基于一維假設(shè)的瞬態(tài)換熱實驗的誤差修正

王 蕾,馬慶輝，羅 翔

(1.西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048; 2.中國渦輪研究院， 成都 610500; 3.北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 北京 100191)

基于一維假設(shè)的瞬態(tài)換熱實驗的誤差修正

王 蕾1,馬慶輝2，羅 翔3

(1.西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048; 2.中國渦輪研究院， 成都 610500; 3.北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 北京 100191)

使用熱色液晶測量渦輪旋轉(zhuǎn)盤腔表面溫度隨時間的變化，即利用一維半無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱理論求出盤面的對流換熱系數(shù)。然而，該理論忽略了盤面橫向溫度不均的影響。針對一維平板的假設(shè)在實際工程中由于盤面溫度分布而導(dǎo)致的橫向熱傳導(dǎo)所帶來的誤差進(jìn)行理論分析得到修正方法，在25 ℃下采用帶寬為1 ℃的熱色液晶進(jìn)行實驗，將一維平板假設(shè)計算得到的對流換熱系數(shù)和修正后的對流換熱系數(shù)進(jìn)行對比分析。研究發(fā)現(xiàn)：盤面的量綱一過余溫度在0.44～0.55的范圍內(nèi)時，使用窄幅液晶測量盤面量綱一半徑為0.77～0.94的對流換熱系數(shù)時，由于橫向熱傳導(dǎo)而帶來的誤差可控制在1.5%以內(nèi)。

熱色液晶; 瞬態(tài)實驗；旋轉(zhuǎn)盤腔；橫向熱傳導(dǎo)；誤差

穩(wěn)態(tài)換熱實驗對測試儀器的要求相對較高，且實驗時間長、資源投入大。而瞬態(tài)換熱實驗方法正好相反，尤其是配合熱色液晶的使用后，優(yōu)越性更為明顯，并在近些年來得到了很好的應(yīng)用和發(fā)展。熱色液晶具有能在一定的溫度范圍內(nèi)顯示特定顏色的性質(zhì)，根據(jù)顯色的溫度范圍可分為窄幅熱色液晶和寬幅熱色液晶。窄幅熱色液晶的帶寬通常為1 ℃左右，測溫誤差為0.1 ℃；而寬幅熱色液晶的帶寬為10 ℃，測溫誤差比窄幅液晶更大。

在瞬態(tài)換熱實驗中，通常利用窄幅的熱色液晶測量表面溫度，獲取溫度隨時間的變化關(guān)系，即可從一維傅里葉導(dǎo)熱方程的理論解中計算得到物體表面的對流換熱系數(shù)。熱色液晶已用于瞬態(tài)實驗的研究中，如Ireland[1]最早在瞬態(tài)法測量對流換熱系數(shù)上使用熱色液晶。Jones[2]將熱色液晶瞬態(tài)法測量得到的值與穩(wěn)態(tài)法測量得到的值及理論計算值進(jìn)行對比，論證了瞬態(tài)法的可信度。Baughn[3]使用熱色液晶測量計算了復(fù)雜部件表面湍流流動時的換熱系數(shù)。

熱色液晶的另外一個優(yōu)勢在于可以用來測量旋轉(zhuǎn)部件表面的溫度場。旋轉(zhuǎn)部件換熱實驗研究的主要難點，在于對溫度場、流場的測量時實現(xiàn)測試信號的動靜轉(zhuǎn)化。傳統(tǒng)的測量旋轉(zhuǎn)部件表面溫度的方法為使用熱電偶或紅外測溫儀，但由于旋轉(zhuǎn)使得這2種方法的測試裝置復(fù)雜且測溫精度不高。Newton[4]使用熱色液晶配合頻閃照明拍攝系統(tǒng)克服傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)測試系統(tǒng)的缺點并準(zhǔn)確地測量旋轉(zhuǎn)盤表面局部溫度。此后，熱色液晶在渦輪盤腔的換熱實驗中得到廣泛應(yīng)用。Lock[5]使用熱色液晶對帶預(yù)旋的轉(zhuǎn)靜系盤腔內(nèi)換熱特性進(jìn)行了實驗研究。

對于熱色液晶在瞬態(tài)實驗的誤差，學(xué)者從測量的每個參數(shù)著手分析了實驗誤差。溫度測量的誤差會增大對流換熱系數(shù)的誤差，Yan[6]估算了瞬態(tài)實驗誤差并提出了減小誤差的方法,通過分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)：根據(jù)氣體初始溫度和階躍后溫度選擇適當(dāng)?shù)囊壕э@色溫度范圍，并且使量綱一過余溫度介于0.3～0.7，可以保證瞬態(tài)實驗方法的可信度。Owen等[7-9]使用液晶并采用瞬態(tài)法對渦輪盤腔轉(zhuǎn)靜系的各種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了局部換熱系數(shù)的測量和數(shù)值計算。

