人工帶隙材料的拓撲性質(zhì)?

孫曉晨何程盧明輝 陳延峰

1)(南京大學,固體微結(jié)構(gòu)國家實驗室,材料科學與工程系,南京 210093)2)(人工微結(jié)構(gòu)科學與技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210093)

人工帶隙材料的拓撲性質(zhì)?

孫曉晨1)何程1)2)盧明輝1)2)?陳延峰1)2)

1)(南京大學,固體微結(jié)構(gòu)國家實驗室,材料科學與工程系,南京 210093)2)(人工微結(jié)構(gòu)科學與技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210093)

(2017年9月20日收到;2017年11月6日收到修改稿)

近年來,人工帶隙材料(如聲子晶體和光子晶體)由于其優(yōu)異的性能,已成為新一代智能材料的研究焦點.另一方面,材料拓撲學由凝聚態(tài)物理領(lǐng)域逐漸延伸到其他粒子或準粒子系統(tǒng),而研究人工帶隙材料的拓撲性質(zhì)更是受到人們的廣泛關(guān)注,其特有的魯棒邊界態(tài),具有缺陷免疫、背散射抑制和自旋軌道鎖定的傳輸?shù)忍匦?潛在應用前景巨大.本文簡要介紹拓撲材料特有的魯棒邊界態(tài)的物理圖像及其物理意義,并列舉諸如光/聲量子霍爾效應、量子自旋霍爾效應、Floquet拓撲絕緣體等相關(guān)工作;利用Dirac方程,從原理上分析光/聲拓撲性質(zhì)的由來;最后對相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展方向和應用前景進行了相應的討論.

人工帶隙材料,拓撲,Dirac方程

1 引 言

劍仙手中掐訣,提起御劍之氣,足下寶劍載其飄行于湖面之上.湖畔一片竹林,眼見劍鋒一股真氣溢出,排開竹海,竟從林間撕開一條去路.竹林外,一塊大石擋住去路.那劍氣仿佛有靈氣一般,鄰近大石一個急轉(zhuǎn),貼著石壁繞了過去.

浩浩乎如憑虛御風而不知其所止,飄飄乎如遺世獨立羽化而登仙.受“摩爾時代即將終結(jié)”這一世紀難題所困惑的科學家們希望在導電材料中做出猶如仙俠小說中描述般的御劍之術(shù).它們一往無前不受外界干擾,能夠穿越雜質(zhì),繞行障礙物.這樣一來,電流在電子器件的溝壑中穿行時,其傳輸效率將大大提高,熱量消耗大大減小.這不僅可以提高器件性能,更可以極大地降低器件材料的需求加工難度,甚至可以實現(xiàn)更豐富的性能,讓人們可以在器件功能上發(fā)揮更豐富的想象力.科學家經(jīng)過多年研究發(fā)現(xiàn),如果物理學中真的有御劍之術(shù),那么保護電子不受外物干擾的御劍之氣,就是拓撲.受到拓撲保護的材料,其內(nèi)部電流不受雜質(zhì)、無序結(jié)構(gòu)影響,可以實現(xiàn)快速、高效、低能耗的信號傳輸.

圖1 御劍術(shù)(來自百度圖片,出自游戲《天下》)Fig.1.Control the sword(From Baidu Picture,Game“TIANXIA”)

拓撲是一個數(shù)學概念.通俗來講,對物體進行連續(xù)形變,而不“剪開”或者“黏連”,物體的某些性能指標將會保持不變,而變換前后的物體“拓撲等價”.舉個具體的例子,一個球拓撲等價于一個碗;一個面包圈拓撲等價于一個水杯.但是,球和面包圈拓撲不等價.也就是說,球和面包圈具有不同的拓撲數(shù),如圖2所示.在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域,隨著晶體能帶理論的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)以矢量k為底流形的倒空間結(jié)構(gòu)(動量-能量關(guān)系,即能帶),也同樣可以視為類似球體或者面包圈的流形,從而具有不同的拓撲數(shù).如果系統(tǒng)的某種性質(zhì)——例如電子輸運性能——只和這個拓撲數(shù)有關(guān),那么除非這個系統(tǒng)變化大到顛覆了拓撲數(shù),否則電子輸運性能總會保持不變,例如手征性、無損耗、電流方向等.遵循著這一思路,1984年Berry把幾何相位的概念正式引入到物理領(lǐng)域,在前人工作的基礎(chǔ)上[1],提出了“Berry phase”的概念[2,3].這個概念迅速引領(lǐng)了拓撲相,以及拓撲相變的蓬勃發(fā)展[4].其中最典型的例子就是QH家族.

圖2 不同的拓撲類[5]Fig.2.Di ff erent topology classes[5].

