基于不確定隨機(jī)需求的周期性庫存策略

張春曉，李潤(rùn)輝

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

基于不確定隨機(jī)需求的周期性庫存策略

張春曉，李潤(rùn)輝

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

經(jīng)典的周期性庫存模型中通常將需求視為隨機(jī)變量，然而在生產(chǎn)實(shí)踐中，當(dāng)設(shè)備如民用飛機(jī)更新后由于缺乏歷史運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)，無法得到其零部件需求的分布函數(shù)。因此企業(yè)決策新設(shè)備零部件庫存問題時(shí)通常會(huì)參考原設(shè)備的失效數(shù)據(jù)，并邀請(qǐng)相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜医o出新設(shè)備零部件需求的主觀信度。為刻畫新設(shè)備對(duì)該零件需求的隨機(jī)性和主觀不確定性，引入機(jī)會(huì)理論將需求假設(shè)為不確定隨機(jī)變量，建立周期性訂貨優(yōu)化模型，推導(dǎo)出使利潤(rùn)最大化時(shí)最優(yōu)訂貨策略的解析解。最后，用數(shù)值算例驗(yàn)證該模型的可行性，并對(duì)各參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析。

周期性庫存；不確定隨機(jī)變量；機(jī)會(huì)理論；新設(shè)備需求

?

周期性訂貨策略是零售商通常采用的庫存策略之一，其決策變量為固定周期內(nèi)的最優(yōu)訂貨量，即根據(jù)每一盤點(diǎn)周期商品銷售量的變化而制定最佳的訂購數(shù)量?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中經(jīng)典的周期性訂貨策略大都假定設(shè)備需求是一個(gè)常數(shù)或隨機(jī)變量，基于概率論收集足夠的歷史銷售數(shù)據(jù)，為需求分布函數(shù)做一個(gè)合理估計(jì)。

較早的周期性訂貨策略研究是1990年威爾遜[1]所建立的經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，其假設(shè)商品需求率連續(xù)均勻且為常數(shù)，給出了不允許缺貨情形下的最佳訂貨批量公式，之后該模型被擴(kuò)充為允許缺貨的模型。2001年，York等[2]研究了設(shè)備需求率和供應(yīng)商的生產(chǎn)率均為常數(shù)的多階段訂貨模型并證明了訂購成本的投資越小，訂購周期越短，訂貨商的訂購批量和滯后供給量越小。2002年羅兵等[3]研究了需求和訂購周期均為隨機(jī)變量、需求率為線性遞增函數(shù)的模型，并推導(dǎo)出了最優(yōu)訂購批量、最優(yōu)訂購周期等的解析式。2004年，Dominey[4]提出了一種單個(gè)顧客需求為獨(dú)立隨機(jī)變量、整體需求近似服從復(fù)合泊松分布的單周期庫存模型，并對(duì)模型的最優(yōu)解做出了分析。2006年，Berman和Perry[5]建立了需求為隨機(jī)變量且?guī)齑嫠綖橹笖?shù)函數(shù)條件下的周期性庫存模型，對(duì)模型最優(yōu)解進(jìn)行了討論，并給出了數(shù)值算例和靈敏度分析。

考慮某企業(yè)為更換新設(shè)備，需制定維護(hù)新設(shè)備所需零部件的庫存策略，然而由于缺乏歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)，難以獲得新設(shè)備對(duì)某零部件的需求概率分布函數(shù)。假定該零部件在原有設(shè)備的需求概率分布可通過歷史銷售數(shù)據(jù)獲得，對(duì)新設(shè)備中該零部件的未來需求則邀請(qǐng)專家給出其主觀信度，這時(shí)原設(shè)備需求的隨機(jī)性和新設(shè)備專家信度的主觀不確定性同時(shí)出現(xiàn)在庫存系統(tǒng)中，如果僅將需求作為隨機(jī)變量用概率論知識(shí)來處理，就不能夠得到合理的結(jié)果。

實(shí)際工作中常常缺乏觀測(cè)數(shù)據(jù)，或暫時(shí)無法獲得足夠觀測(cè)數(shù)據(jù)，研究者通常邀請(qǐng)?jiān)擃I(lǐng)域?qū)＜医o出主觀信度。為了合理解決對(duì)主觀信度的數(shù)學(xué)建模，2007年Liu[6]創(chuàng)立了不確定理論，定義了不確定測(cè)度和不確定隨機(jī)變量，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展出不確定規(guī)劃、不確定隨機(jī)規(guī)劃等。2009年，Qin等[7]將不確定理論引入單周期庫存問題，把設(shè)備需求當(dāng)作一個(gè)不確定變量，給出了利潤(rùn)最大化的最佳庫存量?；谶@個(gè)研究，Gao[8]又將不確定理論引入經(jīng)典報(bào)童問題中，得到了最佳訂貨量的解析解。

