淺議初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)

胡均輝

由于所學(xué)知識的局限性，初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中在某些地方存在著思維弱點。主要有：第一，思維呆板。主要體現(xiàn)在思維狀態(tài)不活躍，思維領(lǐng)域狹小，不能從多個角度去思考問題，即不能做到舉一反三。第二，思維邏輯性差。這體現(xiàn)在做題時推理能力弱。第三，思維獨創(chuàng)性差。這主要表現(xiàn)在缺乏獨立思考和分析問題的能力。在這些思維弱點的影響下，往往會形成單一的思維定式。

思維的可逆性，指的是心理過程中思維方向的改變，即從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維。正向思維與逆向思維路徑互為相反，但這種可逆聯(lián)想思維往往產(chǎn)生科學(xué)發(fā)明。如，法拉第由電流的磁效應(yīng)聯(lián)想到磁也能生電，而發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)定律；愛迪生運用逆向思維從電話中感覺到聲音，而發(fā)明了留聲機。這些無不體現(xiàn)出善于運用逆向思維的重要性。

逆向思維廣泛存在于數(shù)學(xué)教學(xué)中，它是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題的重要思維方法之一。如，互逆運算，互逆定理，公式和法則的逆向運用，綜合法與分析法，反證法等。要使學(xué)生真正掌握初中數(shù)學(xué)知識，克服上述思維弱點，重視思維的可逆性培養(yǎng)和訓(xùn)練有著十分重要的作用。以下是我對如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維所提出的幾點想法。

一、打基礎(chǔ)，注意開發(fā)學(xué)生逆向思維方面的智力

首先，要使學(xué)生產(chǎn)生逆向思維能力，在早期的數(shù)學(xué)教育中就應(yīng)對其進行逆向思維的滲透與培養(yǎng)。在教學(xué)時由淺入深，學(xué)習(xí)了課本中大量的概念、定理、公式、法則后，利用其中知識，從反面或另一角度來進行分析，以增強學(xué)生對已學(xué)知識的理解，從而使逆向思維潛移默化地影響著學(xué)生的思考。比如，在講有理數(shù)時，我們可以用如下一組具有逆向思維的題目來循序漸進地對學(xué)生進行初步培養(yǎng)：

a、b互為相反數(shù)？圳a+b=（ ）；a、b互為倒數(shù)？圳ab=（ ）

|a|=a？圳a是______數(shù)；|a|=-a？圳a是______數(shù)；

a>b？圳在數(shù)軸上表示a在b_______邊；ab>0？圳a、b是_______號（填“同”還是“異”）；

ab=0？圳a、b中至少有一個為_______；a（b+c）=ab+ac？圳ab+ac=a（b+c）……

這樣既能使學(xué)生更好地掌握有理數(shù)有關(guān)概念及性質(zhì)，又對學(xué)生進行了互逆思維的滲透。

二、強訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維能力

逆向思維能力的提高是需要以一定的思維經(jīng)驗和推理能力作基礎(chǔ)的，只有通過不斷的、長期的訓(xùn)練，才能逐步提高。

數(shù)學(xué)中有很多法則。比如，=×（a≥0，b≥0），=|a|，（ab）n=an×bn，=（a≥0，b>0），±=等，逆向運用可得×=（a≥0，b≥0），|a|=，an×bn=（ab）n，=（a≥0，b>0），=±等，初看起來平淡無奇，但在有些具體運算中可表現(xiàn)得十分活躍。

例1 計算82008×2007

分析：若按順序先乘方后乘，顯然這計算量很大且易做錯，若運用an×bn=（ab）n則較易解。

解：82008×2007=8×82007×2007=8×8×2007=8×1=8

例2 計算：++++…+

分析：若按常規(guī)就是先通分再相加，顯然運算量很大。觀察本題，每個分數(shù)中的分母的兩個因數(shù)之差剛好都是1，我們可有意識地引導(dǎo)學(xué)生把原有知識±=逆向運用，則可得=±，這就可把每個分數(shù)化為兩個分數(shù)之差，如=1-。

解：原式=1-+-+-+-+…+-=1-=

在講解數(shù)學(xué)中某些公式的正向運用時，還要研究這些公式的逆向運用。運用逆用公式，是培養(yǎng)和提高學(xué)生通過逆向思維解題能力的重要過程，雖然學(xué)生剛開始或許不適應(yīng)由反向正的逆向解題方法，但是逆用公式可以增強學(xué)生對公式的理解程度，更能開發(fā)學(xué)生的智力，并對公式進行各種變形，從而產(chǎn)生不同形式的新公式，這將大大豐富它的內(nèi)容，增強學(xué)生對公式思維的靈活性。如，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，反過來就是a2±2ab+b2=（a±b）2，這是多項式的因式分解。這里的a、b可以是單項式也可以是多項式，再進一步可得：a2+b2=（a±b）2？芎2ab，以及（a-b）2=（a+b）2-4ab等。

例3 已知：x+y=5，xy=2，求x2+y2和（x-y）2的值。

分析：本題若先利用x+y=5，xy=2，解出x、y，再代入式子求值，則解方程組較麻煩，但我們用公式a2+b2=（a+b）2-2ab和（a-b）2=（a+b）2-4ab顯然問題就簡單多了。

