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    2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)第34題有多解嗎?

    2017-12-01 06:56:14陳新光
    物理教師 2017年11期
    關(guān)鍵詞:光軸入射光標(biāo)準(zhǔn)答案

    陳新光 張 安

    (福建師范大學(xué)附屬中學(xué),福建 福州 350007)

    2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)第34題有多解嗎?

    陳新光 張 安

    (福建師范大學(xué)附屬中學(xué),福建 福州 350007)

    圍繞2017年全國(guó)高考理綜(I)卷第34題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案展開,采用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)證明和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行模擬驗(yàn)證其唯一性,并進(jìn)一步探討本題模型參數(shù)設(shè)置的合理性.

    高考;標(biāo)準(zhǔn)答案;唯一性;光路模擬

    每年高考物理試題的嚴(yán)謹(jǐn)性和合理性都備受關(guān)注.2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)卷第34題的答案是否存在多解問題一直困擾著學(xué)生和部分教師.針對(duì)這個(gè)疑惑,本文將通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)證明和利用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行光路模擬驗(yàn)證該題提供標(biāo)準(zhǔn)答案的唯一性,并進(jìn)一步探討本題模型參數(shù)設(shè)置合理性.

    1 原題與解析

    圖1 原題圖

    原題.如圖1,一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體,O點(diǎn)為球心;下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體,圓柱體底面鍍有反射膜.有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入,該光線與OC之間的距離為0.6R.已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射).求該玻璃的折射率.

    圖2 解析圖

    解析: 如圖2,根據(jù)光路的對(duì)稱性和光路可逆性,與入射光線相對(duì)于OC軸對(duì)稱的出射光線一定與入射光線平行.這樣,從半球面射入的折射光線,將從圓柱體底面中心C點(diǎn)反射.

    設(shè)光線在半球面的入射角為i,折射角為r.由折射定律有

    sini=nsinr.

    (1)

    由正弦定理有

    (2)

    由幾何關(guān)系,入射點(diǎn)的法線與OC的夾角為i.由題設(shè)條件和幾何關(guān)系有

    (3)

    式中L是入射光線與OC的距離.由(2)(3)式和題給數(shù)據(jù)得

    (4)

    由(1)、(3)、(4)式和題給數(shù)據(jù)得

    (5)

    2 理論推導(dǎo)

    圖3 非對(duì)稱光路圖

    如圖3所示,設(shè)光線從A點(diǎn)以θ1射入玻璃材料,折射角為α1,經(jīng)反射膜P點(diǎn)(任意點(diǎn))反射之后,在半球面B點(diǎn)以入射角為α2和折射角為θ2發(fā)生折射進(jìn)入空氣,且使得入射光線和出射光線保持平行.分別延長(zhǎng)入射光線交OE于E和反射膜MN于N,反向延長(zhǎng)出射光線交OF于F和反射膜MN于M.光線AP與輔助線AN的夾角為δ1,光線BP與輔助線BM的夾角為δ2.

    由幾何關(guān)系可知:

    δ1=θ1-α1,δ2=θ2-α2.

    (1)

    又由于在P點(diǎn)發(fā)生反射,且AN和BM都與P點(diǎn)法線平行,故

    δ=δ1=δ2=θ1-α1=θ2-α2.

    (2)

    由折射定律可得,

    在A點(diǎn):sinθ1=nsinα1.

    (3)

    在B點(diǎn):sinθ2=nsinα2.

    (4)

    將(2)式代入(3)和(4)式,

    sinθ1=nsin(θ1-δ).

    (5)

    sinθ2=nsin(θ2-δ).

    (6)

    整理(5)、(6)式可得

    (7)

    進(jìn)一步整理,可得

    tanθ1=tanθ2.

    (8)

    即在滿足本題背景下

    θ1=θ2.

    (9)

    在滿足(9)式的出射光線可有以下兩種情況.

    圖4 n=1時(shí)光路圖

    情況1:光線原路返回到入射點(diǎn)A,如圖4所示.這種情況下折射率n=1.但在通常情況下認(rèn)為玻璃材料的折射率大于1,可忽略.

    情況2:光線在反射膜的反射點(diǎn)必然在中心對(duì)稱點(diǎn)C上,而不可能出現(xiàn)在P點(diǎn)位置.入射光線和出射光線關(guān)于OC軸對(duì)稱,即標(biāo)準(zhǔn)答案提供的光路圖,此時(shí)玻璃折射率為1.43,滿足要求.

    3 光路模擬

    圖5 n=1.43模擬光路圖

    本文采用光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行模擬,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示時(shí),對(duì)應(yīng)光路圖如圖5所示.此時(shí),入射光線與光軸平行,出射光線與光軸的夾角為0.006°,可視為平行光出射.該數(shù)值模擬結(jié)果滿足題目要求,與理論計(jì)算結(jié)果一致.

    表1 Zemax模擬系統(tǒng)設(shè)置參數(shù)

    圖6 n=1.3模擬光路圖

    當(dāng)介質(zhì)折射率n′不是1.43,且平行光入射時(shí),出射光線與光軸的夾角將會(huì)增大,即不是平行光出射.以折射率n′=1.3為例,將表1數(shù)據(jù)中的玻璃折射率1.43改為1.3,對(duì)應(yīng)的光路圖如圖6所示.此時(shí),入射光線與光軸平行,出射光線與光軸的夾角為6.0246°.

    4 模型深究

    根據(jù)近軸光學(xué)單個(gè)折射面的像方焦距公式為,[1]

    (10)

    式中n為入射介質(zhì)折射率,n′為出射介質(zhì)折射率,r為折射面曲率半徑.當(dāng)n和n′分別為1和1.43,r為10 mm時(shí),像方焦距f′為33.25 mm.在近軸近似情況下,通過公式(10)計(jì)算得到的像方焦距f′為33.25 mm與本題模型中OC距離為3r近似相等,即本題設(shè)中的3r可當(dāng)作是該折射面的像方焦距.

    根據(jù)題意及單個(gè)反射面的性質(zhì),圖1表示的光路可等效為一個(gè)厚透鏡結(jié)構(gòu)且像方焦距等于物方焦距,即平行光入射必匯聚于焦點(diǎn)(圖1中的C點(diǎn)),從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過折射面后平行出射.厚透鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示,對(duì)應(yīng)光路圖如圖7所示.

    表2 厚透鏡結(jié)構(gòu)Zemax模擬設(shè)置參數(shù)

    圖7 厚透鏡結(jié)構(gòu)光路圖

    此時(shí),入射光線與光軸平行,出射光線與光軸的夾角為0.006°,即可認(rèn)為是平行光出射.由此可見,筆者認(rèn)為本題背景可視為厚透鏡模型改造而來,考查學(xué)生的對(duì)稱性思想,實(shí)為一題融合經(jīng)典物理模型與核心素養(yǎng)考查的一道好題.

    5 結(jié)論

    針對(duì)2017年全國(guó)高考理綜(Ⅰ)卷第34題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案唯一性的疑惑,本文利用數(shù)學(xué)公式證明和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件Zemax進(jìn)行光路模擬的方法證實(shí)題目所給條件的科學(xué)性和標(biāo)準(zhǔn)答案的合理性.因此,筆者認(rèn)為本題提供的標(biāo)準(zhǔn)答案不存在多解情況.以上僅是筆者的一些拙見,歡迎各位同仁批評(píng)指正.

    1 李曉彤,岑兆豐.幾何光學(xué)·像差·光學(xué)設(shè)計(jì)(第2版)[M].杭州:浙江大學(xué)出版社, 2003: 14~15.

    2017-06-12)

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