隨著不確定理論的發(fā)展，為了描述隨機(jī)性和不確定性同時(shí)存在于一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中的現(xiàn)象，研究者相繼開創(chuàng)了機(jī)會(huì)理論并定義了不確定隨機(jī)變量，引入了機(jī)會(huì)測(cè)度用以描述不確定隨機(jī)變量并給出不確定隨機(jī)變量的機(jī)會(huì)分布以及不確定隨機(jī)變量的運(yùn)算法則等[9-12]，之后許多學(xué)者對(duì)機(jī)會(huì)測(cè)度及不確定隨機(jī)變量的數(shù)字特征進(jìn)行了研究。目前，機(jī)會(huì)理論也取得了一定的應(yīng)用成果。

在之前學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，將考慮某產(chǎn)品的新設(shè)備訂貨策略，假定需求為不確定隨機(jī)變量，應(yīng)用機(jī)會(huì)理論建立周期性訂貨模型。通過研究目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)模型進(jìn)行求解并給出訂貨量應(yīng)滿足的最優(yōu)條件，最后應(yīng)用到實(shí)際問題中證明其可行性。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹文中用到的不確定理論和機(jī)會(huì)理論的基礎(chǔ)知識(shí)[11]。

令Γ是一個(gè)非空集合，L是Γ上的σ-代數(shù)。σ-代數(shù)L中每個(gè)元素Λ稱為事件，不確定測(cè)度是從L到[0，1]的函數(shù)。為了公理化定義不確定測(cè)度，有必要給出每個(gè)事件Λ的測(cè)度值Μ{Λ}，此測(cè)度Μ{Λ}是事件Λ可能發(fā)生的信度。為了合理給出專家信度，Liu提出如下3條公理：

公理1（正則性）對(duì)于全集Γ，有Μ{Γ}=1。

公理2（對(duì)偶性）對(duì)于任何事件Λ，有Μ{Λ}+Μ{Λc}=1。

公理3（次可加性）對(duì)于任意可數(shù)事件序列Λ1，Λ2，…，有

定義1令Γ是一個(gè)非空集，L是Γ上的σ-代數(shù)，Μ是不確定測(cè)度，則三元組（Γ，L，Μ）稱為不確定空間。

定義2不確定變量ξ是從不確定空間（Γ，L，Μ）到實(shí)數(shù)集的可測(cè)函數(shù)，即對(duì)任意的Borel集B，集合

是事件。

定義3對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，不確定變量ξ的不確定分布定義為

定義4一個(gè)不確定變量ξ被稱為是線性的，如果它有一個(gè)線性不確定分布記為 L（a，b），a和 b 為實(shí)數(shù)，且 a＜ b。

定義5令ξ是不確定變量，則ξ的期望值定義為

條件是如上兩個(gè)積分中的至少一個(gè)是有限。

定義6不確定分布Φ被稱為是正則的，如果對(duì)每一個(gè)α∈（0，1），其逆函數(shù)Φ-1（α）存在且唯一。

定義7令ξ是一個(gè)不確定變量且具有正則不確定分布，則逆函數(shù)Φ-1稱為ξ的不確定逆分布。

定理1令ξ是不確定變量并具有正則不確定分布Φ。如果期望值存在，則

定義 8令（Γ，L，Μ）× （Ω，A，Pr）是機(jī)會(huì)空間，再令Θ∈L×A是一個(gè)事件。則機(jī)會(huì)測(cè)度Θ定義為

定義9令ξ是一個(gè)不確定隨機(jī)變量。則ξ機(jī)會(huì)分布定義為

定理 2令 η1、η2，…，ηm是獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率分布分別是 Ψ1、Ψ2，…，Ψm，并令 τ1、τ2，…，τn是獨(dú)立的不確定變量，不確定分布分別是 Φ1、Φ2，…，Φn，則不確定隨機(jī)變量