已有的瞬態(tài)實驗求解對流換熱系數(shù)均基于一維半無限大平板的假設(shè)開展，即假設(shè)溫度只沿壁面的法向發(fā)生變化，而這在實際工程中是不存在的。雖然通過調(diào)整實驗參數(shù)，如合理選擇實驗件的材料和厚度使其滿足無穿透的條件、合理設(shè)置溫度分布可以有效控制實驗的誤差，但當(dāng)橫向溫度分布的差異較大時，橫向的熱傳導(dǎo)不能忽略。Lin[10]、Ling[11]利用數(shù)值的方法求解了三維傅里葉導(dǎo)熱方程，發(fā)現(xiàn)一維假設(shè)在存在橫向熱傳導(dǎo)的條件下給對流換熱系數(shù)帶來的誤差為15%～20%，根據(jù)研究結(jié)果提出了相應(yīng)的熱色液晶用于瞬態(tài)實驗減小實驗誤差的方法。

本文對一維半無限大平板假設(shè)帶來的系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析，通過求解二維傅里葉導(dǎo)熱方程提出對流換熱系數(shù)修正方法，利用修正的公式計算對流換熱系數(shù)可避免在具體的實驗中求解復(fù)雜的二維和三維傅里葉方程，具有較強的工程實踐指導(dǎo)意義。此外，一個盤面的量綱一過余溫度在0.44～0.55的范圍內(nèi)時，使用窄幅液晶(R25C1W)測量盤面量綱一半徑為0.77～0.94的對流換熱系數(shù)的瞬態(tài)實驗中，將根據(jù)一維假設(shè)得到的值與修正后的值進(jìn)行對比分析，得到了一定條件下的橫向熱傳導(dǎo)的誤差。

1 瞬態(tài)實驗原理

瞬態(tài)實驗的理論依據(jù)為一維半無限大平板(如圖1所示)的換熱理論，在x=0界面有溫度為T0氣流流過，整個流動換熱的過程處于熱平衡狀態(tài)。設(shè)物體的密度為ρ、導(dǎo)熱系數(shù)為λ、比熱容為c，描述此問題的導(dǎo)熱微分方程、初始條件和邊界條件為：

(1)

圖1 一維半無限大平板

當(dāng)主流絕熱壁溫Taw(τ)確定后，對式(1)使用拉普拉斯變換和分離變量法[12]可求得T(x,τ)的解析解，這樣即可知壁溫Tw(即x=0)與時間τ及換熱系數(shù)h的關(guān)系式。據(jù)此，通過瞬態(tài)實驗方法測得τ與Tw的對應(yīng)值后，即可通過數(shù)值方法求出h。

對于不同形式的主流溫度Taw(τ)(如圖2所示，Tf(τ)形式也一致)，由式(1)求解所得的Tw形式不同。

圖2 主流和壁面溫度的時間曲線

當(dāng)Taw為階躍函數(shù)時，即有：

(2)

在此主流溫度條件下，Tw(τ)的解為[13-14]：

(3)

(4)

式(3)是最經(jīng)典的瞬態(tài)法換熱實驗的理論依據(jù)，該分析解在形式上最為簡單。但是，在瞬態(tài)換熱實驗中，主流的加熱在技術(shù)上很難實現(xiàn)Taw(或Tf)的瞬間提升。通常情況下，主流溫度需要一段時間才能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)(如圖2中Taw的實際溫升曲線)，若此時換熱實驗數(shù)據(jù)仍采用階躍溫升的理論解進(jìn)行處理，則會帶來較大的模型誤差。對此，一個較好的近似方法是將主流溫度Taw(τ)處理為階躍級數(shù)形式，即：

(5)

式中:n為階躍級數(shù)的項數(shù)，且τ0=0，τn=τ。n=1時，式(5)與式(2)相同；n→∞時，Taw(τ)趨于實際主流溫升曲線。對此，由式(1)求得Tw(τ)的解為[15]：

(6)

2 橫向熱傳導(dǎo)的誤差分析

為了考慮橫向溫差帶來的誤差，需求解傅里葉二維導(dǎo)熱方程，表示如下：

(7)

式中：x是垂直于測量固體表面的方向；y是平行于測量固體表面的方向；λ為導(dǎo)熱系數(shù)；ρ為固體的密度；cp為固體的定壓比熱容。

當(dāng)?2T/?y2=0時，就是求解對流換熱系數(shù)h的半無限大平板假設(shè)的一維傅里葉導(dǎo)熱方程。

定義量綱一參數(shù)并對一維傅里葉方程進(jìn)行量綱一化：

Fo=aτ/L2，Bi=hL/λ

那么式(3)可以寫為

(8)

