小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算技能教學(xué)的三個(gè)層次

鐘建林

《〈義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）〉解讀》提出：“能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算，稱為運(yùn)算技能。”[1]學(xué)生對(duì)運(yùn)算程序和步驟的理解、掌握是一個(gè)漫長(zhǎng)且不斷發(fā)展的過程。從運(yùn)算對(duì)象看，先是小學(xué)低年級(jí)的整數(shù)四則運(yùn)算，然后逐步發(fā)展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，再到初中階段的有理數(shù)運(yùn)算、乘方和開方等運(yùn)算，是從低到高、從具體到抽象的過程；從學(xué)生心理發(fā)展看，學(xué)生在學(xué)習(xí)不同運(yùn)算內(nèi)容時(shí)處于不同的年齡發(fā)展階段，具有同樣的發(fā)展脈絡(luò)；從數(shù)學(xué)發(fā)展歷程看，人類對(duì)運(yùn)算技能的掌握是遵循著一定層次發(fā)展的過程。

布魯納建構(gòu)了“經(jīng)驗(yàn)之塔”，并堅(jiān)持“教學(xué)的過程首先應(yīng)從直接經(jīng)驗(yàn)入手，然后是經(jīng)驗(yàn)的映象性表象，再過渡到經(jīng)驗(yàn)的符號(hào)性表象”的觀點(diǎn)。他將各種教學(xué)活動(dòng)歸納為動(dòng)作性、映像性和抽象性活動(dòng)三個(gè)類別，塔的最下層是動(dòng)作性學(xué)習(xí)，包括各種直接的、參與性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，必須親身經(jīng)歷，獲得真實(shí)的感受；塔的中間層次是映像性學(xué)習(xí)，指用直觀表象操作代替實(shí)物操作的學(xué)習(xí)，包括各種形象直觀、聲音直觀等可用多媒體技術(shù)表現(xiàn)出的視聽材料的學(xué)習(xí)；頂層是抽象性學(xué)習(xí)，它包括“經(jīng)驗(yàn)之塔”中最上面兩層所涉及的學(xué)習(xí)媒介[2]。

運(yùn)算技能的發(fā)展也呈現(xiàn)出從動(dòng)作性思維向映像性思維到抽象性思維發(fā)展的過程。筆者認(rèn)為，學(xué)生的運(yùn)算能力發(fā)展整體上呈現(xiàn)的是這樣的態(tài)勢(shì)——從低級(jí)到高級(jí)、從具象到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，要經(jīng)歷實(shí)物操作、圖示理解、符號(hào)表達(dá)的過程，符合從動(dòng)作性到映像性再到抽象性的學(xué)習(xí)規(guī)律。雖然這些不同層面的學(xué)習(xí)活動(dòng)在某些內(nèi)容的學(xué)習(xí)中會(huì)交織在一起共同發(fā)揮作用，但不同階段的學(xué)習(xí)仍然呈現(xiàn)明顯的階段性特征。

一、借助實(shí)物，進(jìn)行動(dòng)作性學(xué)習(xí)

動(dòng)作性學(xué)習(xí)，指通過動(dòng)作（操作活動(dòng)）進(jìn)行運(yùn)算技能的感知、理解和掌握。張興華老師在《兒童學(xué)習(xí)心理學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》一書中介紹了他們進(jìn)行的一項(xiàng)觀察實(shí)驗(yàn)，從另一個(gè)側(cè)面驗(yàn)證了皮亞杰的理論“智慧自動(dòng)作發(fā)端”[3]。

實(shí)驗(yàn)的過程是這樣的：在孩子們面前擺上一堆積木，然后觀察他們的反應(yīng)。孩子們并沒有如人們想象的那樣靜下心來認(rèn)真地進(jìn)行觀察，也沒有試圖按積木的顏色、形狀等對(duì)它們進(jìn)行分類，以便抽象出某些積木的共同屬性，直至形成相關(guān)概念。他們幾乎都不自覺地伸手拿起積木，認(rèn)真地把玩起來。有的將積木一塊塊疊起來，拼擺著什么；有的從中取出一些，不停地比劃著；也有的用積木互相敲打著、碰撞著……原來，孩子們正是在這樣一種“動(dòng)手操作”的過程中積累起對(duì)客觀事物的感性認(rèn)識(shí)，并逐漸形成有關(guān)它們的數(shù)量關(guān)系及位置、大小等空間形式，從而獲得對(duì)外部世界的最初認(rèn)識(shí)。

