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    追本溯源,三視圖巧回幾何體

    2017-12-05 02:33:34毛明明
    求學(xué)·文科 2017年11期
    關(guān)鍵詞:直觀圖投影面多面體

    毛明明

    縱觀歷年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷,幾乎年年都會(huì)命制這樣的選擇題:給出幾何體的三視圖,求幾何體的體積或者表面積.試題突出考查考生識(shí)圖、畫圖、用圖的空間想象能力,是高考的熱點(diǎn)之一.由幾何體的三視圖還原為直觀圖是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.本文試圖通過(guò)從空間幾何體產(chǎn)生三視圖的源頭中,追溯到連接空間幾何體及其三視圖的根本,從而巧妙地解決三視圖還原幾何體問(wèn)題.

    提出問(wèn)題

    【例1】如圖1,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )

    【分析】這是2014年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ選擇題的壓軸題,由三視圖還原幾何體是解題的關(guān)鍵,也是這道題的難點(diǎn),很多考生都無(wú)法完成.那么對(duì)于這類問(wèn)題如何解決呢?以點(diǎn)定線、以線定面、追本溯源是解決這類問(wèn)題的簡(jiǎn)單方法.

    追本溯源

    一、從直觀圖到三視圖的啟示

    我們知道點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體.點(diǎn)是所有空間幾何體的根本,而有些點(diǎn)對(duì)空間幾何體又起到關(guān)鍵作用,如多面體頂點(diǎn)所在的位置,就決定了該多面體的形狀和大小.因此,我們可以利用這些關(guān)鍵點(diǎn)快速、準(zhǔn)確地由直觀圖畫出三視圖.

    【例2】如圖2,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),畫出三棱錐C1-BDE的正視圖.

    【解析】我們知道光線從幾何體的前面向后面正投影,得到的投影圖稱為幾何體的正視圖.根據(jù)正視圖的定義,我們就清楚地看到了正視圖產(chǎn)生的過(guò)程.

    1.確定投影面

    在本題中,我們可以把平面CDD1C1當(dāng)作是投影面.

    2.選擇幾何體的關(guān)鍵點(diǎn)

    在本題中,三棱錐C1-BDE的關(guān)鍵點(diǎn)為四個(gè)頂點(diǎn),即B,C1,D,E.

    3.確定關(guān)鍵點(diǎn)在投影面上的投影點(diǎn)

    在本題中,點(diǎn)B在投影面上的投影為C,其余三點(diǎn)的投影C1,D,E與自身重合.

    4.確定各線段在投影面上的投影線(各線段對(duì)應(yīng)的投影點(diǎn)相連就得到對(duì)應(yīng)的投影線)

    在本題中,棱BC1的投影為CC1,棱BD的投影為CD,棱BE的投影為CE,其余的棱的投影不變.

    5.確定所畫線段的虛實(shí)

    看得見(jiàn)的線畫成實(shí)線,看不見(jiàn)的線畫成虛線,畫出正視圖如圖3所示.

    按照上述步驟,把平面CBB1C1當(dāng)作是投影面畫岀例2中三棱錐C1-BDE的側(cè)視圖(圖4),把平面ABCD當(dāng)作是投影面畫岀例2中三棱錐C1-BDE的俯視圖(圖5).

    名師點(diǎn)撥:由空間幾何體的直觀圖畫三視圖,確定空間幾何體的關(guān)鍵點(diǎn)是根本.找準(zhǔn)了關(guān)鍵點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)的投影,再連接關(guān)鍵點(diǎn)的投影就得到線段(棱)的投影,最后把看得見(jiàn)的線畫成實(shí)線,看不見(jiàn)的線畫成虛線,即完成了由空間幾何體的直觀圖畫出三視圖的畫圖過(guò)程.所以,點(diǎn)是幾何體的根本.

    二、轉(zhuǎn)換思路——還原幾何體直觀圖逆向思維法

    三視圖還原幾何體的題目,從考查空間想象能力的要求看,就是要考生能根據(jù)三視圖想象出直觀圖. 高考試題的幾何體往往是由我們熟悉的空間幾何體(如正方體、長(zhǎng)方體等)截去一些部分得到.我們能否利用這一思路來(lái)巧妙解決三視圖還原幾何體的問(wèn)題呢?

    再看例1的圖1,三視圖都與邊長(zhǎng)為4的正方形有關(guān),我們可以考慮該幾何體是由邊長(zhǎng)為4的正方體截去一些部分得到.