1879年,美國物理學家Hall在研究金屬導電機理時發(fā)現(xiàn)了霍爾效應:電流垂直于外加磁場(B)通過導體時,載流子發(fā)生偏轉(zhuǎn),垂直于電流和磁場的方向出現(xiàn)電勢差.如果用霍爾電阻(RH)表示這種互相垂直的電勢差和輸入電流之比,會發(fā)現(xiàn)其數(shù)值隨B線性增加[6],如圖3(a)所示.1980年,德國物理學家von Klitzing發(fā)現(xiàn)了整數(shù)量子霍耳效應[7]:在低溫強磁場下,二維電子氣被限制在一層極薄的層狀材料之內(nèi)運動.此時的霍爾電阻與垂直磁場B的關(guān)系在總體上升趨勢中會出現(xiàn)數(shù)值為RH=h/(ne2)(n為整數(shù))的平臺.在平臺處,霍爾電阻對載流子濃度、遷移率大小等均不敏感,即具有某種量子化的特性.1982年,Thouless等指出:這種量子化特性的根源來自系統(tǒng)能帶整體具有的拓撲不變量n,并且引入陳數(shù)(Chern number,即陳省身數(shù))來描述這個拓撲不變量.進一步,這種體能帶拓撲性質(zhì)對量子化霍爾電導的影響被總結(jié)成為Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs(TKNN)關(guān)系[8].具有量子霍爾效應的拓撲非平庸系統(tǒng)陳數(shù)非零,而真空或普通絕緣體等平庸系統(tǒng)陳數(shù)為零.他們還指出,這種存在于能帶中的階梯狀“魯棒”特性可以直接對應于邊界態(tài)傳輸時的“拓撲保護”現(xiàn)象:材料表面電子將會單向傳輸,且完全“背散射抑制”——電流不會被材料表面的雜質(zhì)、缺陷散射掉——這就是凝聚態(tài)物理中的“御劍之氣”.從此,拓撲物態(tài)的研究成為凝聚態(tài)物理研究中的重要方向,拓撲材料研究也蓬勃發(fā)展.歷代科學家為拓撲現(xiàn)象擴展實驗平臺、降低實驗難度前赴后繼地努力著.1988年,Haldane[9]提出了一種在周期性磁通中實現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應的方法,在理論上克服了拓撲性質(zhì)依賴于外界強磁場的瓶頸.盡管總磁通為零,電子依然會形成非零的邊界電導[10].值得一提的是,Thouless和Haldane憑借在拓撲相物質(zhì)和拓撲相變方面的貢獻,與Kosterlitz一起三人分享了2016年獲的諾貝爾物理學獎.2005年和2006年,Kane和Zhang等分別提出,利用電子自旋軌道耦合,可以在零磁場下得到一對共軛的自旋相反的無能隙邊界態(tài).這對自旋邊界態(tài)可以視為一對量子反?；魻栃慕Y(jié)合,它們在體能帶能隙中簡并,并受到時間反演對稱性保護.這就是量子自旋霍爾效應(二維)[11].這一現(xiàn)象于2007年在HgTe量子阱實驗體系中得以實現(xiàn)[12].類似量子霍爾效應,這種系統(tǒng)可以用另外一類拓撲不變量來描述:Z2拓撲不變量[13]或自旋陳數(shù)(spin Chern number)[14].在最近十年的發(fā)展中,凝聚態(tài)拓撲學逐漸由二維系統(tǒng)擴展到三維系統(tǒng).2009年,遵循2D量子自旋霍爾效應的原則,科學家們提出了一種3D拓撲絕緣體[15],并在實驗中觀測到了其特征:位于體能帶能隙中的Dirac型表面態(tài)色散[16].2011年,哈佛大學Fu[17]提出可通過晶格對稱性構(gòu)造一種三維拓撲晶體絕緣體.不同于一般拓撲絕緣體,其不需要自旋軌道耦合,拓撲性質(zhì)受到晶格對稱性(比如鏡面對稱性)而非時間反演對稱性保護,并隨后在實驗上得以證實[18].2011年,南京大學Wan等[19]考慮Dirac方程對稱性破缺后的Weyl方程,提出并設(shè)計了一類拓撲半金屬材料,即Weyl半金屬.另外,一類以準能量和時間周期性Floquet定理為標志的Floquet拓撲絕緣體也通過電磁波誘導得以實驗實現(xiàn)[20].

圖3 霍爾效應家族(a)霍爾效應;(b)整數(shù)量子霍爾效應[7];(c)量子自旋霍爾效應[12];(d)拓撲晶絕緣體[17];(e)Floquet拓撲絕緣體[20];(f)反常量子霍爾效應實驗[21]Fig.3.Hall e ff ect family:(a)Hall e ff ect;(b)integer quantum Hall e ff ect[7];(c)quantum spin Hall e ff ect[12];(d)topological crystalline insulators[17];(e)Floquet topological insulator[20];(f)the experiment of anomalous quantum Hall e ff ect[21].

然而,拓撲材料從理論到實踐的跨越異常艱難.由于電子體系本身情況復雜,雜質(zhì)影響難以忽略,而且能帶論所要求的單電子假設(shè)不可能完美實現(xiàn),所以前面提到的種種優(yōu)美的物理現(xiàn)象很難在實驗中輕易觀測到.以量子反?；魻栃獮槔?直到2013年,清華大學的Xue教授研究組[21]才在實驗中觀測到這一效應,據(jù)Haldane提出這一現(xiàn)象已經(jīng)過去了25年.而另一方面,人工帶隙材料——包括光子晶體聲子晶體等——因為其玻色子相互作用弱,是一類純凈的系統(tǒng).人工帶隙材料具有更易制備的平臺、更易于調(diào)控的能帶結(jié)構(gòu),因而受到人們的重視.作為人工帶隙材料的重要代表,光/聲子晶體是把光/聲介質(zhì)材料按照周期性排列成晶格狀得到的材料體系,其中的光/聲流完全類似于電子系統(tǒng)中的電流.利用這種人工周期性系統(tǒng)實現(xiàn)電子能帶拓撲性質(zhì)具有可行性:1)能帶的形成來源于晶格的平移對稱性;2)量子化現(xiàn)象的本質(zhì)來源于能帶拓撲性質(zhì).電子系統(tǒng)本身特有的費米統(tǒng)計對電子能帶拓撲現(xiàn)象并無影響.于是可以考慮利用聲/光子晶體實現(xiàn)量子化的拓撲態(tài).不僅如此,用人工帶隙材料實現(xiàn)拓撲性質(zhì),具有自身獨到的優(yōu)點:1)人工帶隙材料通常為玻色系統(tǒng),于是可以無視電子系統(tǒng)中費米能級的限制,選取最合適的頻段進行研究;2)在聲光系統(tǒng)中,可以更方便準確地引入雜質(zhì)或者無序,大大提高了實驗靈活性;3)從實驗的角度來看,光聲系統(tǒng)具有更高的加工精度,因此可以進行更精準的調(diào)控[22];4)相比電子系統(tǒng),光子和聲子系統(tǒng)更容易實現(xiàn)高時空分辨的振幅和相位測量.

本文簡要介紹幾種具有代表性的光/聲拓撲材料,并在理論上闡釋拓撲現(xiàn)象的產(chǎn)生根源,從數(shù)學角度簡要探討拓撲材料產(chǎn)生的物理機理;首先介紹具有拓撲保護邊界態(tài)的光/聲整數(shù)量子霍爾效應;接著介紹具有成對出現(xiàn)的拓撲保護自旋流的光/聲量子自旋霍爾效應;然后,以光/聲Floquet拓撲絕緣體為代表,介紹具有不同形式邊界態(tài)的拓撲材料;再拓展到介紹一維、三維的光/聲拓撲材料;作為深化總結(jié),從數(shù)學角度簡要探討拓撲材料產(chǎn)生的物理機理;最后是總結(jié)與展望.

