機(jī)器人與激光跟蹤儀的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法研究

劉湛基，王 晗，陳 桪，夏遠(yuǎn)祥，杜澤峰，李沅時(shí)，林家平

（廣東工業(yè)大學(xué)，廣東 廣州 510006）

機(jī)器人與激光跟蹤儀的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法研究

劉湛基，王 晗，陳 桪，夏遠(yuǎn)祥，杜澤峰，李沅時(shí)，林家平

（廣東工業(yè)大學(xué)，廣東 廣州 510006）

激光跟蹤儀對(duì)工業(yè)機(jī)器人的末端位姿進(jìn)行絕對(duì)定位精度標(biāo)定時(shí)，需要把測(cè)量坐標(biāo)系和機(jī)器人坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)系下，坐標(biāo)值的比較才有意義。因?yàn)闄C(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型誤差的存在，使得機(jī)器人坐標(biāo)系下的點(diǎn)不能遵循著唯一確定的變換關(guān)系變換到測(cè)量坐標(biāo)系，所以坐標(biāo)系的變換精度不高。在建立齊次變換形式的變換模型之后，通過(guò)分析坐標(biāo)系變換過(guò)程中的誤差來(lái)源，提出結(jié)合最小二乘法的RANSAC快速轉(zhuǎn)換算法。從測(cè)量樣點(diǎn)中隨機(jī)選擇一定量的樣點(diǎn)擬合變換模型，在獲得多個(gè)變換模型之后，利用評(píng)判模型選擇最優(yōu)模型。結(jié)果表明：相比于常規(guī)的求解方法，機(jī)器人和激光跟蹤儀的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度提高3倍。RANSAC算法能有效地降低機(jī)器人模型誤差對(duì)求解變換關(guān)系的影響，并且實(shí)驗(yàn)過(guò)程快速、操作簡(jiǎn)單。

機(jī)器人；坐標(biāo)變換；RANSAC算法；激光跟蹤儀

0 引 言

工業(yè)機(jī)器人的連桿幾何參數(shù)誤差和隨機(jī)誤差影響其絕對(duì)定位精度[1-5]。通過(guò)借助具有高測(cè)量精度的激光跟蹤儀實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人絕對(duì)定位精度的測(cè)量[6]。在實(shí)際應(yīng)用中，往往最后的數(shù)據(jù)處理部分，需要把機(jī)器人控制器反饋獲得的數(shù)據(jù)和激光跟蹤儀獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比、運(yùn)算等操作。而進(jìn)行以上操作的關(guān)鍵步驟是兩者的數(shù)據(jù)需要在同一個(gè)坐標(biāo)系下，所以，獲取機(jī)器人坐標(biāo)系和激光跟蹤儀坐標(biāo)系的變換關(guān)系至關(guān)重要。獲得兩者坐標(biāo)系變換關(guān)系主流方法大概有3種[7-9]，第1種是通過(guò)標(biāo)定板，分別求取標(biāo)定板和機(jī)器人的關(guān)系、標(biāo)定板與激光跟蹤儀的關(guān)系，從而求得機(jī)器人與激光跟蹤儀的關(guān)系；第2種是使用點(diǎn)云測(cè)量方法利用大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出所有的變換模型參數(shù)；第3種是通過(guò)分別控制機(jī)器人做3次單軸運(yùn)動(dòng)，分別求得變換的模型的旋轉(zhuǎn)量和移動(dòng)量。第1種方法，求得的變換關(guān)系相對(duì)于后兩種方法較準(zhǔn)確，因?yàn)槠浞椒ū荛_了測(cè)量對(duì)象的運(yùn)動(dòng)模型誤差的影響，但同時(shí)對(duì)標(biāo)定板的要求較高而且操作較為不便，對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程的操作要求較高。后兩種方法操作簡(jiǎn)單快捷，測(cè)量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性受限于機(jī)器人本身的誤差，這樣數(shù)據(jù)樣本會(huì)對(duì)求取的變換模型帶入較大的誤差[10-12]。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種基于RANSAC算法的機(jī)器人坐標(biāo)系與激光跟蹤儀坐標(biāo)系的快速準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)換方法。該法只需要控制機(jī)器人在工作空間中測(cè)量適量的采樣點(diǎn)，即可快速準(zhǔn)確地計(jì)算出機(jī)器人與激光跟蹤儀的變換關(guān)系，具有操作簡(jiǎn)單快捷、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)。

1 坐標(biāo)系變換模型建立方法

1.1 變換模型構(gòu)建原理

假設(shè)任意一空間點(diǎn)p在機(jī)器人基坐標(biāo)系下的描述為Pr，在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的描述為Pt，在忽略姿態(tài)的情況下，由空間幾何變換可得如下的變換關(guān)系：

