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    淺談小波有限元法的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)*

    2017-11-30 10:28:05魏忠斌
    科技與創(chuàng)新 2017年17期
    關(guān)鍵詞:有限元法樣條小波

    魏忠斌,趙 松

    (西京學(xué)院,陜西 西安 710123)

    淺談小波有限元法的研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)*

    魏忠斌,趙 松

    (西京學(xué)院,陜西 西安 710123)

    有限元已成為在數(shù)值建模與求解等工程應(yīng)用中有效的手段之一,現(xiàn)廣泛地被機(jī)械工程等學(xué)科的各個(gè)分支用于工程數(shù)值計(jì)算,獲得了滿(mǎn)意的求解精度。然而,對(duì)于工程實(shí)際中的奇異性問(wèn)題而言,比如典型的裂紋問(wèn)題,傳統(tǒng)的有限元法就無(wú)法得到最優(yōu)解。通過(guò)對(duì)小波有限元在國(guó)內(nèi)外的研究分析證明,小波有限元有著很大的應(yīng)用領(lǐng)域,并在求解工程的奇異性問(wèn)題中,有著無(wú)限的發(fā)展?jié)摿蛻?yīng)用價(jià)值。

    小波有限元;小波函數(shù);尺度函數(shù);邊界條件

    如何彌補(bǔ)或完善傳統(tǒng)有限元在解決奇異性問(wèn)題中的不足之處,國(guó)內(nèi)外科研工作者、學(xué)者不斷地嘗試如何有效地將小波理論引入到有限元模型中,基于小波分析理論構(gòu)造不同的小波函數(shù)及尺度函數(shù),以有效解決上述結(jié)構(gòu)工程中的奇異性問(wèn)題。因此,小波有限元法繼承了傳統(tǒng)有限元法離散逼近的優(yōu)點(diǎn),使其可以快速、方便地處理復(fù)雜的邊界條件;可借助小波函數(shù)特有的多分辨分析特性,構(gòu)造一種自適應(yīng)算法,即多分辨的有限元逼近空間,以提高求解速度及精度,在不改變尺度空間下提高其分辨率,使其在低空間得到逼近解;在處理奇異性問(wèn)題時(shí),可采用較大的細(xì)節(jié)空間得到最優(yōu)解,從而達(dá)到所需的分析精度。

    1 小波有限元法的研究現(xiàn)狀

    1.1 國(guó)外研究現(xiàn)狀

    1994年,Ko等提出了小波有限元(waveletfiniteelement method)的構(gòu)造理念;V.STRELA和G.STRANG在Hermite有限元的基礎(chǔ)上,構(gòu)造了具有2n階消失矩、對(duì)稱(chēng)性、緊支撐性的多尺度小波有限元;MAChriston和DWRoach經(jīng)多年努力研究了用小波基求解偏微分方程的可行性,終于在1999年提出了一種基于可變分層基多尺度線(xiàn)性有限元,該方法類(lèi)似于伽遼金方法的數(shù)值和計(jì)算性能及肖德不動(dòng)點(diǎn)原理,最后得到了一維和二維橢圓型偏微分方程的多尺度求解方法;2003年,RaghunathanSudarshan等建立了基于Hermite的第二代有限元多小波,并使用這些多分辨率函數(shù)基研究了歐拉梁靜態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng);2006年,RICHARD等由傳統(tǒng)有限元基函數(shù)使用交錯(cuò)法得到多小波。構(gòu)造該多小波的基函數(shù)是分段多項(xiàng)式,具有正交性、緊支撐性,并且可以采用任意近似值構(gòu)造。2010年DeepuS.Joseph等為晶體塑性有限元模擬提出了一種新的基于小波變換的多時(shí)間尺度算法。

    1.2 國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

    2000年以前,國(guó)內(nèi)科研工作者、學(xué)者在小波有限元法方面的研究較少。1996年,華中科技大學(xué)的徐長(zhǎng)發(fā)基于B樣條小波有限元,研究了構(gòu)造樣條小波的理論基礎(chǔ),并應(yīng)用到了穩(wěn)定性的數(shù)值計(jì)算中;西安交通大學(xué)何正嘉教授等從1998年起,針對(duì)小波有限元法進(jìn)行了大量的研究并構(gòu)造許多新型的小波有限單元,有效解決了一些工程問(wèn)題,研究成果豐碩;韓建剛、黃義由小波函數(shù)尺度函數(shù)給出了尺度函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)求解方法,利用尺度函數(shù)作為基函數(shù)得到了小波伽遼金有限元法,并用此方法求解彈性地基上的有限長(zhǎng)梁,從結(jié)果對(duì)比可以看出,其解具有良好的精確性和收斂性,此求解步驟可以應(yīng)用到通常的微分方程求解中;彭惠芬等利用小波尺度函數(shù)多分辨率和逼近精度高的特點(diǎn),將小波有限元應(yīng)用于復(fù)合材料數(shù)值分析中,建立了復(fù)合材料抽油桿小波有限元模型,推導(dǎo)了復(fù)合材料抽油桿小波單元?jiǎng)偠确匠?;馮德山等基于可分離小波理論,由一維區(qū)間B樣條小波尺度函數(shù)的張量積構(gòu)造二維B樣條小波基,并將它作為GPR波動(dòng)方程求解的插值函數(shù),通過(guò)引入轉(zhuǎn)換矩陣,實(shí)現(xiàn)小波系數(shù)空間與雷達(dá)電磁場(chǎng)之間的轉(zhuǎn)換。

    2 發(fā)展趨勢(shì)

    從上述研究現(xiàn)狀及取得的成果可以得到,小波有限元理論最先只是被研究者們用于求解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)物理方程。而隨著研究的深入,相當(dāng)部分的學(xué)者開(kāi)始熱衷于將小波有限元法用于解決工程結(jié)構(gòu)中的一些實(shí)際問(wèn)題,比如靜力學(xué)分析、裂紋的故障診斷等方面。然而,小波有限元法如何在工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)方面的研究并沒(méi)有引起科研工作者們的關(guān)注。目前,對(duì)工程結(jié)構(gòu)中最基本的梁、板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí),如何做到兼顧計(jì)算效率與計(jì)算精度,對(duì)以后求解復(fù)更為復(fù)雜工程問(wèn)題時(shí)意義重大。因此,關(guān)于如何有效解決工程實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)研究必將成為熱點(diǎn)。

    3 結(jié)束語(yǔ)

    小波有限元法作為新起的有限元逼近算法,借助小波的多分辨特性,其數(shù)值穩(wěn)定性好,適宜求解奇異性問(wèn)題,必將擁有無(wú)限的發(fā)展?jié)摿肮こ虒?shí)際應(yīng)用價(jià)值。

    [1]KoJ,KurdilaAJ,PilantMS.Aclassoffiniteelement methodsbasedonorthonormal,compactlysupported wavelets.ComputationalMechanics.1995,16(04).

    [2]彭惠芬,王鵬,王程.復(fù)合材料抽油桿動(dòng)力學(xué)分析的小波有限元法[J].承德石油高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào),2014,16(04).

    [3]馮德山,王珣.區(qū)間B樣條小波有限元GPR模擬雙相隨機(jī)混凝土介質(zhì)[J].地球物理學(xué)報(bào),2016,59(08).

    TV698.1

    A

    10.15913/j.cnki.kjycx.2017.17.128

    2095-6835(2017)17-0128-02

    魏忠斌(1986—),男,碩士,助教。

    〔編輯:張思楠〕

    西京學(xué)院院科研基金項(xiàng)目(編號(hào):XJ160117)

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