2 光/聲整數(shù)量子霍爾效應

先來回顧拓撲現(xiàn)象.拓撲材料往往具有不導電的體態(tài),以及可以導電的表面態(tài)或者邊界態(tài).就像一個絕緣的陶瓷杯,表面鍍了一層金,便具有了表面的導電性.不過,這兩者有著本質(zhì)的不同,拓撲材料的表面特性源于材料的內(nèi)稟性質(zhì),缺陷和雜質(zhì)都不會影響它.宛如靜水流深卻又波濤洶涌的海面,內(nèi)里波瀾不驚,表面上卻可以風起云涌.而電流導通與否的本質(zhì)在于能帶.提取出系統(tǒng)中所有的可以存在的布洛赫波模式的波矢和頻率,可以構(gòu)成一個二維色散圖,這就是能帶,如圖4(a)所示.可以看到,圖中有些頻率不對應任何模式,也就是說系統(tǒng)不允許這個頻段的波通過,這就是帶隙.對于材料內(nèi)運動的電子,如果其頻率剛好在這個帶隙以內(nèi),那么就相當于進入了一個“絕緣體”,不會產(chǎn)生電流.然而,真實的材料具有表面,有些時候波可以在材料表面?zhèn)鞑?這種表面態(tài)在能帶上體現(xiàn)為一些孤立的色散曲線.如果系統(tǒng)參數(shù)選擇得當,將會存在一種非常特殊的表面態(tài)色散:它聯(lián)通了上下兩段體態(tài)能帶,貫穿了整個能隙,如圖4(b)所示.

具有這種特征的表面態(tài)色散往往具有拓撲特征.在這條表面態(tài)色散曲線以下的體態(tài)色散曲線,構(gòu)成了類似“面包圈”的非平庸拓撲能帶.如果用一個特征指標來描述,可以說其“陳數(shù)”為1.而這條貫穿體態(tài)能隙的表面態(tài)色散,就像被上下體能帶分別牽住了兩頭,相對小的參數(shù)調(diào)整都不會讓它斷開.回到體系導通性質(zhì)上,就會看到剛好處于體能帶帶隙中的波輸入材料時,無法在體塊內(nèi)部傳播,但是可以在表面?zhèn)鞑?不僅如此,表面上的加工不均勻,或者形貌彎折,都不會改變材料的拓撲性質(zhì),也就不會改變這個表面態(tài)的傳輸.這就是整數(shù)量子霍爾效應所具有的“魯棒”邊界態(tài).對應的材料,被稱為“陳拓撲絕緣體”.

圖4 (a)能隙與平庸邊界態(tài);(b)整數(shù)量子霍爾效應中的拓撲邊界態(tài);(c)量子自旋霍爾效應中的拓撲邊界態(tài)Fig.4.(a)Band gap and trivial edge state;(b)the topological state of integral quantum Hall e ff ect;(c)the topological state of quantum spin Hall e ff ect.

回到我們關(guān)注的光/聲系統(tǒng)中來.由于同樣具有周期性結(jié)構(gòu),光子晶體/聲子晶體中光/聲的色散曲線同樣會構(gòu)成“能帶”.那么在光/聲系統(tǒng)中能否實現(xiàn)拓撲呢?2005年,Haldane和Raghu[23]首次提出了光子晶體領(lǐng)域的量子拓撲現(xiàn)象.他們在理論上指出,應該首先在能帶中構(gòu)造Dirac簡并,即色散關(guān)系滿足無質(zhì)量Dirac方程,而后在方程中添加質(zhì)量項使簡并破缺,方能實現(xiàn)光量子霍爾效應.破缺對稱的方式包括破壞系統(tǒng)空間反演對稱性,以及時間反演對稱性.經(jīng)過計算,他們發(fā)現(xiàn),只有當打破時間反演對稱性時,兩個不等價Dirac點才會具有符號相同的Berry curvatures(可以視為陳數(shù)在整個布里淵區(qū)隨波矢k的分布).于是,可以使得整條能帶具有非零的陳數(shù).反之,破缺空間反演對稱性,而保持時間反演不變性的系統(tǒng),Berry curvatures符號相反,能帶具有的陳數(shù)將會互相抵消.

2008年,Wang等[24]繞開了構(gòu)造Dirac簡并的步驟,直接破缺系統(tǒng)二次簡并,提出了實現(xiàn)光量子霍爾效應的具體方案.他們引入各向異性,給系統(tǒng)的介電常數(shù)矩陣ε引入了含有虛部的非對角項.這種含有虛部的非對角項對應于一個等效磁場,遵循了Haldane提出的破缺時間反演對稱性的原則.值得一提的是,兩篇論文為了實現(xiàn)非零陳數(shù),都利用了含質(zhì)量項的Dirac方程,區(qū)別僅在于破缺對稱性方式不同.基于Wang等在2008年的設(shè)計實驗,麻省理工學院課題組在實驗上利用金屬墻包圍的旋磁光子晶體介質(zhì)材料首次觀測到了單通拓撲光子態(tài),如圖5(a)所示[25].類似電子系統(tǒng)的量子霍爾效應,這種單通光子態(tài)傳播時對各種障礙物及缺陷無散射,即具有魯棒特性.此外,如果調(diào)整這種邊界態(tài)落在空氣線以外,就會形成無需金屬介質(zhì)限制的邊界模式[26].這一單通效應很快在其他諸多平臺上得以實現(xiàn),例如耦合腔(coupled cavities)[27]、旋磁光子晶體板(gyromagnetic photonic crystal slab)[28]以及超光子簇(gyrotropic photonic clusters)[29]等.值得注意的是,破缺簡并點的個數(shù)將會直接影響邊界態(tài)的個數(shù)[30].

相比之下,聲學量子霍爾效應研究起步較晚.這是因為陳拓撲絕緣體要求時間反演破缺,而聲場受磁場影響較小,難以在其中引入時間反演破缺.如圖5(b)所示,2014年,Alu等[31]巧妙地在聲波環(huán)形腔中引入了氣流,實現(xiàn)了聲學隔離器.在他們的設(shè)計中,不同運動方向的環(huán)形腔模式感受到的氣流影響正類似于不同自旋感受到的磁場影響.這給了人們很多啟示:是否可以將氣流等效視為聲學系統(tǒng)中的磁勢場呢?2016年,Yang等[32]以及Ni等[33]分別考慮在環(huán)形腔中引入氣流作為等效勢場,破缺了時間反演對稱性,從而實現(xiàn)了聲學陳絕緣體.

圖5 (a)實驗實現(xiàn)光子晶體量子霍爾效應[25];(b)在聲學環(huán)形腔中引入氣流作為等效勢場[31]Fig.5.(a)Experimental realization of photonic quantum Hall e ff ect[25];(b)introducing air flow as e ff ective potential field in the acoustic annular cavity[31].

