例析非特殊角的表達(dá)與運(yùn)算

■浙江省天臺(tái)中學(xué)高三︵2︶班 陳葉晨︵指導(dǎo)教師：褚人統(tǒng)︶

在中學(xué)數(shù)學(xué)課本中出現(xiàn)的角大多是與30°,45°,60°相關(guān)(成整數(shù)倍)的特殊角,要想表達(dá)與運(yùn)算非特殊角,我們?cè)撛趺醋瞿?下面我們就來(lái)談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題。

在中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算里出現(xiàn)的角α,從使用頻率來(lái)看有兩類(lèi),一類(lèi)是“特殊角”,另一類(lèi)是“非特殊角”。所謂α是特殊角,就是指可以通過(guò)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,把α化為30°、45°、60°或其倍數(shù)的角,或者化為15°、18°或其倍數(shù)的角,它們中的每一個(gè)角的三角函數(shù)值不用查表,都可以通過(guò)使用三角公式運(yùn)算確定出來(lái)。上述之外的角,我們都稱(chēng)為非特殊角,對(duì)于這些角,一般要通過(guò)查表,方可以得到它們的三角函數(shù)值(近似)。

在高考中,非特殊角的表達(dá)與運(yùn)算也與特殊角一樣重要。在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7nmile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域。點(diǎn)E正北55nmile處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A。某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距402nmile的位置B,經(jīng)過(guò)40min又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A與點(diǎn)A相距1013nmile的位置C。

(Ⅰ)求該船的行駛速度(單位:nmile/h)。

(Ⅱ)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說(shuō)明理由。

(Ⅱ)方法一:如圖1所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則B(40,40),設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是(x2,y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D。x2=ACcos ∠CAD =1013cos(45°-θ)=30,y2=ACsin ∠CAD =1013sin(45°-θ)=20,所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的,直線l的方程為y=2x-40。又點(diǎn)E(0,-55)到直線l的距離=35＜7,所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域。

圖1

圖2

方法二:如圖2所示,設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q。在△ABC中,由余弦定理得在△ABQ中,由正弦定AE=55＞40=AQ,所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間,且QE=15。過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離。在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°- ∠ABC)=,所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域。評(píng)注:題目中對(duì)θ是用“其中sinθ=表達(dá)的,是常用的表達(dá)方式,這里要理解θ是確定的銳角且正弦值為

如果遇到將特殊角隱藏在函數(shù)中的問(wèn)題時(shí),需要仔細(xì)識(shí)別,從中發(fā)現(xiàn)非特殊角運(yùn)算的特點(diǎn),以及與特殊角運(yùn)算的區(qū)別等。

圖3

評(píng)注:在非特殊角的表達(dá)、轉(zhuǎn)換、運(yùn)算時(shí),我們務(wù)必要注意:(1)對(duì)于非特殊角,我們要根據(jù)它的條件范圍及三角函數(shù)值準(zhǔn)確判斷它的更小范圍,這個(gè)范圍越小越好;(2)有非特殊角參與的運(yùn)算大多數(shù)是需要使用公式asin x+bcosx=Asin(x+θ)的,變形主要是左右互化,這里的θ就是確定的、已知的非特殊角。