半?yún)?shù)模型在區(qū)域地磁場(chǎng)建模中的應(yīng)用

郭云飛，汪金花，吳兵，陳曉停

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

半?yún)?shù)模型在區(qū)域地磁場(chǎng)建模中的應(yīng)用

郭云飛，汪金花，吳兵，陳曉停

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

半?yún)?shù)模型；多項(xiàng)式擬合；區(qū)域地磁場(chǎng)建模

地磁場(chǎng)本身及環(huán)境影響使測(cè)量數(shù)據(jù)存在著各種誤差，為了更好地實(shí)現(xiàn)區(qū)域地磁場(chǎng)建模，在多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上添加一個(gè)非參數(shù)分量構(gòu)成半?yún)?shù)回歸模型，并且將半?yún)?shù)回歸模型與原有的多項(xiàng)式擬合模型的擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，半?yún)?shù)回歸模型避開(kāi)參數(shù)模型的局限性的同時(shí)也填補(bǔ)了無(wú)參數(shù)模型的缺點(diǎn)，在區(qū)域地磁場(chǎng)建模中可以達(dá)到更好的擬合效果，所構(gòu)建的區(qū)域地磁場(chǎng)模型也更加貼近客觀(guān)實(shí)際。

地磁由于其獨(dú)有的特點(diǎn)引起了國(guó)內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)和學(xué)者的關(guān)注，而利用地磁進(jìn)行定位和導(dǎo)航的一項(xiàng)基礎(chǔ)工作是地磁基準(zhǔn)圖的制備，因此如何構(gòu)建地磁模型非常關(guān)鍵。常見(jiàn)的區(qū)域地磁建模方法有: 冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、樣條以及簡(jiǎn)諧樣條函數(shù)、本征函數(shù)、多項(xiàng)式擬合、矩諧分析(RHA)和球冠諧分析等方法(SCHA)。其中，李明明等人研究了基于矩諧分析的高精度局部地磁場(chǎng)建模[1]；寇義民等人用線(xiàn)性平面擬合的方法擬合出磁場(chǎng)曲面[2]；寧新穩(wěn)等在海磁研究中運(yùn)用了多項(xiàng)式擬合模型[3]；楊云濤等分析了泰勒多項(xiàng)式在區(qū)域地磁建模中的應(yīng)用[4]。地磁建模中運(yùn)用多項(xiàng)式模型進(jìn)行擬合的方法最為廣泛。

雖然多項(xiàng)式擬合的建模方法簡(jiǎn)單易行，計(jì)算地磁場(chǎng)諸要素也很方便快捷，但是地磁測(cè)量過(guò)程中因?yàn)閮x器、地磁本身以及外界因素等影響，不僅存在偶然誤差和粗差，而且還有系統(tǒng)誤差。多項(xiàng)式擬合模型因忽略了觀(guān)測(cè)過(guò)程中這一系列的影響因子，得到的結(jié)果也會(huì)對(duì)參數(shù)估計(jì)造成很大影響。而半?yún)?shù)模型既包括了參數(shù)分量又包括了非參數(shù)分量，不但能解決參數(shù)模型和無(wú)參數(shù)模型難以解決的問(wèn)題，使得模型的適用性得到了提高，而且它還填補(bǔ)了無(wú)參數(shù)模型中信息損失過(guò)多的問(wèn)題，所以它描述的實(shí)際問(wèn)題更加接近實(shí)際情況，能夠更加充分利用數(shù)據(jù)本身所提供的信息，提高了實(shí)際問(wèn)題的精度，因此具有比較高的精確度。

1 地磁擬合理論基礎(chǔ)

地磁導(dǎo)航由于具有無(wú)輻射、抗干擾、可提供全天候、全地域?qū)Ш降葍?yōu)點(diǎn)而被開(kāi)發(fā)應(yīng)用，利用地磁進(jìn)行導(dǎo)航的一項(xiàng)基礎(chǔ)工作是地磁基準(zhǔn)圖的制備，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定導(dǎo)航定位的關(guān)鍵在于高精度的地磁基準(zhǔn)圖的制備。因?yàn)榱罱^大多數(shù)已有的地磁導(dǎo)航方法陷入困境的是地磁場(chǎng)隨空間變化平緩的特性，所以提出了用線(xiàn)性平面來(lái)擬合磁場(chǎng)曲面，然后求解線(xiàn)性方程組，最后求得地磁場(chǎng)測(cè)量點(diǎn)的位置估計(jì)區(qū)域。常見(jiàn)的局部區(qū)域擬合磁場(chǎng)曲面有2類(lèi)，第1類(lèi)是冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、樣條和簡(jiǎn)諧樣條函數(shù)、多項(xiàng)式擬合等純數(shù)值模型的方法，這些方法會(huì)忽略其物理上的合理性而只考慮了模型對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合的近似程度；第2類(lèi)是矩諧分析和球冠諧分析等基于磁位理論的數(shù)學(xué)模型，雖然符合了物理上無(wú)源性質(zhì)，但是它們?cè)跀?shù)值上的偏差比較大。