3 光/聲量子自旋霍爾效應

中國古代講究太極陰陽調(diào)和,劍法中也有君子劍淑女劍雙劍合璧.類似地,凝聚態(tài)系統(tǒng)中,電子也具有成對的“自旋”這個內(nèi)稟屬性.如果在系統(tǒng)中引入自旋軌道耦合,那么兩種不同自旋的電子,將會“感受”到兩個相反方向的磁場.對應地,拓撲材料表面將會形成一對流向相反的邊界態(tài),分別對應兩種自旋.2005年和2006年,Kane和Zhang等分別提出,利用電子強自旋軌道耦合,可以在零磁場下得到一對共軛的自旋相反的無能隙邊界態(tài).這一對自旋相反的共軛態(tài)能流大小相等方向相反,分別滿足一對共軛的含質(zhì)量項Dirac方程.在能帶上看,這對邊界態(tài)將會在布里淵區(qū)中心發(fā)生簡并,如圖4(c)所示.與整數(shù)量子霍爾效應不同的是,這種量子自旋霍爾效應,需要保持時間反演對稱性來保證邊界態(tài)的魯棒特性.

同樣地,光子也具有自旋.除去自旋為零的虛光子態(tài),光子本征值為正負一的自旋態(tài)分別對應的左右旋光態(tài)剛好可以構(gòu)成一對共軛態(tài).實際上,可以在光/聲玻色系統(tǒng)中找到多種類似左右旋光這樣成對的態(tài)——稱之為“贗自旋”態(tài)——進而考慮研究光/聲量子自旋霍爾效應.量子自旋霍爾效應的核心效應是成對出現(xiàn)的受到時間反演對稱性保護的魯棒拓撲邊界態(tài),其關(guān)鍵是實現(xiàn)邊界態(tài)在能隙中的簡并,即Kramers簡并.電子作為費米子,時間反演對稱性剛好可以使之滿足這一簡并條件.而光和聲作為玻色系統(tǒng),其時間反演對稱性與作為費米子的電子有本質(zhì)的不同,無法構(gòu)造Kramers簡并.這一現(xiàn)狀給科學家以啟發(fā):如果時間反演對稱性不能在玻色系統(tǒng)中構(gòu)造Kramers簡并,那么其他對稱性能否構(gòu)造Kramers簡并?換言之,在玻色系統(tǒng)中實現(xiàn)量子自旋霍爾效應,其魯棒特性是否必須由時間反演對稱性保護?

2013年,德克薩斯大學奧斯汀分校Khanikaev等[34]在理論上提出了一種利用雙各向異性介質(zhì)實現(xiàn)的二維光拓撲絕緣體,如圖6所示.他們構(gòu)造了六角晶格,并采用在高對稱點附近TE+TE/TETM線偏振作為贗自旋態(tài).這篇文章提到的系統(tǒng)的確具有時間反演對稱性,且作者也證明了系統(tǒng)的魯棒特性.但是,他們并沒有驗證系統(tǒng)魯棒特性與對稱性的一一對應關(guān)系,也就是說,這種魯棒特性是否與時間反演對稱性直接相關(guān)仍然存疑.2014年,南京大學盧明輝、陳延峰研究小組在arXiv上撰文,理論上提出了一種基于壓電/壓磁超晶格構(gòu)成的光拓撲絕緣體模型.作者采用四方晶格,并且以左右旋光LCP/RCP為贗自旋對.與文獻[34]的模型不同,該系統(tǒng)破缺時間反演,僅保留一種電磁對偶與時間反演疊加的對稱性——稱之為贗時間反演對稱性.作者系統(tǒng)地論證了這種魯棒特性實際上是受到贗時間反演對稱性保護的,而時間反演對稱的存在,只是用來描述“磁場”或者“內(nèi)稟磁矩”的影響.至此,拋開了玻色子時間反演對稱性的約束,可以采用多種自由度角度進行研究,從而可以在玻色系統(tǒng)中構(gòu)造更易于實現(xiàn)和調(diào)控的新型拓撲光子態(tài).該文章于2016年正式發(fā)表[35].

在實驗方面,2014年,中山大學董建文教授課題組驗證了此類拓撲邊界態(tài)的傳輸特性[36].他們利用星形和圓盤形超構(gòu)材料構(gòu)造匹配參數(shù)在微波頻段觀測到了以TE+TE/TE-TM線偏振作為贗自旋態(tài)量子自旋霍爾效應.

圖6 光拓撲絕緣體 (a)以TE+TM/TE-TM為贗自旋的時間反演對稱保持的光拓撲絕緣體[34];(b)以LCP/RCP為自旋的時間反演對稱破缺的光拓撲絕緣體[35]Fig.6.Photonic topological insulator:(a)Photonic topological insulator taking TE+TM/TE-TM modes as pseudospin with time-reversal symmetry[34];(b)photonic topological insulator taking LCP/RCP modes as pseudospin with no time-reversal symmetry[35].

通過上述文獻,已經(jīng)發(fā)現(xiàn),構(gòu)造量子自旋霍爾效應的關(guān)鍵在于贗時間反演對稱性.基于此原理,甚至可以考慮讓空間點群對稱性來扮演這個角色.

2015年,日本NIMS研究人員Hu等[37]在理論上提出可通過復式六方晶格中的C6v對稱性在各向同性介質(zhì)材料中構(gòu)造出光量子自旋霍爾態(tài).其贗時間反演對稱性來自晶格的對稱性,對稱操作包括旋轉(zhuǎn)60?和120?組合等.他們利用能帶的折疊,將本來處于布里淵區(qū)頂點的Dirac簡并折疊至布里淵區(qū)中心,從而形成雙重Dirac點(取非初基元胞),如圖7(a)所示.而通過從拉伸到壓縮晶格的過程,可實現(xiàn)p軌道和d軌道間的能帶反轉(zhuǎn),使能帶經(jīng)歷從Dirac點簡并到破缺的過程,如圖7(b)所示.在簡并破缺后的體能帶能隙中,可以觀測到以雜化軌道為贗自旋的魯棒自旋邊界態(tài).該設(shè)計不同于之前工作需要考慮復雜的偏振耦合,僅僅利用純介電光子晶體就可以構(gòu)造光拓撲絕緣體,因而更容易在實際中得到應用.

需要指出的是,這種拓撲模型利用的是二維平面內(nèi)的晶體對稱性,因此可以看作3D拓撲晶體絕緣體[17](將在下一章介紹)在2D情況的推廣.雖然它具有非平庸的體拓撲數(shù),但由于波導左右兩邊布洛赫態(tài)并不完全相同,所以其邊界態(tài)在理論上講并不是完全無能隙的.因此,嚴格地講,背散射只是被抑制并不是完全免疫.但此模型微帶隙可根據(jù)需要調(diào)節(jié)得無限小,因而能夠滿足應用需要.

