線性回歸模型中容易忽略的一個(gè)問(wèn)題

覃章景

（長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北荊州434200）

線性回歸模型中容易忽略的一個(gè)問(wèn)題

覃章景

（長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北荊州434200）

在用線性回歸方法進(jìn)行建模時(shí)，如果隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列自相關(guān)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生“偽回歸”現(xiàn)象.用誤差修正模型能很好地消除這一影響.并用我國(guó)的教育投入和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的依存關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證分析.

回歸分析法；誤差修正模型；教育投入；GDP；增長(zhǎng)率

1 誤差修正模型的原理與方法

一元線性回歸模型的形式為

其中y為被解釋變量；x為解釋變量；u是隨機(jī)誤差項(xiàng)；T為樣本個(gè)數(shù).此模型包含以下幾個(gè)基本的假設(shè)：

（1）隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差，即E(ut)=0；var(ut)=σ2

（2）隨機(jī)誤差項(xiàng)服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，即ut～N(0,σ2)

（3）隨機(jī)誤差與解釋變量之間不相關(guān)，即cov(xt,ut)=0

（4）隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不相關(guān)，即cov(ui,uj)=0(i≠j)

上面四個(gè)條件中，若第（4）個(gè)條件不滿(mǎn)足，稱(chēng)為自相關(guān).在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中極易出現(xiàn).為了發(fā)現(xiàn)和消除這一影響，可用D.W.統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，并用誤差修正模型進(jìn)行建模.

D.W.統(tǒng)計(jì)量可用來(lái)檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)是否存在一階序列相關(guān)，計(jì)算公式如下

從演唱方法上來(lái)看，美聲唱法要求歌唱發(fā)聲自然。相對(duì)于民族唱法，它更加洪亮，共鳴更多，因此聲音的傳送也更具穿透力，同樣旋律的演唱更加華麗、靈活、圓潤(rùn)、富有光彩，音高更準(zhǔn)確。它的“管道”較之民族唱法更加通暢，咬字更加松弛。

根據(jù)樣本容量T和解釋變量個(gè)數(shù)查D.W.分布表，得到臨界值，判斷模型的自相關(guān)狀態(tài).并且可知，當(dāng)D.W.的值在2左右時(shí)，模型不存在一階自相關(guān).

若模型中存在一階自相關(guān)，則在模型（1）中分別引入兩變量的前期值yt-1和xt-1，建立線性回歸模型

移項(xiàng)得Δyt=α0+α1Δxt+(α2-1)yt-1+α1xt-1+α3xt-1+ut

于是被解釋變量的波動(dòng)Δyt分為兩部分組成，一部分為短期波動(dòng)，一部分為長(zhǎng)期均衡.

2 實(shí)證分析

我們利用國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站發(fā)布的1978—2014年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)略），對(duì)我國(guó)教育投入和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的依存關(guān)系進(jìn)行了實(shí)證分析.

教育投入是指投入到教育活動(dòng)中的一切人力、物力和財(cái)力的總和，它與社會(huì)各方面因素有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，而國(guó)家撥款仍是教育投入的主要來(lái)源，為了使數(shù)據(jù)具有準(zhǔn)度性和權(quán)威性，選取國(guó)家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)作為教育投入的數(shù)據(jù)，選取年度GDP數(shù)據(jù)作為經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的衡量指標(biāo).為了消除異方差性的影響，我們對(duì)原始數(shù)據(jù)先取對(duì)數(shù)，再進(jìn)行一階差分，使其成為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后進(jìn)行相關(guān)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算和分析.文中所有計(jì)算均由Eviews8.0軟件[3]完成.

經(jīng)計(jì)算教育投入與GDP之間的相關(guān)系數(shù)高達(dá)0.9912，說(shuō)明兩者之間存在著十分密切的正相關(guān)性.運(yùn)用濟(jì)學(xué)中的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn).可以得出教育投入的變化與GDP的變化具有雙向Granger因果關(guān)系.

3.1 教育投入增長(zhǎng)率與GDP增長(zhǎng)率的簡(jiǎn)單線性回歸分析

我們以教育投入的觀測(cè)值取對(duì)數(shù)，并進(jìn)行一階差分（記為Δlog(jytrt)）后的值，作為回歸模型的解釋變量.以GDP的觀測(cè)值取對(duì)數(shù)并進(jìn)行一階差分（記為Δlog(gdpt)）后的值作為回歸模型的被解釋變量.用方程（1）建立模型，得到簡(jiǎn)單線性回歸方程：

表1給出了各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果.從結(jié)果可以看出，教育投入增長(zhǎng)率對(duì)GDP增長(zhǎng)率的回歸方程中，常數(shù)項(xiàng)和自變量的回歸系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)值超過(guò)了臨界值，回歸方程的F統(tǒng)計(jì)值也通過(guò)了檢驗(yàn).說(shuō)明教育投入增長(zhǎng)率對(duì)GDP增長(zhǎng)率的影響是顯著的.但計(jì)算結(jié)果的復(fù)相關(guān)系數(shù)僅為0.3414，表明方差的解釋能力較差.D.W.值為0.9094，比2小，說(shuō)明回歸模型隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列自相關(guān)問(wèn)題.

