尋本求源

石有山

2017年高考天津卷壓軸題第12題，綜合了電容器，導(dǎo)體棒切割磁感線，動(dòng)量定理等知識(shí)，是一道綜合性很強(qiáng)的習(xí)題。但該題實(shí)質(zhì)是由幾道簡(jiǎn)單經(jīng)典試題組合而來，熟練掌握原始模型，重視平時(shí)的基礎(chǔ)，壓軸題也有似曾相識(shí)的感覺，有原題的味道，解出壓軸題并沒有想象中的難度。

（一）經(jīng)典原題

【例1】如圖所示，金屬棒ab的質(zhì)量m=5g，放置在寬L=1m光滑平行金屬軌道邊緣處，兩金屬導(dǎo)軌處于水平面內(nèi)，該處有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B=0.5T，電容器的電容C=200uF，電源電動(dòng)勢(shì)V，導(dǎo)軌平面距地面高度h=0.8m，g取10m/s2。在開關(guān)k與1接通穩(wěn)定后，再把k扳到2接通，則金屬棒被拋到s=0.064m的地面上，試求電容器兩極板的剩余電量是多少？

解析：金屬棒拋出后水平方向v=■

豎直方向h=■gt2

金屬棒被拋出的瞬間過程BIL？駐t=mv

q=I？駐t

原來電容器上的電量Q=CE

金屬棒被拋出電容器上剩余的電量為Q-q=1.6×10-3C

結(jié)論1：應(yīng)用動(dòng)量定理可以求變力的沖量，這時(shí)可以求出該力作用下物體動(dòng)量的變化量，用動(dòng)量的變化量等效代替變力的沖量。若導(dǎo)體棒只受安培力或安培力遠(yuǎn)大于其它外力，則由動(dòng)量定理得：BIL？駐t=mv2-mv1，又因?yàn)閝=I？駐t，故BqL=mv2-mv1，利用動(dòng)量定理可以求得安培力作用下通過某個(gè)截面的電量。

【例2】如圖2所示，長(zhǎng)平行導(dǎo)軌PQ、MN光滑，相距l(xiāng)=0.5m，處在同一水平面中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下穿過導(dǎo)軌平面。橫跨在導(dǎo)軌上的直導(dǎo)線ab的質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.8？贅，導(dǎo)軌電阻不計(jì)。導(dǎo)軌間通過開關(guān)S將電動(dòng)勢(shì)E=1.5V、內(nèi)電阻r=0.2？贅的電池接在M、P兩端，試計(jì)算分析：導(dǎo)體ab的加速度的最大值和速度的最大值是多少？

解析：在S剛閉合的瞬間，導(dǎo)線ab速度為0，沒有感應(yīng)電流，由a到b的電流I0=■=1.5A，ab受安培力水平向右，此時(shí)ab瞬時(shí)加速度最大，加速度a0=■=■=6m/s2。

導(dǎo)體棒ab向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)右手定則，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的電流方向與電動(dòng)勢(shì)E產(chǎn)生的電流方向相反，回路電流減小，導(dǎo)體棒ab受水平向右的安培力減小，導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E/與電池電動(dòng)勢(shì)E相等時(shí)，ab的速度達(dá)到最大值。此時(shí)回路內(nèi)的電流為0，導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)。根據(jù)上述的分析可知E-Blvm=0，所以vm=■=3.75m/s。

結(jié)論2：在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中導(dǎo)體棒不受其它外力時(shí)，導(dǎo)體棒外接直流電源，導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最大加速度為導(dǎo)體棒接通瞬間，終極狀態(tài)為導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒由于電磁感應(yīng)帶來的電動(dòng)勢(shì)和原電動(dòng)勢(shì)大小相等，回路內(nèi)的電流為0，安培力為0。

（二）2017年天津卷壓軸第12題

【例3】電磁軌道炮利用電流和磁場(chǎng)的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運(yùn)載器。電磁軌道炮示意如圖3所示，圖中直流電源電動(dòng)勢(shì)為E，電容器的電容為C。兩根固定于水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為l，電阻不計(jì)。炮彈可視為一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN，垂直放在兩導(dǎo)軌間處于靜止?fàn)顟B(tài)，并與導(dǎo)軌良好接觸。首先開關(guān)S接1，使電容器完全充電。然后將S接至2，導(dǎo)軌間存在垂直于導(dǎo)軌平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)MN上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電容器兩極板間的電壓相等時(shí)，回路中電流為零，MN達(dá)到最大速度，之后離開導(dǎo)軌。問：

（1）磁場(chǎng)的方向；

（2）MN剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大小；

（3）MN離開導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少。

解析：（1）MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)，電流方向從M到N，根據(jù)左手定則，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向下

（2）電容器完全充電后，兩極板間電壓為E，當(dāng)開關(guān)S接2時(shí)，電容器放電，設(shè)剛放電時(shí)流經(jīng)MN的電流為I，有

I=■①

設(shè)MN受到的安培力為F，有

F=IlB②

由牛頓第二定律有

F=ma③

聯(lián)立①②③式得

a=■ ④

（3）當(dāng)電容器充電完畢時(shí)，設(shè)電容器上電量為Q0，有

Q0=CE ⑤

開關(guān)S接2后，MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值vmax時(shí)，設(shè)MN上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E′，有