除此之外,這種構(gòu)造贗時間反演對稱性的思路,還被拓展到了機械學[39]、聲學等領(lǐng)域,為QSH的多平臺實現(xiàn)提供了有力的工具.2016年,南京大學盧明輝、陳延峰小組在實驗上驗證了基于聲子晶體偶然簡并的雙重狄拉克點附近的能帶反轉(zhuǎn)構(gòu)造聲學量子自旋霍爾效應[38].該系統(tǒng)選擇pd波的不同線性組合作為兩種贗自旋.但是不同于文獻[37]的能帶折疊機理,該系統(tǒng)提供了一種通過調(diào)節(jié)占空比實現(xiàn)Dirac點由簡并到破缺的過程.實驗證明,在該系統(tǒng)具有魯棒特性,聲波在波導中的傳播體現(xiàn)出具有背散射抑制現(xiàn)象.這是在實驗上首次實現(xiàn)的聲學量子自旋霍爾效應模型.特別值得一提的是,該文解決了拓撲絕緣體經(jīng)常面臨的單一自旋聲源制備困難問題,十分巧妙地構(gòu)造了一種“X”型分路器模型,在空間上自然分離出兩類贗自旋聲子,如圖7(c)所示.

圖7 (a)六角晶格結(jié)構(gòu);(b)K,K′點的簡并折疊到Γ點上,并且隨著元胞內(nèi)原子間距的調(diào)整,d/p波能帶反轉(zhuǎn)[37];(c)聲學量子自旋霍爾效應分路器[38]Fig.7.(a)Hexagonal lattice;(b)Energy band folding.d/p band inversion with the increasing of the distance between atoms[37];(c)Cross-waveguide splitter realized by topological phononic crystals[38].

4 光/聲Floquet拓撲絕緣體

人工帶隙材料是一門善于學習的學科.既然電子系統(tǒng)中有自旋,那么就可以有光/聲贗自旋;有時間反演對稱性,就可以有“贗時間反演對稱性”.同樣,對于整數(shù)量子霍爾效應中破壞時間反演對稱性的磁場,可以考慮一種具有同樣效果的“贗磁場”,或者說由引入等效矢勢的方式獲得的有效磁場.由于引入有效勢的方式往往要用到周期調(diào)制,而周期調(diào)制的系統(tǒng),其運動方程滿足Floquet原理(例如固體物理中的Bloch波,就是Floquet定理的直接結(jié)論),并且這種系統(tǒng)在能帶上具有準能量的特征,所以將其統(tǒng)一歸類為Floquet拓撲絕緣體[20].

2012年,斯坦福大學Fan研究組理論上指出:可以利用光相位動態(tài)調(diào)制的方法來實現(xiàn)有效磁場,認為破缺時間反演,達到破缺Dirac簡并的目的[40,41].他們提出(如圖8(a)所示),用含時調(diào)制的方法,使得兩個具有不同共振頻率小球間橫向不耦合,而縱向耦合相位隨周期數(shù)線性增加.如此一來,光經(jīng)過一個小元格(plaquette)后將會獲得一個相位?,也就相當于經(jīng)歷了一個有效規(guī)范勢.利用AB效應原理,這等效于一個規(guī)范磁場

圖8 (a)通過時間調(diào)制引入有效勢[41];(b)通過空間調(diào)制引入有效勢[42];(c)耦合共振腔結(jié)構(gòu)實現(xiàn)魯棒的光學拓撲延遲線的理論設(shè)計[43];(d)聲學Floquet拓撲絕緣體[58]Fig.8.(a)Introducing e ff ective potential with time modulation[41];(b)introducing e ff ective potential with spatial modulation[42];(c)theoretical design of robust optical delay lines with coupled resonator optical waveguides[43];(d)phononic Floquet topological insulator[58].

在上述系統(tǒng)中,耦合強度隨時間成周期性變化V(t)=Vcos(?t+?ij),其中?ij為相位因子.此時整個系統(tǒng)隨時間呈現(xiàn)周期性變化,其哈密頓量滿足H(t+T)=H(t),T=2π/?,滿足Floquet定理的應用條件.于是其波函數(shù)可寫為ψ(t)=e?iεt?(t),其中?(t)=?(t+T)滿足周期性(類比于布洛赫定理中隨坐標空間周期性變化). 于是,可以把ε視為準能量,且滿足(H(t)? iI?t)?(t)=ε?(t). 由此可以得到準能量動量空間的體能帶.進一步分析可以發(fā)現(xiàn),能帶的運動方程又是含有質(zhì)量項的Dirac方程(有效勢剛好提供了質(zhì)量項).進一步分析其拓撲性質(zhì),得到無能隙的拓撲邊界態(tài).

然而,實現(xiàn)耦合強度周期性的準確含時調(diào)制在實驗上有一定難度.2013年,以色列理工學院Rechtsman等[42]提出了一種方案,以空間維度上的周期性幾何調(diào)制(z方向)來代替時間的周期調(diào)制,并在實驗上實現(xiàn)了光Floquet拓撲絕緣體,如圖8(b)所示.這個模型屬于3D光子系統(tǒng),在下一節(jié)中會進一步介紹.但是,這種構(gòu)造Floquet定理的設(shè)計方式給了2D系統(tǒng)很重要的啟發(fā).

2011年,美國馬里蘭大學Hafezi等[43,44]理論設(shè)計,并隨后(2013年)在實驗上實現(xiàn)了一種環(huán)形微腔中的單向邊界傳播態(tài)[43,44].他們把順時針和逆時針傳播模式為贗自旋,如圖8(c)所示.順(逆)時針傳播模式經(jīng)過一個小元格會產(chǎn)生符號相反的有效規(guī)范勢.實驗上證實,該模型中通訊波段光(1539 nm)具有單向傳輸和背散射抑制的魯棒特性.之后的研究表明,這種基于共振耦合微腔的結(jié)構(gòu)可以對應于準能量動量系統(tǒng),從而完全對應于網(wǎng)格模型下的Floquet拓撲絕緣體[45].此外,基于這種有效場理論或者網(wǎng)絡模型的其他Floquet拓撲絕緣體設(shè)計被不斷提出[46?57].