課堂里的實(shí)踐操作是一種特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。一方面，它須要協(xié)同手與眼的活動(dòng)，動(dòng)態(tài)地感知客觀事物；另一方面，它要密切溝通手與腦的活動(dòng)，是把借助肢體的外部活動(dòng)內(nèi)化為以內(nèi)部語言為主要形態(tài)的智力活動(dòng)。操作活動(dòng)在推進(jìn)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)意義、發(fā)展邏輯思維與空間觀念、加強(qiáng)意義識(shí)記等方面發(fā)揮積極作用。因此，在小學(xué)低年級(jí)的運(yùn)算教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷擺一擺、圈一圈、畫一畫、數(shù)一數(shù)等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，是初始運(yùn)算教學(xué)時(shí)應(yīng)該遵循的基本規(guī)律。如教學(xué)“5減去2”時(shí)，教師可設(shè)計(jì)如下動(dòng)作性層面的操作活動(dòng)：伸出5根手指，扳回2根手指，還伸著3根手指；有5根小棒，拿走了2根，還剩3根；有5顆糖果，吃掉了2顆，還剩3顆；樹上有5只小鳥，飛走了2只，樹上還有3只小鳥；5顆珠子，取走2顆，還剩3顆珠子；等等。

動(dòng)作層面的操作活動(dòng)一般具有以下特點(diǎn)：一是動(dòng)作性，能夠用生活中原生態(tài)的動(dòng)作表示；二是情境性，即有著特定的情境；三是獨(dú)特性，也可以稱之為單一性，即這一階段的操作對(duì)象往往只代表自身。須要注意的是，借助實(shí)物操作常常具有一定的局限性：一方面并不是所有的運(yùn)算過程都能借助實(shí)物操作體現(xiàn)；另一方面實(shí)物種類太少時(shí)，容易導(dǎo)致學(xué)生難以脫離具體的實(shí)物理解算理，形成對(duì)實(shí)物的依賴。

二、借助圖示，進(jìn)行映像性學(xué)習(xí)

映象性學(xué)習(xí)，即通過對(duì)圖（圖形、圖例、圖表、頭腦中的思維圖式等）的操作進(jìn)行運(yùn)算技能的感知、理解和掌握。這個(gè)層面是學(xué)生的運(yùn)算從動(dòng)作性思維到映像性思維的過渡和交織階段，仍有許多操作，但操作的對(duì)象已從具體實(shí)物逐步轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)對(duì)象，如從蘋果、小棒等生活中的具象性物體向圓形、正方形、線段等圖形或具有抽象意義的對(duì)象轉(zhuǎn)變。

這時(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，仍然具有明顯的操作性學(xué)習(xí)特征，但是操作對(duì)象已經(jīng)具有一定的虛擬性和抽象性，具有明顯的結(jié)構(gòu)性特征，蘊(yùn)涵著操作中各種對(duì)象的數(shù)量以及不同動(dòng)作之間的隱性關(guān)系。如同樣是“5-2”的學(xué)習(xí)，圖示層面的活動(dòng)如圖1：有5個(gè)圓片，從中劃去2個(gè)。這時(shí)的活動(dòng)，操作對(duì)象從實(shí)物變?yōu)閳D形，動(dòng)作從拿走、吃掉、飛走等原生態(tài)的生活行為轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂谐橄笠饬x的“劃去”，甚至可以轉(zhuǎn)化為涂色。

圖示不僅能提煉動(dòng)作性操作的思維含量，而且能化抽象為直觀，使某些生活中較難找到實(shí)例或者較難用動(dòng)作性學(xué)習(xí)完成的內(nèi)容變得形象、直觀。如北師大版的《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法（一）”的教學(xué)[4]（圖2）。