式中：R——旋轉(zhuǎn)矩陣；

T——平移矩陣。

把式（1）中的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣合并表示成齊次矩陣的形式：

展開有：

觀察上述3個(gè)方程，每個(gè)方程有4個(gè)未知數(shù)。單獨(dú)4個(gè)未知數(shù)，至少需要4組數(shù)據(jù)。綜合所得，求解此擁有12個(gè)未知數(shù)的模型至少需要4組實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)據(jù)。

1.2 模型參數(shù)求解方式建立

在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程中，為了提高求解的精度和擴(kuò)大模型的適用范圍，利用大量的數(shù)據(jù)去擬合模型，這就使得式（3）成為了超定方程組。當(dāng)所得的數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確時(shí)，可擬合出逼近客觀存在的變換模型，擬合的原則是要求擬合模型都適用于這些數(shù)據(jù)點(diǎn)。但往往測(cè)量數(shù)據(jù)含有不可避免的誤差，當(dāng)無(wú)法同時(shí)滿足某一確定的模型，則按誤差最小的原則，使得逼近模型最優(yōu)地靠近樣點(diǎn)，逼近模型最可信賴的結(jié)果應(yīng)在測(cè)量誤差殘差的平方和最小的條件下得到。

把式（4）改寫并簡(jiǎn)寫成AX=B：

其中，i=1，2，3，…，n；n=4，5，6，…。

當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)量n=4時(shí)，式（5）為適定方程組，能擬合出一個(gè)變換模型。當(dāng)n＞4時(shí)，式（5）成為超定方程組。為使擬合出來(lái)的變換模型最優(yōu)地靠近測(cè)量點(diǎn)，變換模型的殘差盡可能的小，利用最小二乘法對(duì)式（5）進(jìn)行求解。由最小二乘法求解原理可知：

在矩陣運(yùn)算的過(guò)程中，列向量[nxoxaxTx]T、[nyoy ayTy]T和[nzozazTz]T的解相互獨(dú)立，在不考慮過(guò)擬合的情況下，選取的測(cè)試點(diǎn)數(shù)量不同，或同一數(shù)量但不同組合的測(cè)試點(diǎn)都會(huì)求出不同的解。事實(shí)上，由于旋轉(zhuǎn)矩陣R為正交矩陣，即：

使得上述3個(gè)向量的解存在相互約束的關(guān)系，因此可以根據(jù)式（7）篩選出最符合式（6）的解，從而提高解的精度。

1.3 模型理論誤差分析

工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)精度主要由其控制器中的運(yùn)動(dòng)模型的準(zhǔn)確性決定。但由于客觀原因，機(jī)器人控制器中的模型不可能和實(shí)際的模型完全相同。其中機(jī)器人各連桿的幾何參數(shù)誤差是造成機(jī)器人定位誤差的主要因素，主要是由于制造和安裝過(guò)程中產(chǎn)生的連桿實(shí)際幾何參數(shù)與理論值之間的偏差造成了系統(tǒng)誤差。除此之外，其他的因素還包括環(huán)境、負(fù)載等隨機(jī)誤差?；谏鲜鲈?，機(jī)器人規(guī)劃點(diǎn)并不是遵循著唯一的規(guī)律通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)映射到實(shí)際工作空間中，所以激光跟蹤儀所測(cè)到的點(diǎn)也不是遵循著唯一的變換。其變換關(guān)系如圖1所示。

圖1 變換關(guān)系

運(yùn)用最小二乘法求出的解Ft，實(shí)際是在映射集合{ft1，ft2，…}上擬合出誤差最小的映射。所以，每一個(gè)映射fti都會(huì)對(duì)最終的求解造成相同的影響。映射關(guān)系fti由一定數(shù)量的測(cè)試點(diǎn)集合解得。正如上文所述，由于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)存在誤差，某些測(cè)量點(diǎn)會(huì)存在較大的誤差。若不把這些誤差較大的測(cè)量點(diǎn)從采樣數(shù)據(jù)中剔除，勢(shì)必會(huì)求解得出一個(gè)只適用于求解點(diǎn)集的映射關(guān)系，對(duì)于全局的數(shù)據(jù)變換會(huì)得出很大的誤差?；谶@一問(wèn)題，本文提出了結(jié)合RANSAC的求解方法。