對于聲學系統(tǒng),同樣可以考慮時間調(diào)制,或者設(shè)計網(wǎng)格模型,利用順時針、逆時針的聲學傳播模式構(gòu)造聲贗自旋.但是,與光學不同,聲學材料阻抗失配較大,導致耦合系數(shù)極低,在實驗上較難觀測到明顯現(xiàn)象.因此,需要較高的加工精度來支持聲學實驗.如圖8(d)所示,2016年,Alú等[58]利用時間調(diào)制聲學晶格,在理論和模擬上提出了聲學Floquet效應.緊接著,利用網(wǎng)格模型的水聲環(huán)耦合模型[59]以及超構(gòu)材料波導耦合模型相繼提出,在實驗上實現(xiàn)了聲學Floquet拓撲絕緣體[60].

5 一維/三維的光/聲拓撲材料

本文開篇以湖面飛劍場景,簡單描述了拓撲邊界態(tài)的性質(zhì).實際上,這個場景更像是在描述3D拓撲絕緣體的表面態(tài).除了最初獲得成功的2D系統(tǒng),科學家們也對其他維度,例如1D/3D拓撲材料進行了研究.可以從前面討論過的二維系統(tǒng),以及貫穿其中的Dirac方程出發(fā),對1D/3D系統(tǒng)進行分類.

對于1D系統(tǒng),首先,把2D系統(tǒng)向1D投影,可以得到“1D準周期系統(tǒng)”,其模型包括:Haper(Aubry-Andre)模型[61,62],以及對角Fibonacci模型[63]等.通過引入特定分布的勢場,可以在1D結(jié)構(gòu)中構(gòu)造滿足要求的緊束縛近似模型.2012,Kraus等[64]理論計算并實驗驗證了一維準晶系統(tǒng)表現(xiàn)出具有拓撲保護性質(zhì)的邊界態(tài),其拓撲不變量可以視為2D陳數(shù)的投影.2013年,Verbin等[65]利用1D光學晶格實現(xiàn)準晶系統(tǒng),觀測到了拓撲相變,其實驗激光位于紅外波段,如圖9(a)所示.

圖9 1D拓撲系統(tǒng) (a)一維光學晶格準晶拓撲系統(tǒng)[65];(b)一維光子晶體中的Zak相位[69];(c)等離激元Majorana費米子[71]Fig.9.1D topological system:(a)Quasi-crystal topology system in 1D photonic crystal[65];(b)Zak phase in 1D photonic crystal[69];(c)plasmonic Majorana Fermions[71].

其次,把2D幾何相位陳數(shù)向1D推廣就得到了Zak相位[66],代表性的模型是SSH模型[67].2014年,香港科技大學的陳子亭研究小組通過調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)光學構(gòu)造阻抗匹配,理論上實現(xiàn)幾何相位控制的拓撲邊界態(tài)[68].2015年,他們又在聲學領(lǐng)域取得突破,從理論上和實驗上提出了收到Zak相位控制的聲學一維拓撲邊界態(tài)[69],如圖9(b)所示.

最后,把視線退回到Dirac方程的本源,選取不同的表象,可以得到Dirac費米子、Weyl費米子、或者Majorana費米子.其中Weyl費米子將在三維系統(tǒng)中詳細描述,而Majorana費米子對應的Kitaev模型[70],可以在1D系統(tǒng)中實現(xiàn).2014年,Poddubny等[71]利用納米顆粒組成“zigzag”型陣列,根據(jù)入射光極化方向的不同,激發(fā)了不同的等離激元模式,進而得到了不同的邊界模式,如圖9(c)所示.

對于3維系統(tǒng),仍然從Dirac方程出發(fā)來考察.首先,一個最直接的思路是:在三維系統(tǒng)中構(gòu)造2D Dirac方程.于是可以利用2D系統(tǒng)中的各種結(jié)論進一步分析三維系統(tǒng),這就是前面提到過的Floquet拓撲絕緣體[20,42].如圖10(a)所示,利用螺旋形波導管組成六角晶格,并用空間坐標Z等效地代替時間左邊,從而構(gòu)造了含有等效勢場的運動方程

圖10 (a)光學Floquet拓撲絕緣體[42];(b)利用晶格對稱性實現(xiàn)光學Dirac點[73];(c)光學Weyl點[75]Fig.10.(a)Photonic Floquet topological insulator[42];(b)realizing photonic Dirac point with lattice symmetry[73];(c)photonic Weyl point[75].

其中,矢勢項

可具有有效磁場Beff=?×A.而其中ψ′是z方向的周期函數(shù),可用Floquet定理表示為ψ′(z′)=e?iεtψ′(z′).同理, 準能量可表示為Bloch波矢(kx,ky)的函數(shù),即Floquet能帶圖.那么,則可得到無能隙的拓撲邊界態(tài).實驗表明,光(633 nm)可沿z方向繞其邊界無背散射傳播(單向螺旋上升),具有一定的缺陷免疫能力.

另一方面,上述這種用空間代替時間的方式啟發(fā)我們重新審視時間反演對稱性在整個系統(tǒng)中扮演的角色,考慮是否可以用其他對稱性取代其位置,于是就有了拓撲晶絕緣體的概念[17].在2D系統(tǒng)中,已經(jīng)看到了取代時間反演對稱性的贗時間反演對稱性取得的成果[39,37,38].對于3D系統(tǒng),在2016年,麻省理工學院Lu等[72]提出了一種受到晶體對稱性——非點群滑移反射保護,而非時間反演對稱性保護的表面態(tài)Dirac點.他們給鐵磁材料施加外磁場打開了體能帶帶隙,可以在微波段實現(xiàn)3D光拓撲絕緣體.同年,Jiang等[73]提出了利用全電介質(zhì)材料實現(xiàn)點群保護的三維光拓撲絕緣體的方法,在能帶中發(fā)現(xiàn)了成對出現(xiàn)的Dirac點,如圖10(b)所示.

由于相較于2D系統(tǒng)增加了一個維度,3D Dirac點不同于2D Dirac點的獨立出現(xiàn),將會在倒空間中形成一個“線模式”(“l(fā)ine node”),在二維空間觀察仍然是線性色散.仍然按照二維系統(tǒng)的思路,通過破缺對稱性的方式試圖打開簡并.此時線模式退化,在三維空間中形成線性簡并點——Weyl點.不同于二維的Dirac簡并,此處的Berry曲率完全類似磁單極子磁場分布.即該點自帶非零陳數(shù),因而在該點處,系統(tǒng)具有豐富的拓撲物理性質(zhì)[19].2013年,麻省理工學院Lu等[74,75]提出了利用gyroid材料實現(xiàn)光子Weyl點,并在隨后的實驗中觀察到對應的現(xiàn)象,如圖10(c)所示.在聲學領(lǐng)域,2015年,香港科技大學陳子亭研究小組提出了一種堆疊狀的聲學模型.通過調(diào)控層間耦合參數(shù),實現(xiàn)了三維聲學Weyl點[76].進一步研究表明,前面研究的Weyl點,其色散關(guān)系的二維投影是橢圓.而Dirac點在退化為Weyl點是,可能形成雙曲線形色散,這就是第二類Weyl點.對應的光學聲學拓撲系統(tǒng)也已經(jīng)先后被設(shè)計提出[77,78].

