探究斐波那契數(shù)列提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

■鄭州外國語學(xué)校 曹中起

在同學(xué)們學(xué)習(xí)和掌握了數(shù)列概念、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)之后,老師會提出一些有關(guān)數(shù)列在生活中的應(yīng)用問題,有意識地考慮如何在重新回味經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,感悟數(shù)學(xué)之美,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

公元前13世紀(jì),意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的數(shù)列,并寫入《算盤書》中:兔子在出生兩個(gè)月后就有繁殖能力,一對兔子每個(gè)月能生出一對小兔子來。假設(shè)所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少對兔子?把每一月的兔子對數(shù)列舉出來,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

將每月的兔子對數(shù)列舉出來如下:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。觀察規(guī)律是該數(shù)列從第3項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和。

1.12+12=1×2,12+12+22=2×3,12+12+22+32=3×5,…將此數(shù)列記作 {Fn},則有F21+F22+…+Fn2=Fn×Fn+1。

2.從幾何的角度理解就是一些正方形面積的疊加,如圖1所示。

圖1

3.用后一項(xiàng)除以前一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)越來越接近常數(shù)1.618,這個(gè)數(shù)與方程x2-x-1=0的根,于是繼續(xù)思考此數(shù)列與我們學(xué)習(xí)的通項(xiàng)公式必然有一定的聯(lián)系。

已知數(shù)列an{},a1=1,a2=1,當(dāng)n≥3時(shí),an=an-1+an-2,求通項(xiàng)an。

分析:對于a1=C,a2=D,an+1=Aan+Ban-1(A,B,C,D為常數(shù))的一般情況,如何思考?

解:令an+1-xan=(A-x)(anxan-1),即an+1=Aan-x(A-x)an-1,與an+1=Aan+Ban-1對比,得x2=Ax+B,把x2=Ax+B叫作特征根方程,設(shè)其兩個(gè)根為

已知數(shù)列{an},a1=1,a2=2,an+1=4an-4an-1,求an。

解析:令x2=4x-4,x1=x2=2,設(shè)通項(xiàng)

公式為an=(λ1n+λ2)×2n,將a1=1,a2=2

4.斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)和。

斐波那契數(shù)列應(yīng)用廣泛,股市中的參數(shù),排兵布陣,建筑設(shè)計(jì)等,小到原子,大到宇宙,涉及我們生活的諸多方面。感悟數(shù)學(xué)美,享受數(shù)學(xué)美,生活中處處離不開數(shù)學(xué)知識、方法與思想。

跟蹤練習(xí):

多解多變:特征根方程有兩個(gè)不同的解,考慮是否可以使用一個(gè)解處理呢?例2便是采用的這種方法(略)。

多解多變:可以按照最原始的處理方法,將原式變化,取倒數(shù),化為等差數(shù)列,也可以化為等比數(shù)列求解。