因?yàn)樽畛Ｒ?jiàn)的多項(xiàng)式擬合方法無(wú)法考慮到實(shí)際測(cè)量中系統(tǒng)誤差等復(fù)雜情況，所以多項(xiàng)式擬合并不能完全滿(mǎn)足需要，因此在多項(xiàng)式擬合的基礎(chǔ)上加入非參數(shù)分量來(lái)構(gòu)造半?yún)?shù)回歸函數(shù)模型，可在數(shù)值偏差小的基礎(chǔ)上同時(shí)滿(mǎn)足接近實(shí)際情況的要求。

2 半?yún)?shù)回歸數(shù)學(xué)模型及實(shí)驗(yàn)

2.1 半?yún)?shù)回歸模型

因?yàn)榘雲(yún)?shù)回歸模型是在線(xiàn)性的參數(shù)模型基礎(chǔ)上加入了非參數(shù)的量，所以需要運(yùn)用補(bǔ)償?shù)淖钚《嗽慝@得唯一解。在這個(gè)模型中，模型誤差的形態(tài)比較復(fù)雜，沒(méi)有辦法用少量的參數(shù)來(lái)表示，所以在每一個(gè)觀(guān)測(cè)方程上都添加了一個(gè)待定的量，就是非參數(shù)分量。半?yún)?shù)回歸模型通常用L=BX+S+Δ表示，它的誤差方程表示為：V=Bx+S-l。在這個(gè)式子中Δ是n維觀(guān)測(cè)誤差向量；B為列滿(mǎn)秩設(shè)計(jì)矩陣；觀(guān)測(cè)量L表示的是關(guān)于非參數(shù)S與未知參數(shù)X與的函數(shù)，X和S都是待估的未知數(shù)。

在地磁擬合過(guò)程中首先構(gòu)造一個(gè)二次多項(xiàng)式模型，在其基礎(chǔ)上加入非參數(shù)分量S，最后將觀(guān)測(cè)的數(shù)據(jù)代入到函數(shù)模型中。

zi+vi=b0+b1xi+b2yi+b3xi2+b4yi2+b5xiyi+Si(i=1,2…,n)

(1)

式(1)中Zi表示點(diǎn)的地磁觀(guān)測(cè)值，xi、yi是點(diǎn)的相對(duì)地理坐標(biāo),b0、b1、b2、b3、b4、b5為多項(xiàng)式的待定系數(shù)，描述模型誤差的n維的未知向量用Si表示，隨機(jī)誤差用vi表示，。

誤差方程

vi=b0+b1xi+b2yi+b3xi2+b4yi2+b5xiyi+Si-zi

(2)

其中：

式(2)的誤差方程中的待定參數(shù)個(gè)數(shù)大于誤差方程的個(gè)數(shù)，不可能得到唯一解。因此，結(jié)合實(shí)際測(cè)量選擇最小二乘補(bǔ)償原理，在誤差方程的基礎(chǔ)上附加最優(yōu)化準(zhǔn)則：

(3)

其中：

半?yún)?shù)回歸模型它的關(guān)鍵在于正則矩陣R以及平滑因子α的選擇。

R的選擇與具體問(wèn)題有關(guān)。常見(jiàn)的有用自然樣條光滑方法確定、用時(shí)間序列的特性來(lái)確定、用觀(guān)測(cè)量值之間的某種距離來(lái)確定、根據(jù)先驗(yàn)方差的特性來(lái)確定、通過(guò)非參數(shù)分量判定得到正則矩陣[6]。

在極小化的過(guò)程中平滑因子α起到了對(duì)V和S的平衡作用，平滑因子的選擇常見(jiàn)方法有信噪比法、效率法、控制法、L-曲線(xiàn)法、交叉核實(shí)法和廣義交叉核實(shí)法(GCV)等[7]，其中比較好的方法是L-曲線(xiàn)法。L-曲線(xiàn)法是依據(jù)V和S構(gòu)造出來(lái)2個(gè)用α為自變量的加權(quán)范數(shù)SN(α)、VN(α)，其中：

根據(jù)不同的α得到不同的SN(α)、VN(α)。用VN作為縱坐標(biāo)、SN作為橫坐標(biāo)畫(huà)圖，能夠獲得很多點(diǎn)SN(α)、VN(α)，把這些點(diǎn)擬合出一條新的曲線(xiàn)。這條曲線(xiàn)形似“L”，用這條曲線(xiàn)來(lái)選擇出平滑因子的辦法叫做L-曲線(xiàn)法，并且采用最短距離的方法確定出平滑因子α。