E′=Blvmax ⑥

依題意有

E′=■ ⑦

設(shè)在此過程中MN的平均電流為■，MN上受到的平均安培力為F，有

F=■lB ⑧

由動(dòng)量定理，有

F？駐t=mvmax-0 ⑨

又■？駐t=Q0-Q ⑩

聯(lián)立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得

Q=■ ？輥？輯？訛

點(diǎn)評(píng)：本題的模型和例1的模型非常相似，即先給電容器充電，后電容器通過導(dǎo)體棒放電，導(dǎo)體棒由于安培力的作用運(yùn)動(dòng)，電容器的放電量都通過動(dòng)量定理求出。所不同的是例1導(dǎo)體棒的末速度通過平拋運(yùn)動(dòng)求得，天津高考題的導(dǎo)體棒的末速度，通過導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型求出。從例2可以看出，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中導(dǎo)體棒不受其它外力時(shí)，導(dǎo)體棒最大加速度為導(dǎo)體棒接通瞬間，導(dǎo)體棒終極狀態(tài)為導(dǎo)體棒兩端的電動(dòng)勢(shì)大小與外接電源的電動(dòng)勢(shì)大小相同，對(duì)于天津高考題，導(dǎo)體棒兩端的電動(dòng)勢(shì)與放電后電容器兩端的電壓相等。本題求解（2）問與例2完全相同，求解（3）問結(jié)合了例1和例2兩種思想。

（三）變式鞏固

【例4】如圖4所示，水平導(dǎo)軌兩端接有電容C，一有效長(zhǎng)度為l的導(dǎo)體棒跨接在導(dǎo)軌上，不計(jì)導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的摩擦，現(xiàn)給導(dǎo)體棒一個(gè)向右的初速度，則在導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)中，下列說法正確的是（ ）endprint

A. 開始時(shí)導(dǎo)體棒的加速度最大

B. 導(dǎo)體棒最后做勻速運(yùn)動(dòng)

C. 導(dǎo)體棒最后靜止在導(dǎo)軌上

D. 回路中最終的感應(yīng)電流為0

解析：導(dǎo)體棒相當(dāng)于電源，導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)的過程中，電容器被充電，極板上的電壓U逐漸增大，導(dǎo)體棒受到向左的安培力，導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度減小，導(dǎo)體棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小，設(shè)導(dǎo)體棒的速度減小為v時(shí)，U=Blv，此時(shí)回路內(nèi)的電流為0，導(dǎo)體棒受到的安培力為0，導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)BD正確、C錯(cuò)誤，導(dǎo)體棒向右做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)導(dǎo)體棒的加速度最大，選項(xiàng)A正確。

點(diǎn)評(píng)：本題和例2的區(qū)別在于例2有直流電源，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為反電動(dòng)勢(shì)，本題導(dǎo)體棒為電源，電容器上的電壓為反電動(dòng)勢(shì)，但問題的本質(zhì)都相同，當(dāng)回路內(nèi)的感應(yīng)電流為0時(shí)，即總電動(dòng)勢(shì)為0時(shí)，導(dǎo)體棒的速度取極值。

【例5】如圖5所示，“質(zhì)量m=3.0×10-3kg的“ ■ ”型金屬細(xì)框豎直放置在兩水銀槽中，“ ■ ”型框的水平細(xì)桿CD長(zhǎng)l=0.20m，處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T、方向水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，電源電動(dòng)勢(shì)E= 16V，通過通過開關(guān)k，電容C=2mF，與兩水銀槽相連，在開關(guān)k與1接通穩(wěn)定后，再把k扳到2接通，瞬間細(xì)框跳起（細(xì)線跳起瞬間安培力遠(yuǎn)大于重力），跳起的最大高度h=0.20m。試求

（1）跳起過程通過CD棒的電量為多少？

（2）跳起后電容器兩極板的電壓是多少？

解析：根據(jù)動(dòng)量定理細(xì)線跳起瞬間B1Il？駐t-mg？駐t=mv

細(xì)線跳起瞬間安培力遠(yuǎn)大于重力，重力沖量忽略不計(jì)

q=I？駐t

跳起后機(jī)械能守恒mgh= ■mv2

解得 q=0.03C（2分）

（2）原來電容器上的電量Q=CE

金屬棒被拋出電容器兩極板的電壓 U=■

解得U=1V

答案：（1）0.03C （2）1V

點(diǎn)評(píng)：本題和例1情景、求法基本一致，只不過該題用豎直上拋，求導(dǎo)體棒離開水銀槽的速度。

天津卷壓軸題第21題，看似一道新情景習(xí)題，實(shí)際是可以轉(zhuǎn)化為上面兩個(gè)重要結(jié)論的應(yīng)用，有原題的味道，解題時(shí)要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。題目設(shè)計(jì)和兩種經(jīng)典習(xí)題相比，創(chuàng)設(shè)新穎，構(gòu)思巧妙，導(dǎo)體棒的終極速度通過兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)大小相等聯(lián)系了電容器上的剩余帶電量，導(dǎo)體棒的終極速度通過動(dòng)量定理聯(lián)系了電容器的放電量，從而根據(jù)電量守恒建立方程求解。本題考查學(xué)生提取、加工信息，并利用相關(guān)信息進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力。

責(zé)任編輯 李平安endprint