三、借助符號(hào)，進(jìn)行抽象性學(xué)習(xí)

抽象性學(xué)習(xí)，主要指借助數(shù)學(xué)符號(hào)等完成的運(yùn)算。這里的符號(hào)，既包括數(shù)字1、2、3、4……也包括字母、運(yùn)算符號(hào)等數(shù)學(xué)語言，如∑、≌、∞、∈、∮等。抽象性學(xué)習(xí)主要通過符號(hào)進(jìn)行。如關(guān)于加法，《〈義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）〉解讀》給出這樣的符號(hào)表達(dá)：“加法的定義：對(duì)于a，b∈N，規(guī)定運(yùn)算a+b表示在a的后面增加b個(gè)的序數(shù)，如果這個(gè)序數(shù)為c，那么，稱c為a與b的和。求和的運(yùn)算叫做加法，記作：a+b=c”[1]。這顯然超越了具體的動(dòng)作性和映像性層面，進(jìn)入了抽象性層面。這是完全基于抽象概念和邏輯的高級(jí)抽象性學(xué)習(xí)，小學(xué)生還無法適應(yīng)，但是隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，純數(shù)學(xué)符號(hào)層面的運(yùn)算內(nèi)容逐漸地多起來，這是因?yàn)椋阂环矫?，學(xué)習(xí)的內(nèi)容抽象程度越來越高，越來越需要超脫具體形象束縛的運(yùn)算技能；另一方面，學(xué)生的年齡已經(jīng)能夠適應(yīng)形式運(yùn)算階段的運(yùn)算需要。

抽象性學(xué)習(xí)與抽象性有關(guān)，但也有著明顯不同。一般來說，在運(yùn)算技能教學(xué)中，抽象有三個(gè)層次：一是以抽象的物體表示具體的物體，如在低年級(jí)的運(yùn)算學(xué)習(xí)過程中常常用小棒或者圓片表示動(dòng)物、水果等；二是以抽象的數(shù)字或符號(hào)表示有形的物體或動(dòng)作，如用1、2、3等表示數(shù)，用“+”“-”等表示運(yùn)算，屬于觀念性、抽象性較強(qiáng)的操作；三是以抽象的符號(hào)表示某種關(guān)系或者規(guī)律，如y=kx（k不等于0），“-5”表示負(fù)5等。

映象性學(xué)習(xí)在動(dòng)作性學(xué)習(xí)階段的抽象和思維活動(dòng)中已經(jīng)存在。但是，抽象性學(xué)習(xí)主要指借助數(shù)學(xué)化程度較高的符號(hào)完成的思維含量較高的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在運(yùn)算技能學(xué)習(xí)中，抽象性學(xué)習(xí)主要指脫離實(shí)物和具體情境進(jìn)行的運(yùn)算，如純數(shù)字的計(jì)算、字母表示的運(yùn)算規(guī)律等。

從動(dòng)作性、映像性和抽象性的角度考慮，小學(xué)階段的運(yùn)算技能呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：一是階段性遞進(jìn)的特點(diǎn)。總體趨勢(shì)上，年級(jí)越低動(dòng)作性技能越突出，年級(jí)越高抽象性技能越明顯。二是多元并存的特點(diǎn)。用計(jì)算解決某種問題或探究某類運(yùn)算規(guī)律時(shí)，通常存在不同層次的策略，如計(jì)算“9+幾”時(shí)就同時(shí)存在這三個(gè)層次的策略。三是相互滲透性。學(xué)生對(duì)運(yùn)算技能的掌握有不同層次，這三個(gè)層次內(nèi)部存在著遞進(jìn)性和發(fā)展性，但相互間又不是完全割裂的，呈相互交織、螺旋上升的態(tài)勢(shì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012.

[2] 孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009.

[3] 張興華.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)：兒童學(xué)習(xí)心理與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[4] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程研制組.數(shù)學(xué)（五年級(jí)下冊(cè)）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint