歸類剖析不等式中的思維誤區(qū)

■河南省淮陽縣第一高級中學 王梓霖

本文對不等式中同學們容易出現(xiàn)的思維誤區(qū)進行了剖析,希望對同學們的學習和復習有所幫助。

思維誤區(qū)1——分式不等式求解去分母時不考慮分母的正負

錯解:兩邊同乘以x-1得3x+2＜4(x-1),解得x＞6,所以不等式的解集為(6,+∞)。

剖析:錯解中認為x-1＞0,漏掉x-1＜0,從而出現(xiàn)漏解,由原不等式移項得(x-1)＜0,解得x＜1或x＞6。故原不等式的解集是(-∞,1)∪(6,+∞)。

注意點:解分式不等式時,若要去分母需依據(jù)“不等式兩邊同乘正數(shù)不改變方向,同乘負數(shù)改變方向”對分母大于0和小于0分類求解,每種分類下求交集,最后寫出并集。

思維誤區(qū)2——解含參數(shù)的不等式時忽略對最高項系數(shù)為零的討論

如果kx2+2kx-(k+2)＜0恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是____。

A.-1≤k≤0 B.-1≤k＜0

C.-1＜k≤0 D.-1＜k＜0

剖析:將kx2+2kx-(k+2)＜0認定是一元二次不等式,忽略了k=0的情況。

當k=0時,原不等式等價于-2＜0,顯然恒成立,所以k=0符合題意。

綜上,-1＜k≤0,故選C。

注意點:一元二次不等式恒成立問題常需借助圖形進行“雙看”:一看開口方向,即看二次項的系數(shù)是大于0還是小于0;二看圖像與x軸交點情況,即考慮判別式的符號。對于二次項系數(shù)為參數(shù)的不等式有可能為非一元二次不等式,要對參數(shù)討論。

強化訓練2:若不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x對任意實數(shù)x均成立,則實數(shù)m的取值范圍是____。

正解:原不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x合并同類項得m-2( )x2+2m-2( )x-4＜0,當m=2時,不等式成立。當m≠2時,x∈ -2,2( )。綜上,x∈(-2,2]。

思維誤區(qū)3——線性規(guī)劃的逆向思維中缺少“運動變化的觀念”

圖1

剖析:已知不等式組表示的平面區(qū)域為圖1中的△ABC及其內部,三個頂點坐標分別為A(3,1),B(4,2),C(1,2)。將目標函數(shù)變形得y=-kx+z,當z最小時,直線的縱截距最小。結合動直線y=-kx+z繞定點A的“旋轉分析”易經過點(3,1)時縱截距最小。故所求實數(shù)k

注意點:已知目標函數(shù)在某點處取得最值,可以將目標函數(shù)化為標準的斜截式,依據(jù)傾斜角和斜率的意義,繞該點靈活 “旋轉分析”,準確分析動直線,進而求得斜率的取值范圍。

A.[-1,2] B.[-2,1]

C.[-3,-2] D.[-3,1]

正解:作出約束條件表示的可行域,如圖2所示的△ABC內部(含邊界),其中A(1,1),

已知y=-ax+z的最大值為2a+4,最小值為a+1,說明z在點C處取得最大值,在點A處取得最小值,則有kBC≤

圖2

2,所以-1≤-a≤2,即-2≤a≤1,故選B。

思維誤區(qū)4——線性規(guī)劃應用中忽略目標函數(shù)的幾何意義

A.-1 B.0 C.1 D.2

錯解:選B。

剖析:誤認為最優(yōu)解在可行域邊界頂點處取得,將頂點O,A,B的坐標直接代入比較后得最小值0,沒有理解目標函數(shù)x2+4x+y2-2y的幾何意義。

由x2+4x+y2-2y得x2+4x+4+5,表示如圖3所示的區(qū)域上任意一點Nx,y( )到定點M-2,1( )的距離d的平方與5之差。

圖3

當距離d的最小值為2時,x2+4x+y2-2y取最小值22-5=-1,此時點N的坐標為0,1( )。故選A。

注意點:線性規(guī)劃中常見的目標函數(shù)有:(1)截距型:形如z=ax+by,轉化為直線的斜截式,通過“平行移動法”求直線的截距的最值,間接求出a的最值;(2)距離型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,可看成可行域內的點P(x ,y)與定點Q(a ,b)連線的距離的平方求解;(3)斜率型:形如z=,可看成可行域內的點P(x ,y)與定點Q(a ,b)連線的斜率求解。

思維誤區(qū)5——用基本不等式求最值時忽視各項均為正數(shù)的條件

思維誤區(qū)6——用基本不等式求最值時忽視“積為定值合理配湊和”的結構形式

注意點:用基本不等式求最值,關鍵在于由“積為定值合理配湊出和”的結構形式。

強化訓練6:已知a＞-1,b＞-2,a+1( )b+2( )=16,則a+b的最小值是( )。

A.4 B.5 C.6 D.7

正解:因為a＞-1,b＞-2,則a+1＞0,b+2＞0。所以a+b=a+1( )+b+2( )-3≥2a+1( )b+2( )-3=8-3=5,當且僅當a+1=b+2,即a=3,b=2時等號成立,故選B。