隨機利率下再保險與最優(yōu)投資策略的研究

◆于 蕾

隨機利率下再保險與最優(yōu)投資策略的研究

◆于 蕾

對于很多公司為了擴大規(guī)模，增強本公司在此行業(yè)的競爭力，投資是是一種重要的選擇。同時，保險公司為了進(jìn)一步的降低公司自身的風(fēng)險，尋找再保險業(yè)務(wù)也是必由之路。本文主要討論了保險公司的投資再保險等問題，主要根據(jù)隨機利率展開研究。隨機利率下的最優(yōu)再保險投資，主要集中在常數(shù)波動率的利率模型下對保險公司具有促銷預(yù)算的研究。隨機利息率下投資和再保險相結(jié)合的研究在數(shù)學(xué)處理上難度很大。本文創(chuàng)新性地引入促銷預(yù)算，使再保險在一種更加合理的形式下給出了問題的解決方案。

再保險；隨機利率；最優(yōu)投資；最優(yōu)策略

引言

再保險指的是保險公司將拿出它所承擔(dān)風(fēng)險和責(zé)任中的一部分讓其他保險公司來分擔(dān)，也常常被稱作分保，進(jìn)行了再保險的保險公司稱為割讓公司。歐洲海上貿(mào)易的發(fā)展催生了早期的再保險業(yè)務(wù)，最早的再保險合同可追溯到公元1370年，那正是歐洲海上貿(mào)易大發(fā)展的時期。中國的再保險市場通過不斷擴大開放，吸引越來越多的國際再保險公司進(jìn)入到中國市場，目前已有法國再保險、通用再保險、慕尼黑再保險、沒諾威再保險、勞合社、瑞士再保險等多家國際再保險巨頭在中國大陸設(shè)立機構(gòu)。用更理性、更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法來研究再保險問題是從20世紀(jì)中期后開始的。

一、隨機利率下最優(yōu)再保險－投資策略研究

隨機利息率模型是指以瞬時即期利率作為隨機狀態(tài)的一個變量，用一個風(fēng)險中性測度下的隨機過程來描述利息率的變化的數(shù)學(xué)模型。其最明顯的特征是指定當(dāng)前的即期利率時，但不能知道整個收益率曲線

(一)除了單因素短期利率模型之外，還有多因素短期利率模型。下面是單因素短期利率模型：

Merton模型（1973）將短期利息率描述成

其中常數(shù)r0為初始時刻利息率，這里為風(fēng)險中性概率測度下的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。

Ho-Lee模型（1986）將短期利息率描述成

我們使用Ho-Lee（1986）模型來研究利息率的擴散過程，其中現(xiàn)金資產(chǎn)的瞬時利息率為

在時間t≥0時的股票市場指數(shù)價格可表示為：

在Ho-Lee模型中，利息率的波動b＞0，而布朗運動可正可負(fù)。

保險公司用財富的固定份額作為預(yù)算從每個時刻t收取保費中減掉。

保險公司的目標(biāo)是讓最終財富的期望效用達(dá)到最大化。

二、隨機利率下具有促銷巧算模型的求解

使用期望效用最大化標(biāo)準(zhǔn)，保險公司的目標(biāo)是最大化終端財富的期望效用，效用函數(shù)選用冪效用（常數(shù)相對風(fēng)險厭惡）形式

常數(shù)δ∈ (0,1)是保險公司的相對風(fēng)險厭惡系數(shù)。效用函數(shù)在數(shù)學(xué)精算和保險實踐中起著重要的作用，對于容許策略對于t時刻的狀態(tài)定義值函數(shù)為

三、總結(jié)

風(fēng)險數(shù)學(xué)理論開啟了保險和再保險領(lǐng)域研究發(fā)展的新篇章。在現(xiàn)代社會經(jīng)濟(jì)實踐中，用促銷來吸引客戶也是一種重要方式，保險公司也是這樣。這種方式既可以讓利給客戶，又可以吸引更多客戶利的雙贏舉措，是值得關(guān)注的。

[1]李哈虹，王春峰，吳啟權(quán)，隨機長短期利率和通貨膨脹下的資產(chǎn)配置問題研究，北京理工大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2005，7（6）30-33.

[2]遲國泰：劉冬，杜娟，隨機利率下的比例賠付保險模型，運籌與管理，2007，16（3）：114-118.

（作者單位：渤海大學(xué)）