6 Dirac方程的拓撲性質(zhì)

御劍之氣從何而來?通過前面幾章的討論,我們發(fā)現(xiàn),一個拓撲系統(tǒng)中往往隱藏著一個含有質(zhì)量項的Dirac方程.實際上,Dirac方程正是拓撲效應的關(guān)鍵所在.這里將利用數(shù)學工具,詳細講解這一關(guān)系.首先從光/聲動力學模型出發(fā),得到Dirac方程.之后,分析Dirac方程所引發(fā)的邊界態(tài).最后,討論Dirac方程所具有的拓撲性質(zhì),也就是幾何相位.

6.1 從光/聲系統(tǒng)到Dirac方程

首先來看他們的運動方程.

光學系統(tǒng)基本運動方程為Maxwell方程組.以二維系統(tǒng)為例,對于各向同性介質(zhì),相對介電常數(shù)和磁導率是于是運動方程表達式為

把Ez視為波函數(shù)?,前面的運算視為哈密頓算子H,本征頻率ω2/c2視為波函數(shù)本征值,可以得到一個等效的單電子哈密頓方程

聲學系統(tǒng)運動方程形式比較多樣,但是同樣可以寫出一套與電子系統(tǒng)類似的單粒子運動方程,形式同上.

于是系統(tǒng)的波函數(shù)可以表示為

二次量子化使之成為算符.則系統(tǒng)的總哈密頓量可以表示為

我們把本征波函數(shù)取為每一個元胞內(nèi)的本征波函數(shù),并且只保留最近鄰項就得到了二次量子化后的有效哈密頓量

其中i,j表示元胞位置,α,β表示元胞中的不同波函數(shù).例如在石墨烯結(jié)構(gòu)中,α,β代表同一晶格中兩個不同原子的波函數(shù);而在四方中,它們可以用來表示軌道角動量s波p波.對產(chǎn)生湮沒算符進行傅里葉變換可以得到

其中δ代表最近鄰的耦合.以一維系統(tǒng)為例,具體展示如何變換得到Dirac方程.一維原子鏈的耦合情況如圖11所示.

圖11 一維原子鏈Fig.11.1D chain of atoms

我們可以得到

其中

假設(shè)能帶帶隙圍繞k=0點,可以把哈密頓量在k=0處展開到k的線性項,得到

這剛好是Dirac方程的基本形式.

下面考察Dirac方程的基本性質(zhì).

6.2 Dirac方程與邊界態(tài)

1928年,Dirac提出了一個用于描述電子運動的相對論量子力學波動方程.

其中c代表光速,p是動量,m是粒子質(zhì)量項,α和β是Dirac矩陣.由于必須滿足質(zhì)能方程,它們需要滿足如下關(guān)系:

顯然泡利矩陣滿足上述關(guān)系

在一維和二維空間中,可以選擇泡利矩陣作為Dirac矩陣.方便起見,一維情況可以取

二維情況

然而,單純的Dirac方程并不足以描述我們的問題.原因如下:1)假設(shè)我們的材料邊界處于真空之中,如圖12所示.對于真實的材料體系,需要在開放邊界條件ψ(x=0)=0以及無限距離邊界條件ψ(x=∞)=0,Dirac方程的解無法同時滿足上述要求;2)對于單純的Dirac方程,具有質(zhì)量對稱性,進行一個幺正變換之后,質(zhì)量項符號可以變化,這使得拓撲平庸與非平庸的判斷并不能僅僅基于特定參數(shù)m,而需要依賴另一個附加參數(shù),這并不符合“拓撲是物質(zhì)的內(nèi)稟性質(zhì)”的預期.于是,我們需要在質(zhì)量項上增加一個動量的二次項來實現(xiàn)我們的目的,

在這里,把光速c換為粒子速度vf.這樣首先打破了m進行幺正變換時可以變成?m的對稱性,后面將會看到它會完全滿足邊界條件.

圖12 (a)波函數(shù)在材料與真空環(huán)境的界面上,可以觀測到一對運動方向相反的邊界態(tài),其對應能帶如圖(b)所示Fig.12.(a)Wave function in the interface between material and vacuum,there are a pair of edge states,which has di ff erent direction,the energy band is shown in(b).

對于一維情形

考慮能量E對應的本征解ψ,Hψ=Eψ.顯然有Hτyψ=?τyHψ=?Eτyψ,也就是說,ψ′=τyψ將會是能量?E對應的本征解.我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)總歸會具有一個零能量解E=0.下面重點來考察這個特殊的零能量解(實際上,對于單純Dirac方程,這也是邊界態(tài)連續(xù)性的要求).代入試探解ψ(x)～eλxξ,其中ξ是與x無關(guān)的二分量波函數(shù),于是得到

于是ξ必須是τy的本征波矢τyξs=sξ(s=±1).對應的λ可以求解得到

利用邊界條件ψ(x=0)=0,解的一般形式可以寫作

再利用邊界條件ψ(x→∞)→0,需要λs,±＜0或者λs,±＞0此時λ?s,±＜0.這就等價于這就是拓撲現(xiàn)象中經(jīng)常提到的“能帶反轉(zhuǎn)”.在這個條件下,可以得到

下面考慮二維情形.先討論量子反?；魻栃Ｐ?quantum anomalous Hall e ff ect,QAH),因為量子自旋霍爾效應實際上可以視為兩個QAH模型的疊加.

把方程HQAHψ(x)=Eψ(x)分離變量可以得到

然而,此時必須保證第二式與第一式同時成立.好在第二式與第一式一樣,要求ψ是σy的本征波函數(shù),于是,可以把一維情況下的解原樣復制到二維情況.

下面把這段推導推廣到量子自旋霍爾效應.

那么對應的解為

色散關(guān)系為

這一對邊界態(tài)的傳播方向與自旋方向相互鎖定,稱為“螺旋邊界態(tài)”(helical edge state).

6.3 Dirac方程的幾何相位

綜上我們發(fā)現(xiàn),通過Dirac方程可以得到一個螺旋性的邊界態(tài),并且把Dirac方程與我們熟悉的晶格運動方程聯(lián)系了起來.下面,分別用TKNN方法,以及Dirac運動方程,考察這個邊界態(tài)的拓撲性質(zhì).