式中：Fo為傅里葉數(shù)；Bi1為一維傅里葉導(dǎo)熱方程求得的畢渥數(shù)；h1為對流換熱系數(shù)；L是固體的厚度；a(λ/ρcp)為熱擴散率。

對二維傅里葉導(dǎo)熱方程式(7)進(jìn)行無量綱化：

(9)

定義一個參數(shù)φ，使

(10)

將式(10)代入到式(9)中，那么式(9)就可以簡化為包含μ與η兩個方向的一維傅里葉導(dǎo)熱方程：

(11)

其中

Fo2=Fo(1+φ)

(12)

式(12)中φ包含y方向上的導(dǎo)熱，那么類比一維半無限大平板假設(shè)的分析解，式(11)的解為

(13)

其中

(14)

Bi2、h2分別是二維傅里葉導(dǎo)熱方程中的畢渥數(shù)和對流換熱系數(shù)。

由式(8)(12)(14)可知：

Bi2=Bi1(1+φ)-1/2

(15)

那么就可以通過一維導(dǎo)熱方程中已求得的Bi1求Bi2，從而可以求得對流換熱系數(shù)h2，即對橫向溫差產(chǎn)生的熱傳導(dǎo)進(jìn)行修正后的對流換熱系數(shù)。

3 對流換熱系數(shù)修正

James和Lock[16]對求φ值做了詳細(xì)的理論推導(dǎo)和實驗驗證研究。

先假設(shè)

φ=cφ0

(16)

然后通過理論推導(dǎo)得到：

(17)

(18)

最后通過實驗得到c與Θ的經(jīng)驗關(guān)系式：

c=0.563-0.371Θ

(19)

其中Fo0是液晶變色時的傅里葉數(shù)。

所以由式(16)～(19)可以得到φ值，再通過式(15)和由一維傅里葉導(dǎo)熱方程求得的Bi1可以求得修正過的對流換熱系數(shù)h2。

本文利用瞬態(tài)方法測量圖3所示渦輪盤腔轉(zhuǎn)靜系中旋轉(zhuǎn)盤面的對流換熱系數(shù)，該轉(zhuǎn)靜系為實際發(fā)動機渦輪盤腔簡化縮放之后得到的結(jié)構(gòu)。測試區(qū)域位于盤面徑向位置介于ab之間的扇形區(qū)域， ab的徑向長度為34.5 mm，無量綱半徑范圍為0.857～0.948。氣流通過靜止盤上的預(yù)旋孔進(jìn)入盤腔，采用電焊機作為電源的電加熱器，為流經(jīng)實驗件表面的氣流提供一個階躍的溫升。實驗件測量表面噴涂的液晶為25 ℃的窄幅熱色液晶(R25C1W)，用相機配合頻閃儀記錄盤面熱色液晶的顯色過程。具體實驗設(shè)備和方法參見徐國強[17]在北京航空航天大學(xué)航空發(fā)動機氣動熱力國家級重點實驗室的旋轉(zhuǎn)換熱多功能實驗臺上開展的瞬態(tài)換熱測量盤面對流換熱系數(shù)的實驗。

圖3 瞬態(tài)換熱實驗件

本文對考慮橫向誤差之后的修正值和未修正值進(jìn)行對比分析，基于半無限大平板假設(shè)理論求得的對流換熱系數(shù)為修正之前的數(shù)據(jù)，由二維傅里葉導(dǎo)熱方程求得的對流換熱系數(shù)為考慮熱傳導(dǎo)修正后的數(shù)據(jù)。

選取旋轉(zhuǎn)盤腔進(jìn)氣流量700 kg/h，轉(zhuǎn)速分別為0、500、1 000、1 500、2 000 r/min 5個工況的對流換熱系數(shù)h進(jìn)行修正。選取測試區(qū)域徑向的一條直線上的對流換熱系數(shù)，并按照以下的方法計算考慮橫向熱傳導(dǎo)的修正值：

1) 利用式(3)～(6)，即基于半無限大平板假設(shè)理論由實驗結(jié)果求得Bi1。

2) 使用最小二乘法3次樣條插值對已求得沿半徑的Bi1進(jìn)行擬合。在處理數(shù)據(jù)過程中，每個工況擬合度都在0.95以上。

3) 由擬合后的曲線可以求得每個點的?Bi1/?μ和?2Bi1/?μ2值，然后代入式(17)中可以求得φ0。其中Fo0是從加熱時刻開始，到主盤溫度開始變色之間的時間段對應(yīng)的傅里葉數(shù)。將0、500、1 000、1 500、2 000 r/min 5個工況對應(yīng)的時間代入Fo0的公式計算，得到每個工況對應(yīng)的Fo0分別為0.026、0.011 1、0.008 97、0.005 69、0.003 8。