有期望值

其中：f（η1、η2，…，ηm，τ1、τ2，…，τn）對(duì)于τ1、τ2，…，τn是單增函數(shù)或單減函數(shù)。

2 假設(shè)和符號(hào)

本文研究某產(chǎn)品在新設(shè)備中固定周期內(nèi)的訂貨策略，為了建模方便，給出以下假設(shè)和符號(hào)。

2.1 符號(hào)

ξ為原設(shè)備中零部件的需求，隨機(jī)變量；η為新設(shè)備中零部件的需求，不確定變量；γ為總需求，不確定隨機(jī)變量，且γ=η+ξ；Q為訂貨量，決策變量；P為單位售價(jià)；C為單位存儲(chǔ)費(fèi)用；K為單位成本；W（Q，γ）為總利潤(rùn)函數(shù)。

2.2 假設(shè)

①P，C，K為已知常數(shù)；②在原設(shè)備中和新設(shè)備中該零部件需求相互獨(dú)立；③允許缺貨，缺貨時(shí)只有收入損失，沒有其他費(fèi)用損失；④存儲(chǔ)費(fèi)用為正數(shù)，且P＞K＞0；⑤庫存沒有限制。

3 模型

假設(shè)原設(shè)備中某零部件需求ξ的概率分布可通過歷史數(shù)據(jù)獲得，新設(shè)備中需求η可通過專家信度給出不確定分布，這時(shí)不確定變量和隨機(jī)變量同時(shí)出現(xiàn)在周期性訂貨策略中，即總需求是一個(gè)不確定隨機(jī)變量γ=ξ+η。通常情況下，建立庫存問題的目標(biāo)函數(shù)有兩種方法：一種是以整個(gè)系統(tǒng)庫存成本期望值最小為目標(biāo)函數(shù)；另一種是以總利潤(rùn)期望值最大為目標(biāo)函數(shù)。本文采用第2種方法來建立目標(biāo)函數(shù)。

根據(jù)模型假設(shè)，該產(chǎn)品在一個(gè)周期內(nèi)的銷售利潤(rùn)為

因?yàn)樵O(shè)備需求γ是一個(gè)不確定隨機(jī)變量，所以W（Q，γ）作為不確定隨機(jī)變量γ的函數(shù)也是一個(gè)不確定隨機(jī)變量，又利潤(rùn)函數(shù)式（2）對(duì)于不確定變量γ是單調(diào)的增函數(shù)。因此，可根據(jù)機(jī)會(huì)理論式（1）求得W（Q，γ）的期望值，即平均利潤(rùn)。為了最大化利潤(rùn)期望值，尋求最優(yōu)訂貨量Q*，給出定理3。

定理3假設(shè)γ是一不確定隨機(jī)變量，且γ=ξ+η，其中ξ是一隨機(jī)變量且服從概率分布Ψ，η是一不確定變量且服從不確定分布Φ，定義函數(shù)W（Q，ξ+η）為

則W（Q，ξ+η）的期望值為

證明因?yàn)棣?η是一個(gè)不確定隨機(jī)變量，且W（Q，ξ+η）對(duì)于不確定變量η是單調(diào)增的，根據(jù)定理2，有

其中

因此

定理證畢。

定理4設(shè)Q為決策變量，γ是不確定隨機(jī)變量，且γ=ξ+η，其中ξ是一個(gè)隨機(jī)變量且服從概率分布Ψ，η是一個(gè)不確定變量且服從不確定分布Φ，對(duì)于不確定隨機(jī)規(guī)劃模型

其最優(yōu)解Q*滿足

證明目標(biāo)函數(shù)對(duì)Q求導(dǎo)，得

若Q≤Q*時(shí)，E[W（Q，γ）]≥ 0；而當(dāng)Q＞Q*時(shí)，E[W（Q，γ）]＜0。所以目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于Q的凹函數(shù)，則Q*是最優(yōu)訂貨量。

定理證畢。

4 算例

航材訂購是保證飛機(jī)正常運(yùn)營(yíng)的必要條件，航材儲(chǔ)備量過低或過高都會(huì)影響飛機(jī)的安全性和經(jīng)濟(jì)性，過低的儲(chǔ)備無法應(yīng)付突發(fā)事故，過高的儲(chǔ)備又會(huì)增加管理方面的人力和物力，且經(jīng)費(fèi)不允許。因而，必須確定合理的航材儲(chǔ)備標(biāo)準(zhǔn)并做好航材儲(chǔ)備管理工作。算例采用某航空公司航材部訂購新引進(jìn)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)所用某種型號(hào)螺栓的訂貨問題，假設(shè)該螺栓在相似機(jī)型的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量并服從指數(shù)分布，即