2.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證半?yún)?shù)估計(jì)模型能夠使數(shù)學(xué)模型與客觀(guān)實(shí)際更為接近，實(shí)現(xiàn)更加充分利用觀(guān)測(cè)所提供信息的功能,實(shí)驗(yàn)選取了唐山市某地的地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，在二次多項(xiàng)式擬合模型的基礎(chǔ)上加入非參數(shù)分量并且將其與原模型進(jìn)行比較來(lái)論證半?yún)?shù)估計(jì)模型的實(shí)用性。

2.2.1數(shù)據(jù)介紹

研究區(qū)位于唐山市某空曠地區(qū)道路，路下無(wú)管線(xiàn)且車(chē)流量稀少，長(zhǎng)約為118 m寬約為4 m的區(qū)域進(jìn)行布點(diǎn)測(cè)量。基本上是按照橫向間隔為2 m、縱向間隔為6 m進(jìn)行等間距測(cè)量來(lái)獲取點(diǎn)位的地磁數(shù)據(jù)，共得到66個(gè)點(diǎn)位的相對(duì)地理坐標(biāo)及其地磁總量。測(cè)區(qū)內(nèi)布設(shè)的控制點(diǎn)分布均勻，為了檢測(cè)模型的精度在測(cè)區(qū)內(nèi)選取5個(gè)點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)測(cè)量它們的相對(duì)地理坐標(biāo)以及地磁場(chǎng)并進(jìn)行記錄。檢驗(yàn)點(diǎn)常常不參與模型的建立，樣本點(diǎn)參與模型的建立。由于采集的地磁總場(chǎng)與相對(duì)地理坐標(biāo)數(shù)量級(jí)相差較大，需將采集的樣本數(shù)據(jù)以及檢驗(yàn)數(shù)據(jù)全部進(jìn)行歸一化處理，其中部分處理后的數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 部分處理后的數(shù)據(jù)

把預(yù)處理后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到matlab軟件，構(gòu)建多項(xiàng)式擬合模型，并且根據(jù)要求設(shè)定合適的正則矩陣以及平滑因子來(lái)實(shí)現(xiàn)加入半?yún)?shù)分量后的半?yún)?shù)模型。

2.2.2擬合過(guò)程

在最小二乘準(zhǔn)則下用二次多項(xiàng)式進(jìn)行地磁與其相對(duì)地理坐標(biāo)進(jìn)行擬合得到參數(shù)B。在二次多項(xiàng)式擬合基礎(chǔ)上加入非參數(shù)的分量S構(gòu)建出半?yún)?shù)模型，文中認(rèn)為相鄰觀(guān)測(cè)誤差模型差別不大，所以選取時(shí)間序列法中的相鄰觀(guān)測(cè)點(diǎn)的模型誤差的平方和來(lái)確定正則矩陣R，R=GTG其中：

用L-曲線(xiàn)法繪制出平滑因子α的圖像如圖1所示：

圖1 L-曲線(xiàn)圖

由圖1判斷最終可以選取最優(yōu)點(diǎn)α=0.84。

將得到的半?yún)?shù)模型中的參數(shù)β及非參數(shù)分量S用matlab計(jì)算其最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則下的多項(xiàng)式擬合以及含非參數(shù)分量的半?yún)?shù)回歸模型下得到的地磁擬合模型的殘差ei(i=1,2)、均方誤差MSE、中誤差δ以及模型誤差如表2和表3所示。

表2 擬合殘差對(duì)比表

表3 擬合誤差對(duì)比

根據(jù)表2和表3可知，由于多項(xiàng)式擬合的中誤差、均方誤差以及模型誤差均大于半?yún)?shù)回歸模型，所以半?yún)?shù)模型得到的地磁擬合精度更高，其平差效果較好。將樣本點(diǎn)以及檢驗(yàn)點(diǎn)分別代入多項(xiàng)式和半?yún)?shù)回歸模型中可得到殘差。通過(guò)對(duì)比可知，無(wú)論是樣本點(diǎn)還是檢驗(yàn)點(diǎn)半?yún)?shù)回歸模型的殘差值大部分小于多項(xiàng)式模型?？傊?yún)?shù)回歸模型擬合效果更好。

根據(jù)得到的參數(shù)，其二次多項(xiàng)式擬合的方程為：

(1)

半?yún)?shù)回歸模型的擬合方程為：

(2)

3 分析與討論

將原始的地磁數(shù)據(jù)、多項(xiàng)式擬合后的地磁數(shù)據(jù)、半?yún)?shù)回歸模型下的地磁數(shù)據(jù)用matlab進(jìn)行繪圖，其擬合效果圖如圖2所示。