4) 定該工況的無量綱過余溫度Θ=0.462，代入式(19)可以得到c=0.390 75。

5) 將求得的每個點的Bi1、φ0、c代入式(15)和式(16)中可以求得修正后的每個點對應(yīng)的Bi2，進(jìn)而求得修正后的對流換熱系數(shù)h2。

由于每個工況半徑方向上的點很多，因此對每個點進(jìn)行人工修正耗時比較長，故編寫VB程序?qū)ζ溥M(jìn)行批處理。修正后的數(shù)值與修正前的數(shù)值如圖4所示。

圖4 m=700 kg/h，修正前后的對流換熱系數(shù)對比

從圖4中可以看出：在本實驗的條件下，基于一維半無限大導(dǎo)熱理論得到的修正前的值與修正后的值的誤差不超過5%。這主要是因為，窄幅液晶顯色溫度范圍為1 ℃，液晶拍攝視野即量綱一半徑0.77～0.94都有液晶顯色，所以該區(qū)域的溫差最大為1 ℃。那么，由熱傳導(dǎo)引起的誤差就會相對小一些。Yan等[6]對半無限大平板假設(shè)后的一維求解分析出的實驗誤差在量綱一過余溫度0.3<Θ<0.7范圍內(nèi)為5%，由此可知該熱傳導(dǎo)誤差相對其實驗測量誤差較小，即在其測量誤差范圍內(nèi)。所以采用窄幅液晶進(jìn)行瞬態(tài)換熱實驗時，熱傳導(dǎo)誤差可以不予考慮?？梢酝茢啵?dāng)換熱表面溫差較大時，熱傳導(dǎo)因素對基于半無限大平板假設(shè)求得的對流換熱系數(shù)影響就會很大。因此，在大溫差換熱平面上，該對流換熱修正理論有很好的應(yīng)用。為了深入分析轉(zhuǎn)速對橫向熱傳導(dǎo)帶來的誤差影響以及該誤差隨量綱一半徑的變化規(guī)律，定義Δ=|h2-h1|/h1。圖5給出了500、1 000、1 500、2 000 r/min 4個工況下誤差Δ隨量綱一半徑的變化規(guī)律。

圖5 各個工況誤差Δ隨量綱一半徑變化

4 結(jié)論

通過二維傅里葉導(dǎo)熱方程對橫向熱傳導(dǎo)的誤差進(jìn)行了分析，并且結(jié)合實驗結(jié)論，得到了修正的經(jīng)驗公式。在求解修正值時，利用修正公式避免求解復(fù)雜的二維導(dǎo)熱方程，即直接對瞬態(tài)換熱實驗計算得到的對流換熱系數(shù)進(jìn)行計算修正。通過修正前后值的對比，發(fā)現(xiàn)在過余溫度滿足0.44<Θ<0.55，使用1 ℃的窄幅液晶測量轉(zhuǎn)盤量綱一半徑為0.77～0.94的對流換熱系數(shù)時，橫向熱傳導(dǎo)帶來的誤差不超過1.5%。本文結(jié)論保證了一定條件下的瞬態(tài)實驗的可靠性，對于更寬廣的實驗的修正也可以通過經(jīng)驗公式進(jìn)行。

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(責(zé)任編輯林 芳)

ErrorCorrectionofTransientHeatTransferExperimentBasedonOneDimensionalHypothesis

WANG Lei1， MA Qinghui2， LUO Xiang3

(1.School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China；2.China Gas Turbine Establishment, Chengdu 610500, China;3.School of Power and Energy, Beihang University, Beijing 100191, China)

Knowing the time at which the termochromic liquid crystal (TLC) changes color, then the heat transfer coefficient can be calculated applying the analytical solution of one-dimensional semi-infinite plate hypothesis transient heat conduction. However, this process disregards lateral-conduction error, so this paper analysis theoretically the error caused by lateral heat conduction due to temperature distribution on the surface. Also the results from one-dimensional plate hypothesis and the corrected results are compared and analyzed. When the non-dimensional excess temperature ranges between 0.44 and 0.55, and using narrow band TLC to measure the heat transfer coefficient on the disk between non-dimension radius of 0.77～0.94, the error due to lateral heat conduction would be controlled within 1.5%.

thermochromic liquid crystal; transient experiment; rotating cavity; lateral conduction;error

2017-01-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(50806004)

王蕾(1988—)，女，助教，主要從事航空發(fā)動機渦輪部件的流動與傳熱方面研究，E-mail:495074022@qq.com。

王蕾,馬慶輝,羅翔.基于一維假設(shè)的瞬態(tài)換熱實驗的誤差修正[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(11):94-101.

formatWANG Lei，MA Qinghui，LUO Xiang.Error Correction of Transient Heat Transfer Experiment Based on One Dimensional Hypothesis[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(11):94-101.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.11.014

TK479+.22

A

1674-8425(2017)11-0094-08