對(duì)一道導(dǎo)數(shù)取值范圍問題的探索

■甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 楊 虎

對(duì)一道導(dǎo)數(shù)取值范圍問題的探索

■甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 楊 虎

編者的話:“經(jīng)典題突破方法”欄目里例、習(xí)題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學(xué)們更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思想方法,通過多解多變培養(yǎng)同學(xué)們多思多想的好習(xí)慣。學(xué)會(huì)解題反思,無疑是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一條捷徑,愿同學(xué)們不斷在反思中進(jìn)步,在反思中收獲!

一、題目呈現(xiàn)及思路分析

(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)存在極大值和極小值,求a的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)m,n分別為f(x)的極大值和極小值,其中m=f(x1),n=f(x2),且x1∈,求m+n的取值范圍。分析:(Ⅰ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a x2-2x+al nx(a∈R),所以要求函數(shù)y=f(x)的極大值和極小值,就要對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),保證導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根,通過判別式大于零和根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論。(Ⅱ)根據(jù)極大值與極小值的含義得到兩個(gè)相應(yīng)的方程,由兩個(gè)極值點(diǎn)的關(guān)系可以將其中一個(gè)消去,進(jìn)一步可得關(guān)于極大值點(diǎn)的代數(shù)式,再通過基本不等式與導(dǎo)數(shù)求m+n的取值范圍。

二、多解探索

點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)、基本不等式求極值及參數(shù)的范圍問題,在這類問題的解決中要善于把握函數(shù)與不等式的關(guān)系,導(dǎo)數(shù)為零與函數(shù)極值的關(guān)系,正確運(yùn)用消元法解方程,以及對(duì)參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?在本題中合理利用消元思想與基本不等式,以及利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是順利求解的前提和關(guān)鍵。

三、變式探索

例2 (2 0 1 7年山西三區(qū)八校理科模擬試題)已知函數(shù)f x()=l nx+a x2+b x(其中a,b為常數(shù)且a≠0)在x=1處取得極值。

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f x()的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若f x()在 0,e( ]上的最大值為1,求a的值。

點(diǎn)評(píng):可以說極值是一個(gè)與導(dǎo)數(shù)緊密相連的概念,只要提到極值或極值點(diǎn)就會(huì)想到導(dǎo)數(shù),本變式的關(guān)鍵是要注意極值與最值的區(qū)別,極值是一個(gè)局部的概念,而最值是一個(gè)整體的概念,在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出極值后,把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值,最后利用條件建立關(guān)于參數(shù)的方程求得結(jié)果。

例3 (2 0 1 7年馬鞍山理科二模試題)已知函數(shù)f (x)=l nx+

(Ⅰ)證明曲線f x()上任意一點(diǎn)處切線的斜率不小于2;

(Ⅱ)設(shè)k∈R,若g x()=f x()-2k x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1＜x2,證明:g x2()＜-2。

點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,亮點(diǎn)是把導(dǎo)數(shù)與不等式的證明結(jié)合,要想準(zhǔn)確解答,首先要觀察不等式的特點(diǎn),結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論。

解后感悟:本題是一道考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用的好題,其中滲透著分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法,重在考查同學(xué)們結(jié)合所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。

(責(zé)任編輯 王福華)