巧思妙想
——例談勾股定理的應(yīng)用

李正芳

巧思妙想
——例談勾股定理的應(yīng)用

李正芳

一、分類(lèi)討論思想

在勾股定理中，主要應(yīng)用分類(lèi)思想對(duì)三角形形狀進(jìn)行討論或?qū)σ阎倪吇螯c(diǎn)所在位置進(jìn)行討論.

例1已知一直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的長(zhǎng)度是_______.

【分析】此題可以根據(jù)斜邊分類(lèi).若第三邊是斜邊，則兩直角邊分別為3和4，根據(jù)勾股定理易得第三條邊長(zhǎng)為5；若第三邊是直角邊，則另一條直角邊為3，斜邊為4，根據(jù)勾股定理易得第三條邊長(zhǎng)為，故答案是或5.

例2在等腰三角形ABC中，AB=5cm，BC=6cm，則三角形ABC的面積為_(kāi)_____.

【分析】要求三角形的面積，知道了三角形的邊長(zhǎng)，再求出已知邊上的高即可.但由于△ABC是等腰三角形，部分同學(xué)只考慮了一種情形，即認(rèn)為短一點(diǎn)的AB為腰，BC為底邊.忽視了邊長(zhǎng)BC也可能為腰的情形.如圖1，當(dāng)AB為腰，BC為底邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AD，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)，此時(shí)△ABC面積為12；如圖2，當(dāng)BC為腰，AB為底邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AD，同理，可求得此時(shí)△ABC面積為

圖1

圖2

【點(diǎn)評(píng)】以上兩題考查了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，如果題目沒(méi)有圖形，則需要考慮分類(lèi)討論的必要性.這就是“無(wú)圖題前細(xì)思考，分類(lèi)討論保周到”.

二、方程思想

方程是研究數(shù)學(xué)的重要工具，運(yùn)用方程的思想去分析問(wèn)題，能有效發(fā)現(xiàn)各種數(shù)量關(guān)系.勾股定理描述了直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，可以解決很多計(jì)算問(wèn)題，除了已知兩邊求第三邊外，很多題目無(wú)法直接用勾股定理來(lái)計(jì)算，需要設(shè)立未知數(shù)，用方程思想來(lái)解決.

例3如圖3，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？

圖3

圖4

【分析】解決與勾股定理有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)先要抽象出幾何圖形，所以本題首先是找到直角三角形.如圖4，在Rt△ACB中，只有AC邊的長(zhǎng)度，因此可以設(shè)水深為x尺，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理列方程x2+52=（x+1）2，解得x=12，即水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺.

【點(diǎn)評(píng)】利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，其基本思想是從實(shí)際問(wèn)題中建立直角三角形，找到直角三角形邊與邊的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)設(shè)立未知數(shù)，借助勾股定理列方程求解.

三、整體思想

整體思想是把問(wèn)題的某個(gè)部分或幾個(gè)部分看成一個(gè)整體進(jìn)行思考，應(yīng)用整體思想解題，往往能化難為易、化繁為簡(jiǎn).在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，有時(shí)從整體上去思考問(wèn)題或許能幫你迅速走出思維的誤區(qū).

例4已知直角三角形的周長(zhǎng)為18，斜邊長(zhǎng)為8，求直角三角形的面積.

【分析】若設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，因?yàn)閍+b=10，則b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，即a2+（10-a）2=64，從而求出a、b的值.但解這個(gè)方程較麻煩，而由聯(lián)想到可以應(yīng)用整體思想，將ab看作一個(gè)整體，因?yàn)椋╝+b）2=a2+2ab+b2，又 2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，故

四、等積思想

等積思想是解幾何題的一種基本方法，就是利用面積相等來(lái)建立等式，從而求解題目的一種方法.

例5在甲村到乙村的公路旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)有爆破點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的另一個(gè)?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB.如圖6所示，為了安全起見(jiàn)，爆破點(diǎn)C的周?chē)霃?50米范圍內(nèi)不得進(jìn)人，問(wèn)：在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)，是否需要暫時(shí)封鎖？

圖6

圖7

【分析】本題關(guān)鍵是要求出點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離CD，如圖7.

【點(diǎn)評(píng)】例5是利用等積法解決幾何線(xiàn)段計(jì)算問(wèn)題的典型代表.當(dāng)已知條件有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，我們要關(guān)注某一個(gè)圖形面積的不同表示方法.

“勾股定理”這章蘊(yùn)含了多種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解決問(wèn)題時(shí)，它們不僅可以相互獨(dú)立使用，而且在許多問(wèn)題解決中都是互相聯(lián)系的.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)指前實(shí)驗(yàn)學(xué)校）