新型飛機(jī)的需求量是一個(gè)不確定變量并服從線性不確定分布L（a，b）[12]，即

將式（6）和式（7）代入定理 4的式（5），得到最優(yōu)訂貨量Q*的表達(dá)式為

假定每個(gè)螺栓的存儲(chǔ)費(fèi)為C=2，每個(gè)螺栓成本K=6，每個(gè)螺栓售價(jià)P=20，a=100，b=800，λ =0.01，則最優(yōu)訂貨量Q*如圖1所示。

從圖1可以看出，模型中的各參數(shù)對(duì)最優(yōu)訂貨量都有顯著影響。隨著單位貨物成本的增加，最優(yōu)訂貨量減小。由圖1（a）可知，在單位貨物售價(jià)增加的情況下，最優(yōu)訂貨量增加。即貨物售價(jià)提高，公司利潤(rùn)會(huì)增加，從而最優(yōu)訂貨量也要增加。由圖1（b）可知，隨著單位貨物存儲(chǔ)費(fèi)的增加，最優(yōu)訂貨量在減少。由圖1（c）中可以看出，隨著參數(shù)λ的增大，最優(yōu)訂貨量在減少。因?yàn)樵谠瓉碓O(shè)備中，需求服從指數(shù)分布，參數(shù)λ的增加會(huì)導(dǎo)致需求的減少，因此最優(yōu)訂貨量也會(huì)隨著減少。從圖1（d）可以看出，最優(yōu)訂貨量隨著b的增大而增大，也就是對(duì)于固定的a，最優(yōu)訂貨量隨著b-a的增大而增大。即在新的設(shè)備中，參數(shù)b-a增大，需求也會(huì)

圖1 不同參數(shù)下的最優(yōu)訂貨量Q*Fig.1 Optimal order quantity Q*for increasing values of P，C，λ，b

隨著增大，從而增加最優(yōu)訂貨量。

5 結(jié)語

在不確定隨機(jī)需求的情況下，對(duì)周期性訂貨問題進(jìn)行了研究，主要結(jié)論如下：

1）由于缺乏歷史數(shù)據(jù)，將總設(shè)備需求設(shè)為不確定隨機(jī)變量，引入機(jī)會(huì)理論，即隨機(jī)性和不確定性同時(shí)出現(xiàn)在庫存問題中，建立了周期性訂貨策略的庫存模型。

2）以平均利潤(rùn)最大為目標(biāo)函數(shù)建立了周期性訂貨的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)不確定隨機(jī)需求下的庫存模型進(jìn)行求解，得出相應(yīng)的最優(yōu)訂貨策略的表達(dá)式。

3）算例分析驗(yàn)證了模型的有效性和可行性，結(jié)果可為決策者在新設(shè)備中某零部件的庫存問題提供參考。

由于缺乏歷史數(shù)據(jù)，不確定隨機(jī)需求下的周期性庫存策略模型將有助于解決實(shí)際問題，并可被擴(kuò)充到多個(gè)階段多產(chǎn)品的庫存問題，這有待于進(jìn)一步研究。

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Periodic inventory policy based on uncertain random demand

ZHANG Chunxiao,LI Runhui
（College of Science,CAUC,Tianjin 300300,China）

In classic periodic inventory model,demand is usually considered as a random variable,but in production practice,the distribution function of new equipment demand cannot be obtained due to lack of historical sale data.So companies usually take product demand data of the original equipment as reference,and invite relevant experts to provide a subjective estimate to the unit demand distribution of new equipment.To describe the randomness and subjective uncertainty of the new equipment demand，chance theory is introduced and the demand is assumed as a uncertain random variable.A periodic order optimization model is built and an optimal analytical solution for profit maximization is obtained.Finally, numerical examples verify the feasibility of the current model,and a sensitivity analysis for parameters is taken.

periodic inventory;uncertain random variable;chance theory;new equipment demand

張春曉（1971—），女，青海西寧人，教授，碩士，研究方向?yàn)槊窈浇y(tǒng)計(jì)與優(yōu)化.

O227

A

1674－5590（2017）05－0056－04

2016-12-08；

2017-02-22

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)（3122016D030）

?

劉佩佩）