為了進(jìn)一步分析模型所存在的問(wèn)題，我們做出了回歸模型的殘差趨勢(shì)圖，如圖1所示，從圖1可以看出殘差項(xiàng)的估計(jì)值并不是頻繁的改變符號(hào)，這也說(shuō)明殘差存在序列自相關(guān)，而且對(duì)歷史數(shù)據(jù)的擬合效果很不理想.

表1 簡(jiǎn)單線性回歸分析計(jì)算結(jié)果

圖1 簡(jiǎn)單線性回歸模型的殘差趨勢(shì)圖

上述分析表明，雖然教育投入與GDP之間有明顯的內(nèi)在聯(lián)系，但不是簡(jiǎn)單的線性回歸模型，不能用簡(jiǎn)單線性回歸模型來(lái)解釋教育投入與GDP之間的內(nèi)在規(guī)律.

3.2 教育投入增長(zhǎng)率與GDP增長(zhǎng)率的誤差修正模型

在教育投入的增長(zhǎng)率和GDP的增長(zhǎng)率的簡(jiǎn)單線性回歸模型中，再引入誤差修正項(xiàng)ecmt-1，用方程（3）建立模型，計(jì)算結(jié)果和各種統(tǒng)計(jì)量如表2，得到的誤差修正模型如下：

Δlog(gdpt)=0.42483Δlog(jytrt)+0.583177ecmt-1+0.083987

計(jì)算結(jié)果表明，各回歸系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)值及F統(tǒng)計(jì)量均超過(guò)了臨界值，通過(guò)了顯著性檢驗(yàn).說(shuō)明教育投入的增長(zhǎng)率對(duì)GDP的增長(zhǎng)率的影響是顯著的；復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.8529，系統(tǒng)方差的解釋能力增強(qiáng)；D.W.值為1.932，與2相當(dāng)接近，誤差修正模型的殘差項(xiàng)不存在序列自相關(guān).

圖2為誤差修正模型的殘差趨勢(shì)圖，從圖中顯示，誤差修正模型不僅消除了殘差項(xiàng)序列自相關(guān)性，而且對(duì)歷史數(shù)據(jù)的擬合值也非常理想.

表2 誤差修正模型的計(jì)算結(jié)果

圖2 為誤差修正模型的殘差趨勢(shì)圖

從上述分析中可以看出，教育投入和GDP增長(zhǎng)之間存在著雙向Granger因果關(guān)系，但不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，用誤差修正模型分析較為理想.模型告訴我們：從1978年至2014年期間，每增加1%的Δlog(gdpt)相應(yīng)的增加0.4248%的Δlog(jytrt)，表明教育投入在一定程度上促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)，但作用不是十分顯著.

4 結(jié)束語(yǔ)

線性回歸分析方法是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)分析方法，但僅僅憑是否通過(guò)t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)來(lái)確立方程，往往產(chǎn)生“偽回歸”現(xiàn)象.導(dǎo)致模型的分析和預(yù)測(cè)失效.產(chǎn)生“偽回歸”現(xiàn)象主要是由隨機(jī)誤差項(xiàng)的異方差性和序列自相關(guān)性造成的.通過(guò)差分和函數(shù)變換（如取對(duì)數(shù)）可消除異方差的影響；建立誤差修正模型不僅可消除了殘差項(xiàng)序列自相關(guān)性，而且對(duì)歷史數(shù)據(jù)的擬合值也非常理想，使模型的預(yù)測(cè)功能更強(qiáng).

〔1〕李子奈，葉阿忠.高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M]．北京:清華大學(xué)出版社，2000.

〔2〕高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建?！狤Views應(yīng)用及實(shí)例[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006

〔3〕于俊年.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件——EViews的使用[M].北京:對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社,2006.

〔4〕付云鵬，郭云峰，馬樹(shù)才.基于區(qū)間模糊數(shù)的模糊線性回歸模型及其應(yīng)用[J].河北科技師范學(xué)院學(xué)報(bào),2013(01).

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2017-07-06