    由直觀圖到三視圖的啟示可知,畫幾何體的三視圖關(guān)鍵是從幾何體的關(guān)鍵點(diǎn)找到對(duì)應(yīng)投影點(diǎn).因此,由幾何體的三視圖想象其直觀圖,解題的關(guān)鍵也應(yīng)該是從三視圖的關(guān)鍵點(diǎn)找?guī)缀误w投影對(duì)應(yīng)的點(diǎn).若找其三視圖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)難時(shí),不妨從不是其三視圖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)進(jìn)行突破.我們可以按照下面的步驟來(lái)解例1.

    【解析】設(shè)該幾何體是由邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1截去一些部分得到.

    第一步,由正視圖我們可以確定點(diǎn)A,D一定不在該空間幾何體上,如圖6,用空心圓點(diǎn)表示,從而得到AD上的點(diǎn)也一定不在該空間幾何體上.

    第二步,由側(cè)視圖我們可以確定點(diǎn)A,B和A1,B1一定不在該空間幾何體上,從而得到AB和A1B1上的點(diǎn)也一定不在該空間幾何體上.

    第三步,由俯視圖我們可以確定點(diǎn)A,A1一定不在該空間幾何體上,從而得到AA1上的點(diǎn)也一定不在該空間幾何體上。

    第四步,由側(cè)視圖我們知道棱AA1,BB1的中點(diǎn)至少有一個(gè)在該幾何體上,但由俯視圖我們可以排除棱AA1的中點(diǎn),故棱BB1的中點(diǎn)M一定在該幾何體上.

    第五步,通過(guò)前面的排除,還保留的點(diǎn)有C,C1,D1,M ,可以得到三棱錐M-CC1D1,如圖7所示.我們可以利用例2的方法得到三棱錐M-CC1D1的三視圖.

    第六步, 對(duì)比驗(yàn)證,通過(guò)對(duì)比題目給出的三視圖,從而驗(yàn)證所得結(jié)果是否正確. 如果三視圖完全一致,我們得到滿足要求的幾何體;如果三視圖不一致,我們可以考慮刪減個(gè)別點(diǎn)再進(jìn)行驗(yàn)證,直到得到滿足要求的幾何體為止.

    綜上所述,我們得到三棱錐M-CC1D1為滿足題目要求的幾何體,易知其中最長(zhǎng)棱為D1M,D1M= =6,故選B.

    【名師點(diǎn)睛】如果考生在三視圖中不能確定點(diǎn)在不在幾何體上,就可以用粘貼法來(lái)確定.

    如將正視圖復(fù)制粘貼在正方體的正面(圖8-1),從圖中就很容易知道點(diǎn)A,D不在幾何體上;將俯視圖復(fù)制粘貼在正方體的上面(圖8-2),確定點(diǎn)A,A1不在幾何體上;將左視圖復(fù)制粘貼在正方體的左面(圖8-3),確定點(diǎn)A,B和A1,B1不在幾何體上.

    【例3】(2016年全國(guó)卷Ⅲ)如圖9,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( )

    A. 18+36

    B. 54+18

    C. 90

    D. 81

    【解析】該幾何體由長(zhǎng)、寬、高分別為6,3,6的長(zhǎng)方體截去一些部分得到.

    第一步, 由三視圖可以確定點(diǎn)B,C,A1,D1 不在該幾何體上,而棱AB,DC,A1B1,D1C1的中點(diǎn)E,F(xiàn),M,N可能在該幾何體上.

    第二步,如圖10,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可知,四棱柱AEFD-MB1C1N為滿足要求的幾何體.

    綜上所述,該幾何體為四棱柱AEFD-MB1C1N,底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為3,所求表面積S=(3×3+3×6+3×3)× 2=54+18,故選B.

    點(diǎn)石成金

    當(dāng)我們遇到給出幾何體的三視圖求幾何體的體積或表面積的試題時(shí),利用關(guān)鍵點(diǎn)由三視圖想象并畫出直觀圖是解題的關(guān)鍵.我們可以先假設(shè)空間幾何體是由我們熟悉的空間幾何體(如正方體、長(zhǎng)方體等)截去一些部分得到.當(dāng)直接找關(guān)鍵點(diǎn)困難時(shí),我們通過(guò)轉(zhuǎn)換思路,依三視圖排除不在幾何體上的點(diǎn),留下在幾何體上的關(guān)鍵點(diǎn),最后再由關(guān)鍵點(diǎn)連接得到幾何體.endprint

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