解：x2+y2=（x+y）2-2xy=52-2×2=21

（x-y）2=（x+y）2-4xy=52-4×2=17

例4 已知：x+=4，求x-的值。

分析：本例若先由x+=4解出x，再代入x-求出值，顯然較煩瑣。若利用恒等式（a-b）2=（a+b）2-4ab，可求得x-2的值，再逆用公式=|a|問題便可得解。

解：∵x-====2

∴x-=±2

通過逆向思維解題讓學(xué)生能夠更加理解各種公式及其變形，使學(xué)生在解題時，可以依據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征、表示形式、數(shù)量關(guān)系等信息，及時調(diào)動有關(guān)公式及其變形來尋求解題路徑。

三、重實踐，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、獨創(chuàng)性

初中生的數(shù)學(xué)逆向思維能力要靠高強度的訓(xùn)練，才能夠有效地提高。在掌握了正確的逆向思維的基礎(chǔ)上，通過大量的實踐，才能使學(xué)生的逆向思維能力得到提高。

例5 已知△ABC中，AB=AC，D是線段AB延長線上一點，且AB=BD，CE是腰AB上中線，求證：CD=2CE。

分析：本題若直接從已知出發(fā)考慮證法則顯然較難，我們可從所要證的結(jié)論出發(fā)考慮問題。欲證CD=2CE，常有兩種思想方法：（1）證一線段等于2CE，再證這一線段等于CD；（2）要證CD=2CE，只要證CD=CE，即證一線段是CD的一半，再證這一線段等于CE。輔助線可如下添法：endprint

（1）延長CE至EF，使FC=EC，即FC=2CE，聯(lián)結(jié)AF、BF，再證CF=CD，只要證△FBC≌△DBC。

（2）∵E是線段AB中點，作BF∥AC交AC延長線于F，則EC是△ABF的中位線，這樣BF=2EC，再證BF=DC，只要證△ADC≌△AFB。

（3）∵E是線段AB中點，也可作AF∥EC交BC延長線于F，∴EC是△ABF的中位線，則AF=2EC，再證AF=CD，只要證△ACF≌△CBD。

（4）∵B是AD中點，∴過B作BF∥DC交AC于F，則BF是△ADC的中位線，則BF=CD，再證CE=BF，只要證△AEC≌△AFB。

以某一問題為開端，根據(jù)教學(xué)的需要和學(xué)生所掌握的知識逐漸向縱向和橫向擴展，由簡到繁，由順到逆，經(jīng)過一定的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷向深處發(fā)展，向廣處聯(lián)想，舉一反三，學(xué)生既能夠獲取靈活的思考方法，又掌握了解題的一般規(guī)律，其所學(xué)知識能夠融會貫通，繼而提高了思維的靈活性。

例6 已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h。

（1）若點P在一邊BC上，如圖1，此時h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請說明理由。

（2）請你探索：當點p在△ABC內(nèi)如圖2時h1，h2，h3與h之間有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，并簡要說明理由。

（3）請你探索：當點p在△ABC外如圖3時，h1，h2，h3與h之間有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，并簡要說明理由。

分析：（1）題要證h1+h2+h3=h，而此時h=0，所以只要證h+h=h。本題若用常規(guī)截長補短法來解，困難就很大。觀察本題h1、h2、h分別是各邊上的高，由此想到突破常規(guī)思維，連接AP，用等積法來解該題就既捷又優(yōu)。按此思路（2）題、（3）題也就迎刃而解了。

解：（1）理由如下：連接PA

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，AB=AC=BC

∴BC×h=AB×h1+AC×h2

∴h=h1+h2，又∵h3=0，∴h1+h2+h3=h

（2）猜想：h=h1+h2+h3

理由如下：連接PA、PB、PC

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP

∴BC×h=AB×h1+AC×h2+BC×h3，又AB=AC=BC

∴h=h1+h2+h3

（3）猜想：h1+h2=h+h3

理由如下：連接PA、PB、PC

∵S△ABP+S△ACP=S△ABC+S△BCP

∴AB×h1+AC×h2=BC×h+BC×h3，又AB=AC=BC

∴h1+h2=h+h3

初中數(shù)學(xué)中，如果單純地運用正向思維來解決問題往往會存在著許多困難。當學(xué)生把正向思維突變?yōu)槟嫦蛩季S或突破常規(guī)思維后，就會豁然出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的美景，這就是逆向思維的妙處！

學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的強弱直接影響到對問題獨立思考的能力，思維的發(fā)展和提高要靠持之以恒地培養(yǎng)，長期不懈地錘煉?？傊跀?shù)學(xué)教育中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，打破定向思維，越出固定的軌跡，這樣，不僅能激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能增強學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解程度，提高學(xué)生的解題技能，開拓解題思路。

參考文獻：

1.葉堅.思維的可逆性和數(shù)學(xué)教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究與實踐，中國農(nóng)業(yè)出版社，1998.7.

2.楊玉環(huán).初中數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng).上海教育，1999.7.

3.王烈.在公式中設(shè)法提高學(xué)生的思維能力.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2004.9.

（作者單位：浙江省縉云縣新碧學(xué)校）endprint