均分的得數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)，如把12塊糖平均分給3個(gè)孩子，平均每人分得4塊，這個(gè)“4塊”是每個(gè)孩子實(shí)際分得的數(shù)；而平均數(shù)是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，如果說3個(gè)孩子一共有12塊糖，平均每個(gè)孩子有4塊，這個(gè)“4塊”就是平均數(shù)，但不一定每個(gè)孩子都有4塊糖。

教者首先要對平均數(shù)與平均分之間的關(guān)系與區(qū)別心中了然，更要引導(dǎo)學(xué)生形成正確無誤的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、細(xì)膩展示平均數(shù)的豐富內(nèi)涵

由于平均數(shù)反映所有數(shù)據(jù)的集中趨勢，因而它對所有數(shù)據(jù)具有典型代表性的意義，正因這一特性，平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中具有廣泛的應(yīng)用。讓學(xué)生體驗(yàn)與感受平均數(shù)的豐富內(nèi)涵是學(xué)習(xí)平均數(shù)的真正意義所在。我們教學(xué)平均數(shù)，往往側(cè)重求平均數(shù)方法的多樣和靈活，注重算法的優(yōu)化，而忽視了平均數(shù)的實(shí)際意義。

1.用好教材，適當(dāng)補(bǔ)充

教材上有平均身高、平均體重、平均最高氣溫、月平均銷售量、平均速度等素材，比較豐富，與生活聯(lián)系比較緊密，我們要充分利用好這些情況；同時(shí)，還可以補(bǔ)充平均收入、平均用水量、平均成績、平均水深、平均壽命、脈搏1分鐘跳動(dòng)次數(shù)等情境，讓學(xué)生在不同情境中運(yùn)用平均數(shù)的知識解釋生活現(xiàn)象，解決實(shí)際問題，深化認(rèn)識，積累分析和處理數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。

2.數(shù)形結(jié)合，相機(jī)滲透

（1）平均水平線。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維障礙時(shí)，我們可以在條形統(tǒng)計(jì)圖上畫一條橫線，即平均水平線，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中更深層次理解平均數(shù)的內(nèi)涵。教材42頁情境圖上便有一條紅色的虛線。

（2）質(zhì)疑問難。解決練習(xí)題時(shí)，教師提出問題“甲種餅干的月平均銷售量為什么在140～180之間？”“如果小明的數(shù)學(xué)成績多考8分，平均分?jǐn)?shù)會(huì)變嗎？”“看統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)，平均每個(gè)興趣小組有幾人？你是怎樣想的？”……意在讓學(xué)生領(lǐng)悟平均數(shù)的離散程度、易變性、均差之和等靈動(dòng)的個(gè)性特征。

參考文獻(xiàn)：

[1]葛 晶.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義[J].新課程（上旬刊），2016（10）.

[2]吳 駿，丁雪艷.中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材平均數(shù)概念比較研究[J].云南教育（小學(xué)教師版）.2017（5）：9-10.

[3]徐 艷.還原平均數(shù)的本來面目——“平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)與說明[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（20）.

（作者單位：山東省日照市新營小學(xué)）