(a) 樣本散點(diǎn)圖

(b) 多項(xiàng)式擬合效果圖

(c) 半?yún)?shù)擬合效果圖

由圖2的3幅圖可知，與多項(xiàng)式擬合相比較，半?yún)?shù)回歸模型的擬合效果更佳，更加接近真實(shí)效果，可更好地描述該區(qū)域的屬性信息。

綜合各項(xiàng)指標(biāo)的對(duì)比結(jié)果可知，半?yún)?shù)回歸模型不僅更加貼近于客觀(guān)實(shí)際，無(wú)需事先確定模型誤差量與觀(guān)測(cè)量之間的函數(shù)形式，并且增加的非參數(shù)分量無(wú)需通過(guò)增加額外的控制點(diǎn)來(lái)求解。半?yún)?shù)回歸模型既能夠在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中盡可能的用實(shí)驗(yàn)分析得到結(jié)論，又可以不排除參數(shù)模型本身可能存在的系統(tǒng)性偏差，具有極強(qiáng)的解釋能力。但是，半?yún)?shù)模型建立的關(guān)鍵點(diǎn)是怎樣選擇最為合適的R和α；誤差補(bǔ)償模型的確定和選擇存在一定的困難；系統(tǒng)誤差補(bǔ)償參數(shù)的精確解算依賴(lài)于足夠數(shù)量、分布合理的地面控制點(diǎn)。

4 結(jié)論

半?yún)?shù)模型已被廣泛運(yùn)用于系統(tǒng)誤差、模型誤差和某些不宜歸在偶然誤差中，但又明顯對(duì)模型有影響的未知因素等數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域。通過(guò)建立半?yún)?shù)回歸模型處理復(fù)雜環(huán)境的測(cè)量問(wèn)題，得到的擬合精度更高，擬合效果更好。尤其是文中對(duì)于區(qū)域地磁場(chǎng)建模過(guò)程中半?yún)?shù)模型相較于原有的二次多項(xiàng)式擬合效果更貼近客觀(guān)實(shí)際。但半?yún)?shù)回歸模型也存在邊界效應(yīng)、模型的參數(shù)部分如何選擇并沒(méi)有固定標(biāo)準(zhǔn)，所以其精度仍有一個(gè)可以提升的空間。

[1] 李明明，黃顯林，盧鴻謙，等.基于矩諧分析的高精度局部地磁場(chǎng)建模研究[J].宇航學(xué)報(bào).2010,31(07):1 730-1 736.

[2] 寇義民，溫奇詠，王常虹，等.一種基于地磁場(chǎng)曲面線(xiàn)性化擬合的快速導(dǎo)航定位方法[J]. 宇航學(xué)報(bào),2009,30(02):497-502+590.

[3] 寧新穩(wěn)，劉岳峰，徐遵義，等.基于多項(xiàng)式擬合模型的實(shí)測(cè)海磁數(shù)據(jù)平差處理[J].中國(guó)知網(wǎng)：地球物理學(xué)進(jìn)展，2011,26(01):157-161.

[4] 楊云濤，石志勇，呂建剛，等.適于地磁導(dǎo)航的高精度區(qū)域地磁場(chǎng)建模研究[J].中國(guó)知網(wǎng)：兵工學(xué)報(bào)，2009,30(03):380-384.

[5] 邱衛(wèi)寧，陶本藻，姚宜斌，等.測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論與方法[M].武漢：武漢大學(xué)出版社.

[6] 孫海燕，吳云.半?yún)?shù)回歸與模型精化[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版),2002,(02):172-174+207.

[7] 胡宏昌，孫海燕.正規(guī)矩陣R及平滑因子α的選取[J].中國(guó)知網(wǎng)：測(cè)繪工程.2003,(04):5-8.

ApplicationofSemi-parametricModelinRegionalGeomagneticFieldModeling

GUO Yun-fei, WANG Jin-hua, WU Bing, CHEN Xiao-ting

(College of Mining Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063210, China)

semi-parametric model; polynomial fitting; regional geomagnetic field modeling

There are various errors in the measurement data due to the influences of the geomagnetic field and the environment. In order to realize the regional geomagnetic field modeling better, a nonparametric component was added to form a semi-parametric regression model on the basis of the polynomial, and the semi-parametric regression model was compared with the original model. The results show that the semi-parametric regression model, avoids the limitations of the parametric model and also fills up the shortcomings of the nonparametric model, and that it can achieve a better effect in the geomagnetic field modeling. The magnetic field model constructed by the semi-parametric regression model is also more close to the objective reality.

2095-2716(2017)04-0001-06

2017-04-18

2017-09-18

P224.3

A