一類含有“基本單元”的線型無限網(wǎng)絡(luò)電路習(xí)題的解法

后宗新

在物理競賽和理科實驗班的招生中，常會出現(xiàn)一類線型無限網(wǎng)絡(luò)電路，這類試題的解法有一定的技巧性，關(guān)鍵是找到電路中的“基本單元”，然后根據(jù)無限網(wǎng)絡(luò)“重復(fù)性”的特點，尋找等量關(guān)系進行求解。下面舉例說明：

例1 如圖1所示，電路是一個單邊線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個電阻的阻值都是R，則A、B間的等效電阻RAB=__________。

解析：如答圖1所示，虛線方框內(nèi)部分是一個個“基本單元”，由于電路是“無限”的，所以去掉一個基本單元或增加一個基本單元并不影響其等效電阻。

設(shè)去掉左邊第一個基本單元后，剩下電路的電阻為R余，則

RAB=2R+，且RAB=R余

解得：RAB=（+1）R

答案：（+1）R

例2 如圖2所示，電路是一個單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個電阻的阻值都是r，則A、B之間的等效電阻RAB=__________。

解析：如答圖2所示，虛線方框內(nèi)部分是一個個“基本單元”（注意與例1的不同），由于電路是“無限”的，所以去掉一個基本單元或增加一個基本單元并不影響其等效電阻。

設(shè)去掉左邊第一個基本單元后，剩下的電路電阻為R余，則

RAB=，且R余=RAB

解得：RAB=（-1）r

答案：（-1）r

例3 一個兩端延伸的無限網(wǎng)絡(luò)電路如圖3所示，其中每個電阻均為r，則a、b兩點之間的電阻Rab=______。

解析：此電路屬于兩端延伸的無限網(wǎng)絡(luò)，整個電路可以看作是由三個部分組成，如答圖3所示。因為左、右虛線方框內(nèi)是一樣的無限網(wǎng)絡(luò)，所以它們的電阻相等。

設(shè)虛線方框內(nèi)的電阻為Rx，則

RAB=

由例2可知，Rx=（-1）r

解得：Rab=r

答案：r

例4 如圖4所示，已知R1=R2=R3=…=Rn=Rn+1=Rm=Rm+1=，A、B間的電壓為U，則A、B間的電阻RAB=__________，Rm上消耗的電功率為_________。

解析：如答圖4所示，右端虛線方框內(nèi)部分是電路的“基本單元”，用“逆推法”往左推進，根據(jù)串、并聯(lián)電路中電阻的特點，很容易得到RAB=。

電路中總電流I==，通過R1中的電流為I，通過R2中的電流為R1的一半，即（）2I，通過R3中的電流為R2的一半，即（）3I……所以，通過Rm中的電流為（）mI=（）m-1，即Rm上消耗的電功率Pm= I2mRm=（）2m-1.

答案：；（）2m-1

思考題：

1.如圖5所示，已知R1=R2=R3=…=Rn=Rn+1=…=Rm=Rm+1=，電源電壓U，則通過Rn的電流大小是________。

2.如圖6所示，用相同的電壓表測量不同電阻的電壓，已知第一個電壓表的示數(shù)是9V，第一個電流表示數(shù)是15mA，第二個電流表示數(shù)是12mA，則各電壓表示數(shù)之和是_______V。

答案與提示：

1.（）n-1 參考例4解析

2.45

Rv===3000Ω

設(shè)每個電壓表上通過的電流依次為I1、I2、…In，

各電壓表示數(shù)之和U總=I1RV+I2RV+…+InRV=（I1+I2+…+In）RV=15×10-3A×3000Ω=45V。

（作者單位：安徽省蕪湖縣實驗學(xué)校）endprint