“快”不如“多”
——談分子斥力和分子引力的變化

陳 野

(江蘇省姜堰第二中學(xué),江蘇 泰州 225500)

“快”不如“多”
——談分子斥力和分子引力的變化

陳 野

(江蘇省姜堰第二中學(xué),江蘇 泰州 225500)

教科版的高中物理教材關(guān)于分子之間的引力和斥力大小關(guān)系的表述,讓人認(rèn)為“隨著分子間距的變化,分子斥力總是比分子引力變化得快”.文中在米勢的基礎(chǔ)上,通過引入倫納德—瓊斯分子勢,推導(dǎo)出分子力、分子引力和分子斥力關(guān)于分子間距的函數(shù)關(guān)系,并精確繪制了它們的函數(shù)圖像,從而否定了教材中“分子斥力比分子引力變化得快”的“間接”論斷,并提出“變化得快不如變化得多”和“增加斥力線與引力線位于同一象限的F-r圖像”的教材編寫意見.

分子引力;分子斥力;分子力;米勢;倫納德—瓊斯勢

分子間的相互作用是高中物理選修3-3的內(nèi)容.通過該節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生知道了分子之間引力和斥力同時(shí)存在,兩力隨著分子間距的增大而減小,此外,分子力是分子引力和斥力的合力,其大小隨分子間距的變化稍微復(fù)雜些.

圖1 分子間作用力與距離的關(guān)系

不同版本的教材在講解該部分內(nèi)容時(shí),都利用圖1的F-r圖像,定性地描述了分子引力和斥力的隨距離的變化情況,其中教科版關(guān)于分子力的描述如下:[1]當(dāng)rlt;r0時(shí),引力和斥力雖然都隨著距離的減小而增大,但是斥力增加得更快,因而分子間的作用力表現(xiàn)為斥力.當(dāng)rgt;r0時(shí),引力和斥力雖然都隨著距離的增大而減小,但是斥力減小得更快,因而分子間的作用力表現(xiàn)為引力……

圖2 A、B兩物體的v-t圖像

以上表述看似“合理”,仔細(xì)推敲之后,確有值得商榷的地方.文中都強(qiáng)調(diào)了一個(gè)方面,那就是隨著r的變化(無論是大于平衡距離r0還是小于r0),斥力總是比引力變化得快.這樣表述正確嗎?

1 對“變化快”的數(shù)學(xué)理解

先來看加速度的定義:加速度是描述物體速度變化快慢的物理量.在v-t圖像中,我們用圖像在某一點(diǎn)切線斜率的大小表示加速度大小,在數(shù)學(xué)中,又可表示為函數(shù)v(t)的一階導(dǎo)函數(shù)在t0時(shí)刻的數(shù)值大小.如圖2,為A、B兩物體的v-t圖像,將B線平移與A線相切于P點(diǎn),因此我們可以說t0時(shí)刻以前,B物體的速度比A變化快,t0以后,A物體的速度比B變化快.

綜上,“變化快”從數(shù)學(xué)的角度來看,應(yīng)指的是函數(shù)圖像的斜率越來越大.結(jié)合F-r圖像,如果認(rèn)為“斥力線”比“引力線”變化快,則表明“斥力線”的斜率在任何一個(gè)位置都比“引力線”的斜率大(此處只看斜率的大小,不看正負(fù)),而這單從圖1曲線的走勢,似乎難以給出確定的答案,但至少應(yīng)是“讓人懷疑的”.

2 分子力與相對分子力的推導(dǎo)

3 分子斥力與分子引力的變化快慢

對相對分子力中的斥力項(xiàng)和引力項(xiàng)分別求一階導(dǎo)數(shù),可得分子斥力與分子引力的變化率為F斥(R)′=-13R-14,F引(R)′=-7R-8.若拋開“-”號不看,僅比較斜率大小,可令F斥(R)′=F引(R)′,解得R=1.108,說明當(dāng)分子間距rlt;1.108r0時(shí),分子斥力變化率比分子引力變化率大,也即分子斥力比分子引力變化得快,則當(dāng)rgt;1.108r0時(shí),應(yīng)有分子引力比分子斥力變化得快,故而分子斥力并不是一直比分子引力變化快.因此,教材中關(guān)于“隨著r的變化,分子斥力總是比分子引力變化得快”的“間接”表述確有不當(dāng)之處.