對于周期性晶格結(jié)構(gòu),有

其中,un,k(r)=un,k(r+R).把H(r)展開到k空間H(r)=e?ik·rH(r)eik·r有

利用TKNN方法可以得到霍爾電導率表示為

其中α,β代表方向指標,引入一個矢勢A,其分量滿足

對應的場強(也就是Berry曲率)

于是霍爾電導率可以表示為

而在數(shù)學上,積分項剛好對應“陳數(shù)”,

于是霍爾電導率可以表示為

而另一方面,從Dirac方程出發(fā),霍爾電導率可以表示為

其中d是狄拉克方程中的各個分量,

進一步推導可得

當mB＞0時,C0此時存在拓撲非平庸邊界態(tài);當mB＜0時,C=0,此時系統(tǒng)處于拓撲平庸狀態(tài).上述推導與之前得出的邊界態(tài)存在條件完全一致.于是,我們從Dirac方程出發(fā),得出了與TKNN方法一樣的霍爾電導率,更進一步證明了可以通過分析Dirac方程,預測系統(tǒng)的拓撲性質(zhì).

7 總結(jié)與展望

拓撲人工帶隙材料因其獨特的魯棒邊界態(tài)越來越多地受到人們的關(guān)注.本文簡要擷取了近年來備受關(guān)注的研究方向,包括光/聲整數(shù)量子霍爾效應,量子自旋霍爾效應,Floquet拓撲絕緣體以及1維/3維拓撲系統(tǒng)等.我們對這些現(xiàn)象進行了簡要的描述,并且列舉了相應的具有代表性的研究成果.除此之外,在第六章對這種拓撲性質(zhì)的由來進行了理論探討,說明了Dirac方程可以視為拓撲現(xiàn)象的產(chǎn)生根源.

魯棒邊界態(tài)具有免疫缺陷、背散射抑制、性能穩(wěn)定等優(yōu)異特性,具有巨大的潛在應用價值.首先,利用拓撲材料制成的光/聲器件,將會具有極高的信噪比,大大提高器件性能;其次,由于免疫缺陷,拓撲材料對加工精度的要求并不苛刻,科學家對光/聲器件的研究不再強烈依賴極端的實驗室環(huán)境,這便于產(chǎn)業(yè)推廣以及實驗室普及;最后,由于傳輸性能穩(wěn)定,科學家們可以放開思路,把研究的重點轉(zhuǎn)移到其他原本受到穩(wěn)定性限制的新性能研究上.例如糾纏或非線性效應作用下光/聲拓撲態(tài)的情況、拓撲保護的單向傳播光子晶體光纖、光量子計算等.

理論研究方面,后續(xù)的拓撲研究工作可以全面圍繞Dirac方程展開.作為連接量子力學與相對論的重要紐帶,Dirac方程具有多種表象,對應各種不同的解的形式,包括Weyl費米子、Majorana費米子、Dirac費米子等.考慮到人工帶隙材料的可設(shè)計性、可調(diào)諧、不易受雜質(zhì)影響等特性,可以把它作為實驗平臺,實現(xiàn)這些電子系統(tǒng)中雖有預言、但是難以獲得的準粒子.另一方面,Dirac方程對應的簡并與簡并破缺,直接影響了能帶的拓撲性質(zhì),或者說幾何相位.以往的拓撲學分析,通常要求系統(tǒng)具有厄米性質(zhì),且往往局限于單粒子方程.我們可以試圖在理論上將Dirac方程與幾何相位推廣到非厄米體系,或者多粒子體系.如在拓撲聲/光學系統(tǒng)中引入增益損耗,實現(xiàn)具有實本征值的非厄米系統(tǒng),或者引入非線性參數(shù),構(gòu)造相互作用模型等.

綜上所述,進行人工帶隙材料拓撲性質(zhì)的研究無論是對理論研究發(fā)展,還是對于最終轉(zhuǎn)化為實際產(chǎn)品都有著重要指導作用.光/聲子晶體拓撲態(tài)及其相關(guān)領(lǐng)域的研究對未來拓撲光/聲子學的發(fā)展具有里程碑式的意義,終將成為現(xiàn)代光/聲子學里的一個重要組成部分.

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PACS:42.70.Qs,03.65.VfDOI:10.7498/aps.66.224203

*Project supported by the National Key Ramp;D Program of China(Grant No.2017YFA0303702),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11134006,11474158,11404164,11625418),the Natural Science Foundation of Jiangsu Province,China(Grant No.BK20140019),and the support from Academic Program Development of Jiangsu Higher Education(Grant No.PAPD).

?Corresponding author.E-mail:luminghui@nju.edu.cn

Topological properties of arti ficial bandgap materials?

Sun Xiao-Chen1)He Cheng1)2)Lu Ming-Hui1)2)?Chen Yan-Feng1)2)

1)(National Laboratory of Solid State Microstructures,Department of Materials Science and Engineering,Nanjing University,Nanjing 210093,China)2)(Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures,Nanjing University,Nanjing 210093,China)

20 September 2017;revised manuscript

6 November 2017)

Recently,arti ficial bandgap materials(such as photonic crystals and phononic crystals)have been becoming the research hotspot of the next generation intelligent materials,because of its extremely designable,tunable and controllable capacity of classical waves.On the other hand,topological material phase,originally proposed and first demonstrated in Fermionic electronic systems,has been proposed in more and more Bosonic systems.In this review paper,we first focus on some of the representative photonic/phononic topological models,and four common types of topological photonic system are discussed:1)photonic/phononic quantum Hall e ff ect with broken time-reversal symmetry;2)photonic topological insulator and the associated pseudo-time-reversal symmetry protected mechanism;3)time/space periodically modulated photonic Floquet topological insulator;4)a summary and outlook including a brief introduction of Zak phase in onedimensional systems and Weyl point in three-dimensional systems.Finally,the underlying Dirac model is analyzed.

arti ficial bandgap material,topology,Dirac equation

10.7498/aps.66.224203

?國家重點研發(fā)計劃(批準號:2017YFA0303702)、國家自然科學基金(批準號:11134006,11474158,11404164)、國家自然科學基金杰出青年基金(批準號:11625418)、江蘇省自然科學基金(批準號:BK20140019)和江蘇高校優(yōu)勢學科建設(shè)工程項目(批準號:PAPD)資助的課題.

?通信作者.E-mail:luminghui@nju.edu.cn