二階橢圓問(wèn)題基于Morley元離散的內(nèi)點(diǎn)懲罰間斷有限元方法

湯 凱，黃學(xué)海，王文慶

(1.溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2.溫州商學(xué)院，浙江溫州 325035)

二階橢圓問(wèn)題基于Morley元離散的內(nèi)點(diǎn)懲罰間斷有限元方法

湯 凱1，黃學(xué)海1，王文慶2

(1.溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035；2.溫州商學(xué)院，浙江溫州 325035)

本文在離散的二階橢圓邊界值問(wèn)題的基礎(chǔ)上，通過(guò)引進(jìn)內(nèi)點(diǎn)懲罰項(xiàng)，構(gòu)造了基于Morley元離散的內(nèi)點(diǎn)懲罰間斷有限元方法，并對(duì)此離散方法進(jìn)行了先驗(yàn)誤差分析.

二階橢圓問(wèn)題；內(nèi)點(diǎn)懲罰間斷有限元方法；Morley元；收斂性；誤差估計(jì)

Morley元是六十年代出現(xiàn)的一種非協(xié)調(diào)元，它的形函數(shù)是完整的二次多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn)參數(shù)是單元頂點(diǎn)上的三個(gè)函數(shù)值及三邊中點(diǎn)上的法向?qū)?shù)值.1975年，Lascaux和Lesaint[1]第一次用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明了Morley元的收斂性，并假設(shè)真解在H4空間.后人證明，Morley元空間不能直接應(yīng)用于二階問(wèn)題，而在本文中，原問(wèn)題是二階問(wèn)題，我們對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行了一些處理，經(jīng)過(guò)處理后，原問(wèn)題利用Morley元方法得到了很好的解決，并證明了經(jīng)過(guò)這些處理后離散問(wèn)題的收斂性.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ω是二維凸多邊形區(qū)域，邊界Γ=?Ω.考慮下面邊界值問(wèn)題：

現(xiàn)在定義跳躍函數(shù)[2]：在邊界e上，對(duì)

定義 Morley元[3].給定一個(gè)三角元K，它的三個(gè)頂點(diǎn)記為對(duì)邊記為分別為三角元K和邊界Ej的長(zhǎng)度，則Morley可以定義成

1）K是一個(gè)三角元；

2 方法描述

其中η充分大.于是離散變分問(wèn)題可以寫(xiě)成：

定義網(wǎng)格依賴范數(shù)：

3 誤差估計(jì)

其中u是（1）的解，uh是（6）的解，C表示一個(gè)不依賴于網(wǎng)格大小，只依賴于網(wǎng)格形狀的正則性的常數(shù)，且C在以下不同地方出現(xiàn)時(shí)可以代表不同的值.

命題1 存在一個(gè)不依賴于h的正常數(shù)M＞0，使得

此外，存在不依賴于h的正常數(shù)α使得

由逆跡不等式[4]及不等式知：

將（9）式代入（8）式中，得：

由（10）式和（11）式，得：

證畢.

引理[2]設(shè)于是有：

證明：由φ的正則性知，在單元間的邊界上，?φ?n是連續(xù)的，即

根據(jù)跳躍的定義，得：

下面證明問(wèn)題的收斂性.

由命題1知：

設(shè)wI是Vh中的插值，所以有誤差估計(jì)：成立，所以

由命題1知，

證畢.

[1] Lascaux P, Lesaint P. Some nonconforming finite elements for the plate bending problem [J]. RAIRO Anal Numer,1975, 9: 9-53.

[2] Brezzi F, Manzini G, Marini D, et al. Discontinuous Galerkin approximations for elliptic problems [J]. Numer Meth Part D E, 2000, 16(4): 365-378.

[3] Wang M, Xu J C, Hu Y C. Modified Morley element method for a fourth-order elliptic singular perturbation problem[J]. J Comput Math, 2006, 24(2): 113-120.

[4] Brenner S C, Owens L, Sung L Y. A weakly over penalized symmetric interior penalty method [J]. Electron T Numer Ana, 2008, 30(11): 107-127

[5] Ciarlet P G. The finite element method for elliptic problems [M]. Amsterdam: North-Holland publishing company,1980: 138-139.

(編輯：王一芳)

Interior Point Penalty Discontinuous FEM Based on Morley Element Discretization for Second-order Elliptic Problems

TANG kai1, HUANG Xuehai1, WANG Wenqing2
(1. College of Mathematics and Information Sciences, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035;2. Wenzhou Business College, Wenzhou, China 325035)

The interior-point penalty discontinuous FEM is constructed based on Morley element discretization through the introduction of the interior point penalty term on the basis of the discrete second-order elliptic boundary value problem. The priori error analysis on this discrete method is proceeded in this paper.

Second-order Elliptic Problem; Interior Point Penalty Discontinuous FEM (Finite Element Method); Morley Element; Convergence; Error Estimation

O175

A

1674-3563(2017)04-0007-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2016-10-20

湯凱(1991- )，男，安徽蚌埠人，碩士研究生，研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)