數(shù)列的求和

■江西省豐城中學(xué) 吳愛(ài)龍

數(shù)列的求和

■江西省豐城中學(xué) 吳愛(ài)龍

編者的話:基本知識(shí)和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。愿同學(xué)們通過(guò)閱讀,能從中感悟知識(shí)的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點(diǎn)與趨勢(shì)。

2.已知Sn,求an。

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求數(shù)列的通項(xiàng)an時(shí),我們有關(guān)系式

3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。

一、考綱要求

掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

二、知識(shí)梳理與拓展

1.數(shù)列的前n項(xiàng)和。

數(shù)列的前n項(xiàng)和通常用Sn表示,其意義是指Sn=a1+a2+…+an。

數(shù)列的前n項(xiàng)和是一個(gè)專用述語(yǔ),有其特指的含義。必須理解好三點(diǎn):①指的是和,而不是n項(xiàng)之積或別的運(yùn)算。②指的只能是n個(gè)項(xiàng)之和,不能多一項(xiàng)或少一項(xiàng)。③指的是前n項(xiàng)之和,而不是某n個(gè)項(xiàng)的和,應(yīng)從第一項(xiàng)開(kāi)始,一項(xiàng)不少地加至第n項(xiàng)。如果不是從第一項(xiàng)開(kāi)始,而是從某項(xiàng)開(kāi)始的連續(xù)n項(xiàng)之和,盡管不是數(shù)列的前n項(xiàng)和,但也可以借助Sn來(lái)表示,比如a3+a4+…+an+2可以表示為Sn+2-S2;也可以用求和符號(hào)∑來(lái)表

上述第一個(gè)公式可由倒序相加法推導(dǎo)。其實(shí)它表示上底邊長(zhǎng)為a1,下底邊長(zhǎng)為an,高(層數(shù))為n的梯形面積公式;而后兩個(gè)公式則是將該梯形割或補(bǔ),變成一個(gè)平行四邊形的面積na1與一個(gè)三角形的面積d之和或變成一個(gè)平行四邊形的面積nan與一個(gè)三角形的面積之差了。特別地,當(dāng)d=0時(shí),其前n項(xiàng)和Sn=na1。

4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為q,則的“ai”是代表項(xiàng),它代表了a3,a4,…,an+2中的任一項(xiàng),而∑下方的“i=3”是指求和時(shí)從第三項(xiàng)a3開(kāi)始相加,∑上方的“n+2”指的是最后加至第n+2項(xiàng)an+2終止。這個(gè)符號(hào)既清晰又簡(jiǎn)捷,在高等數(shù)學(xué)中還可以直接參與運(yùn)算。在初等數(shù)學(xué)研究方面,常用∑表示循環(huán)和,如三角形ABC的三邊分別為a、b、c,則其周長(zhǎng)可以表示為∑a,即∑a=a+b+c。

如果數(shù)列從第一項(xiàng)開(kāi)始一項(xiàng)不少地加下去,直至無(wú)窮,這個(gè)和被稱作是無(wú)窮數(shù)列的所有項(xiàng)和,常記為S;任何數(shù)列都存在著前n項(xiàng)和,卻未必有所有項(xiàng)之和了。當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q滿足|q|＜1且q≠0時(shí),其所有項(xiàng)之

常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,不論從等差或等比角度看都有Sn=na1。

上述公式可由錯(cuò)位相減法推導(dǎo),也可以用下面幾種方法推得。

方法1:Sn=a1+q(a1+a1q+…+aqn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)=a1+q(Sn-a1qn-1),n≥2,q≠1。所以Sn=時(shí),亦符合。

方法2:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1,則

由合比定理有:5.等差(比)數(shù)列前n項(xiàng)和的主要性質(zhì)。

(2)等差數(shù)列中,當(dāng)a1＞0,d＜0時(shí),若ak＞0,ak+1＜0,則Sk最大;當(dāng)a1＜0,d＞0時(shí),若ak＜0,ak+1＞0,則Sk最小。

(3)等差(比)數(shù)列中,非零數(shù)列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等差(比)數(shù)列。

6.數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法。

數(shù)列求和的常用方法有:倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、公式法、分組求和法、奇偶數(shù)討論法等。

三、典例解析與點(diǎn)評(píng)

點(diǎn)評(píng):對(duì)此解法應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù),因此若設(shè)Sn=k(7n+2),Tn=k(n+3),則是不合理的;(2)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求數(shù)列的通項(xiàng)an時(shí),有關(guān)系式an=

點(diǎn)評(píng):對(duì)此解法也應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用;(2)等差數(shù)列求和公式的逆用。

點(diǎn)評(píng):此法是分組求和與公式法求和的完美組合。常用的幾個(gè)公式

點(diǎn)評(píng):上述方法用的是裂項(xiàng)相消法,裂項(xiàng)(拆項(xiàng))相消法是數(shù)列求和的常用方法之一。裂項(xiàng)是手段,相消是目的。因此,尋找合理的裂項(xiàng)方式是關(guān)鍵。例如一項(xiàng)裂成了兩項(xiàng),但由于無(wú)法相互抵消其中的項(xiàng),所以這種裂項(xiàng)是失敗的。對(duì)幾種常見(jiàn)的裂項(xiàng)應(yīng)熟記。此外,相消時(shí)規(guī)律性很強(qiáng),既然是成對(duì)地“裂”,又是成雙地“消”,所以必定是成套地“留”。

解法3:學(xué)了組合,也可用組合數(shù)性質(zhì)來(lái)解。因?yàn)閚(n+1)=2C2n+1,又Cmn+1=Cmn+Cm-1n,所以1×2+2×3+…+n(n+1)=(n+2)。

點(diǎn)評(píng):此解法將數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)求和并利用組合數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題來(lái)解,可謂匠心獨(dú)運(yùn)。

一般地,我們有1·2·3·…·k+2·3·4·…·(k+1)+…+n(n+1)(n+2)…(n+k)(n,k∈N*,k≥2)。求和S=1+2x+3x2+…+nxn-1。

當(dāng)x≠0且x≠1時(shí),有:

S=1+2x+3x2+…+nxn-1。

xS=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn。

點(diǎn)評(píng):上述解法是分類討論思想與化歸思想的完美組合,解題時(shí)極易漏掉x=0與x=1時(shí)情形的討論。錯(cuò)位相減法,“錯(cuò)位”是手段,“相減”是目的;如果錯(cuò)位后不能相減,錯(cuò)位就是無(wú)功之舉;如果錯(cuò)位相減后能將各項(xiàng)系數(shù)歸一,則錯(cuò)位就是一種漂亮的形式,因?yàn)椴捎缅e(cuò)動(dòng)位置的書寫方法是為了將字母x的指數(shù)對(duì)齊,對(duì)整齊后再減才會(huì)少出錯(cuò)誤。話雖如此,但很多同學(xué)具體運(yùn)用此法時(shí)仍會(huì)出錯(cuò),很難對(duì)上正確答案,因此我們平時(shí)應(yīng)多加訓(xùn)練。網(wǎng)絡(luò)上流行一種死記結(jié)論的待定系數(shù)法,但筆者不推薦使用這種方法。

點(diǎn)評(píng):這里對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),體現(xiàn)了整體處理思想,當(dāng)然也可以對(duì)所求和式通過(guò)求積分的辦法求得。有時(shí)可能需要多次求導(dǎo)或求積分。

(責(zé)任編輯 徐利杰)