利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Mathematica,可以作出相對分子力隨分子相對距離變化的函數(shù)圖像,如圖3所示.從圖中可看出,斥力線和引力線隨著距離的變大,都在減小,且水平軸是它們的漸近線,而有一些教師在作F-r圖像時(shí),沒能注意到這一點(diǎn),隨意性較強(qiáng).[3]

此外,若進(jìn)一步分析圖3(a)圖中分子力曲線,仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn),曲線先是“凹”的,而后是“凸”的,在數(shù)學(xué)中,我們把圖像的“凹凸性”發(fā)生轉(zhuǎn)變的位置稱之為“拐點(diǎn)”,可令對相對分子力函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)為0,求解出來.在本文中,分子力拐點(diǎn)出現(xiàn)在R=1.217,也即分子間距r=1.217r0時(shí),拐點(diǎn)的位置要比分子斥力和分子引力變化率相等的位置(R=1.108)滯后一些.

圖3 相對分子力圖像：圖(a)為分子力的放大圖，圖(b)上虛線表示分子斥力，下虛線表示分子引力，實(shí)線表示分子力

4 分子力的教材編寫建議

通過上文的定量計(jì)算和理論分析,對分子力部分內(nèi)容,可提出以下兩點(diǎn)教材編寫建議.

建議1:將“斥力增加或減小得更快”改為“斥力增加或減小得更多”,也即“更快”不如“更多”.教材在說明分子斥力和分子引力隨分子間距變化的特點(diǎn)時(shí),通過“斥力增加或減小得更快”的措辭,其本意是想說明“分子間距小于平衡距離時(shí),斥力大于引力,分子力表現(xiàn)為斥力;大于平衡距離時(shí),引力大于斥力,分子力表現(xiàn)為引力”.如此措辭,似乎“合情”,學(xué)生也容易理解,如若深究,卻不“合理”.因此,為避免上文的問題出現(xiàn),只需將“更快”改為“更多”即可,正是因?yàn)椤靶∮谄胶饩嚯x時(shí),斥力比引力增加得更多,分子力才表現(xiàn)為斥力;大于平衡距離時(shí),斥力比引力減小得更多,分子力才表現(xiàn)為引力”.如此修改,方便學(xué)生理解的同時(shí),也不造成表述上的錯(cuò)誤.

建議2:增加“斥力線和引力線放在同一象限”的F-r圖像.一直以來,多版本教材的F-r圖像,基本呈現(xiàn)的是圖1的格式——分子斥力和分子引力位居一、四象限.這樣畫的好處主要有兩點(diǎn):一是明確斥力和引力的作用方向相反,二是方便作出二力的合力——分子力.其不足之處是沒能夠直觀地體現(xiàn)出分子斥力與引力的大小情況.為此,教材中可增加“將引力線翻上去”的F-r圖像,如圖4所示.

當(dāng)兩曲線位于同一象限時(shí),兩線交點(diǎn)表示斥力等于引力,交點(diǎn)左邊,斥力線在引力線的上方,表明斥力大于引力,交點(diǎn)右邊,斥力線在引力線的下方,表明斥力小于引力.這個(gè)圖另一個(gè)好處就是,容易看出斥力和引力的變化快慢情況,對于“隨著分子距離的變化,總有分子斥力比分子引力變化得快”的表述,判斷起來就要容易些.

圖4 ①線表示分子斥力，②線表示分子引力，③線表示分子力

1 物理教材編寫組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書,物理選修3-3[M].北京:教育科學(xué)出版社,2006：12-14.

2 黃淑清,聶宜如,申先甲.熱學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,1994：180-185.

3 蔣杰.關(guān)于幾組物理圖像的比較研究[J].物理教師,2011,32(9)：24-26.

本文系江蘇省教研室重點(diǎn)研究項(xiàng)目“江蘇省高中物理課程基地內(nèi)涵建設(shè)的實(shí)踐研究”和江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下物理開放實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)建構(gòu)與實(shí)踐評價(jià)研究”(課題編號： B-a/2015/02/063)的階段性研究成果.

2017-05-12)