2 模型參數(shù)求解優(yōu)化

Fischler和Bolles于1981年提出了隨機(jī)抽樣一致性（random sample consensus，RANSAC）[13-14]算法，該算法是從一組包含異常值的觀測(cè)數(shù)據(jù)集中估計(jì)其數(shù)學(xué)模型參數(shù)的迭代方法。RANSAC是一種不確定的算法，因此從某種意義上說(shuō)，它只有一定的概率得到一個(gè)合理的結(jié)果。為了增加這種可能性，應(yīng)適當(dāng)增加迭代次數(shù)。RANSAC的思想是利用迭代的方式隨機(jī)選出一組數(shù)據(jù)擬合出模型，為了使該模型能夠最優(yōu)地解釋或者適用于這些數(shù)據(jù)，利用此模型去測(cè)試測(cè)量數(shù)據(jù)，篩選出符合模型的最佳點(diǎn)集（局內(nèi)點(diǎn)），同時(shí)去除錯(cuò)誤點(diǎn)以及誤差較大點(diǎn)（局外點(diǎn)），得到正確的測(cè)量結(jié)果，從而大大提高了測(cè)量的可靠性和測(cè)量準(zhǔn)確度。其算法流程如圖2所示。

圖2 RANSAC算法流程圖

利用最小二乘法求解機(jī)器人坐標(biāo)系和激光跟蹤儀坐標(biāo)系的變換關(guān)系最少需要4個(gè)點(diǎn)，因此隨機(jī)從數(shù)據(jù)樣點(diǎn)中取N個(gè)點(diǎn)pn作為模型點(diǎn)集合M，其中N≥4，然后對(duì)變換模型進(jìn)行參數(shù)求解。求出變換關(guān)系f后，需要判斷模型是否正確。分別從機(jī)器人坐標(biāo)系點(diǎn)集B、激光跟蹤儀坐標(biāo)系點(diǎn)集T剔除前面已經(jīng)選出的N個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)，得到集合Bc={p|p∈CBM}、Tc={p|p∈CTM}。根據(jù)變換關(guān)系有Bc→fA。假設(shè)內(nèi)點(diǎn)的判斷模型為

其中pA∈A，pTc∈Tc，i=1，2，…。

若Δ小于設(shè)定的閾值limit，則認(rèn)為此點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn),歸于點(diǎn)集I。統(tǒng)計(jì)內(nèi)點(diǎn)集的點(diǎn)數(shù)total，若大于設(shè)計(jì)的閾值total，則認(rèn)為此次求得的變換模型為合適的。根據(jù)迭代的求解過(guò)程可知，有可能會(huì)計(jì)算出多個(gè)合適的模型，為了評(píng)價(jià)最優(yōu)模型，增加最優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)：

若有多個(gè)合適變換模型，以方差為標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)價(jià)出最優(yōu)的變換模型。通過(guò)上述的求解過(guò)程，可以剔除誤差較大的采樣點(diǎn)并最終得出最優(yōu)的變換模型，保證了模型的穩(wěn)健性、準(zhǔn)確性。

3 實(shí)驗(yàn)方案與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)方案建立

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖3所示，右側(cè)為激光跟蹤儀，左側(cè)為工業(yè)機(jī)器人和控制器，均固定放置。

通過(guò)設(shè)計(jì)加工好的連接板把激光跟蹤儀的靶球固定到機(jī)器人末端法蘭盤上，如圖4所示。鏈接板的加工精度在0.02mm。在連接板結(jié)構(gòu)尺寸已知的情況下，可以直接寫出工具坐標(biāo)系，并將其添加到機(jī)器人控制器中。為了提高測(cè)量精度，工具坐標(biāo)系應(yīng)該通過(guò)測(cè)量標(biāo)定。本次實(shí)驗(yàn)只基于保證連接板的加工精度和安裝精度情況下，直接求取工具坐標(biāo)系。

圖3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

在機(jī)器人的工作空間中，選取一個(gè)中心點(diǎn)（800，200，700），選擇邊長(zhǎng)為200mm的立方體測(cè)量空間。在測(cè)量空間中，隨機(jī)測(cè)量100個(gè)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖5所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖4 激光跟蹤儀靶球

圖5 機(jī)器人的目標(biāo)點(diǎn)和激光跟蹤儀的測(cè)量點(diǎn)

由RANSAC算法可知，指定擬合模型的數(shù)據(jù)量，多次選擇不同的數(shù)據(jù)組合，求出最優(yōu)解。為了探討多少個(gè)點(diǎn)所組成的數(shù)據(jù)集能解出最優(yōu)解，在（4，40）的范圍里，以2為步長(zhǎng)，選擇不同的數(shù)據(jù)量進(jìn)行RANSAC算法實(shí)驗(yàn)。其結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同精度下，不同擬合數(shù)據(jù)組合的內(nèi)點(diǎn)

從圖中可以看出，隨著參與擬合模型的數(shù)據(jù)集增大，解越準(zhǔn)確，內(nèi)點(diǎn)越多。同時(shí)，隨著精度要求的提高，內(nèi)點(diǎn)數(shù)減少。在精度0.18，0.19，0.20mm要求下，數(shù)據(jù)量在（30，36）區(qū)間里的組合都可以滿足內(nèi)點(diǎn)數(shù)量占85%的條件。在同樣的數(shù)據(jù)量（30，36）區(qū)間內(nèi)，由于0.23 mm精度要求較低，所以包含的內(nèi)點(diǎn)更多。在不斷提高精度的同時(shí)，解的組合種類也在縮小，經(jīng)過(guò)多次迭代發(fā)現(xiàn)，精度要求0.18mm是最高精度的解。在精度要求0.18mm的條件下，解出了兩組解如表1所示。

