函數(shù)不等式中的參數(shù)的取值范圍的求解方法

云南省玉溪第一中學(xué)653100 武增明

函數(shù)不等式中的參數(shù)的取值范圍的求解方法

云南省玉溪第一中學(xué)653100 武增明

求函數(shù)不等式f(x)≥g(x)中的參數(shù)的取值范圍(最值)的方法到底有幾種?何時用哪種方法求解速度快?對此問題,本文作一些歸納、總結(jié)、探究,以饗讀者朋友.

例1定義在R上的奇函數(shù)f(x)對任意的x1,x2(x1/=x2)都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＜0.若實數(shù)a,b(a＞0)使得不等式f(a2ea-a2)+f(ba3)≤0恒成立,則b的取值范圍上____.

解析 由題意得,奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則

把a換成x,則問題等價于ex-1+bx≥0對x＞0恒成立,求b的取值范圍.

方法1(分離函數(shù))設(shè)g(x)=ex,h(x)=-bx+1,

當(dāng)-b≤0,即b≥0時,符合題意.

當(dāng)-b＞0,即b＜0時,設(shè)直線h(x)=-bx+1與曲線g(x)=ex相切的切點為(x0,y0),則

由此得x0=0(湊出來的),又f′(x)=ex,所以ex0=-b,從而e0=-b,即-b=1,由圖(如圖1)知,-b≤1,即b≥-1,此時,-1≤b＜0.

圖1

圖2

綜上,b≥0或-1≤b＜0,即b≥-1.故b的取值范圍為[-1,+∞).

評注 分離函數(shù)是指把函數(shù)不等式F(x)≥0中的函數(shù)f(x)拆分成兩個新的函數(shù)f(x)和g(x),且要至少便于畫出一個函數(shù)的大致圖象.

方法2(合并函數(shù))設(shè)g(x)=ex+bx-1,則g′(x)=ex+b.

當(dāng)b≥0時,g′(x)＞0,故g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單增,又g(0)=0,所以b≥0符合題意,此時函數(shù)g(x)的模擬圖像如圖2所示.

當(dāng)b＜0時,由g′(x)＞0,得x＞ln(-b);由g′(x)＜0,得0＜x＜ln(-b).從而g(x)在區(qū)間(0,ln(-b)]上單減,在區(qū)間[ln(-b),+∞)上單增.

圖3

圖4

若ln(-b)≤0,即b≥-1,這時b≥-1符合題意,函數(shù)g(x)的模擬圖像如圖3所示,此時,-1≤b＜0.若ln(-b)＞0,即b＜-1,這時,又g(0)=0,所以b＜-1不符合題意,此時函數(shù)g(x)的模擬圖像如圖4所示.

綜上,b≥0或-1≤b＜0,即b≥-1.故b的取值范圍為[-1,+∞).

評注 合并函數(shù)是指把函數(shù)不等式f(x)≥g(x)中的函數(shù)f(x)和g(x)合并成一個函數(shù)f(x)-g(x)(或g(x)-f(x)),且要便于求導(dǎo)又易判斷其圖象的走向.

方法3(分離參數(shù))

因為x＞0,所以ex-1≥-bx等價于

設(shè)h(x)=exx-ex+1,則h′(x)=exx＞0,所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單增,又h(0)=0,從而在區(qū)間(0,+∞)上,h(x)＞0.故g′(x)＞0,于是g(x)在(0,+∞)上單增.又x→0時,ex-1→0,故而由洛比達法則,得

所以1≥-b,即b≥-1.故b的取值范圍為[-1,+∞).

評注 分離參數(shù)簡稱分參,這是求函數(shù)不等式f(x)≥g(x)中的參數(shù)的取值范圍(最值)的常用方法.

例2(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試第25題第(2)小題)設(shè)函數(shù)的定義域為D,其中a＜1.若對于任意的成立,求實數(shù)k的取值范圍.

首先,當(dāng)k≤0時,f(x)≥kx2恒成立,因此只要考慮當(dāng)k＞0時的情況.又因為x∈[0,2]∩D,所以原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈[0,2]∩D時,恒成立,求實數(shù)k的范圍.

(1)當(dāng)a＜0(如圖5所示)或a=0(如圖6所示)時,只要即可.

圖5

圖6

(2)當(dāng)0＜a＜1時,函數(shù)y=f1(x)在(-∞,1-a)上遞增,在(1-a,1]上遞減,在[1,1+a]上遞增,在(1+a,+∞)上遞減(如圖7和圖8所示).

圖7

圖8

記A(2,f1(2)),B(1,f1(1)).因為當(dāng)x∈(1,1+a)時,

即當(dāng)x∈(1,1+a)時,直線OB始終在函數(shù)y=f1(x)圖像的下方,所以只要考慮kOA,kOB的大小即可.

①當(dāng)kOA≤kOB時,如圖7,當(dāng)即②當(dāng)kOA＞kOB時,如圖8,當(dāng)時,

評注 本題充分利用圖象關(guān)系,替代了有關(guān)代數(shù)的討論,大大降低了討論的難度,增加了可操作性.遇到此類問題,一般首先從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造或分離出一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反比例函數(shù)等基本函數(shù),再利用函數(shù)圖象關(guān)系加以討論.

例3(2013年高考全國新課標(biāo)卷II·文12)若存在正數(shù)x,使2x(x-a)＜1成立,則a的取值范圍是()

A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)

C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

易知g(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),又g(0)=-1,所以g(x)∈(-1,+∞),故a＞-1,即a的取值范圍是(-1,+∞),從而選D.

圖9

評注 此題的解法2,從函數(shù)不等式2x(x-a)＜1中,分離出一次函數(shù)f(x)=x-a和指數(shù)函數(shù)再作出其大致圖象,利用兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系,把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體的形象問題,通過觀察其圖象,問題迅速獲解.

由上述三個例子的解答,我們可以看出,函數(shù)不等式中的參數(shù)的取值范圍的求解方法,主要有分離函數(shù)法、合并函數(shù)法、分離參數(shù)法.何時用何種方法簡便,具體要看問題條件,但是,其本質(zhì)是數(shù)形結(jié)合法.

[1]馮海容,江強.恰當(dāng)分類與減少討論層次的策略[J].中學(xué)教研：數(shù)學(xué), 2017(5)：35.