表1 0.18mm精度下的解

根據(jù)式（9）的最優(yōu)解條件，第一組解為最優(yōu)解。

圖7 不同解法的誤差比較

圖8 同一變換關(guān)系在不同空間中的變換誤差比較

選擇50個(gè)點(diǎn)組成集合，并比較由基于RANSAC算法和常規(guī)最小二乘法求解得到的變換誤差，如圖7所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于RANSAC算法的求解比常規(guī)算法求解，變換關(guān)系的精度可以提高3倍。

基于1.3節(jié)的誤差分析可以知道，數(shù)據(jù)采集的空間的大小也影響著求解的精度，在機(jī)器人標(biāo)定文獻(xiàn)中也表明了這種特性[15]。在同一精度下，不同的數(shù)據(jù)采集空間獲得的結(jié)果也是不一樣的，特定空間中的求解結(jié)果適應(yīng)于該空間中。同樣以（800，200，700）為中心點(diǎn)，分別以200，400mm為邊長(zhǎng)，構(gòu)建立方體測(cè)量空間。在小空間（200 mm邊長(zhǎng)的立方體）中經(jīng)過(guò)RANSAC算法求解得到變換關(guān)系，分別從大空間、小空間中選擇50個(gè)測(cè)試點(diǎn)，測(cè)試變換關(guān)系的準(zhǔn)確性。誤差分析如圖8所示。由圖可知，在小空間中，變換關(guān)系滿足精度要求，但是對(duì)于大空間并不滿足。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在分析機(jī)器人坐標(biāo)系與激光跟蹤儀坐標(biāo)系變換的主要誤差來(lái)源的基礎(chǔ)上，探究快速準(zhǔn)確地求解變換模型方法。本文提出了基于RANSAC算法的最小二乘法變換求解，該算法去除外點(diǎn)的特性，解決了由機(jī)器人本體模型誤差帶來(lái)的測(cè)量誤差而造成的模型擬合失敗的問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)表明，結(jié)合RANSAC算法的最小二乘法比常規(guī)的解法提高了3倍的求解精度。此外，該方法避免了通過(guò)多次單軸運(yùn)動(dòng)再擬合求解的復(fù)雜過(guò)程，也減少了對(duì)高精度標(biāo)定板的依賴。本方法同時(shí)適用于求解不同設(shè)備間的坐標(biāo)系變換，為生產(chǎn)、科研的過(guò)程中，坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換需求提供了一種方便快捷、低成本、穩(wěn)定準(zhǔn)確的方法。

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（編輯：商丹丹）

Study on the method of coordinate transformation between robot and laser tracker

LIU Zhanji， WANG Han， CHEN Xun， XIA Yuanxiang， DU Zefeng， LI Yuanshi， LIN Jiaping
（Guangdong University of Technology，Guangzhou 510006，China）

When the laser tracker calibrates the absolute positioning accuracy of the end position of the industrial robot，it is necessary to transform the coordinate values of the measurement coordinate system and the robotcoordinate system to a same coordinate system， thusthe comparison of the coordinate values makes sense.Because the existence of the robot kinematics model error makes the point in the robot coordinate system cannot follow the only definite transformation relation to the measurement coordinate system，the coordinate system transformation precision is not high.After the transformation model of homogeneous transformation is established，the RANSAC fast conversion algorithm combined with least squares method is proposed by analyzing the error sources in the transformation process of the coordinate system.A certain number of samples are randomly selected to fit the transformation model from the measurement sample.After obtaining multiple transformation models，the optimal model is selected by the evaluation model.The results show that the coordinate transformation accuracy of the robot and the laser tracker is increased by three times compared with the conventional solution method.The RANSAC algorithm can effectively reduce the influence ofthe robotmodelerroron the transformation relation a，the experiment process is fast and the operation is simple.

robot； coordinate transformation； RANSAC algorithm； laser tracker

A

1674-5124（2017）11-0102-06

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.11.020

2017-02-10；

2017-04-19

廣東省前沿與關(guān)鍵技術(shù)創(chuàng)新專項(xiàng)資金（2015B010124001）；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃（YQ2015056）；“廣東特支計(jì)劃”科技青年拔尖人才項(xiàng)目（2014TQ01X212）；東莞市產(chǎn)學(xué)研項(xiàng)目（2013509109101）

劉湛基（1991-），男，廣東佛山市人，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)楣I(yè)機(jī)器人的應(yīng)用開發(fā)。