一道高考題引發(fā)的思考

■山東省德州市第一中學(xué)高三(5)班 楊景瑞

一道高考題引發(fā)的思考

■山東省德州市第一中學(xué)高三(5)班 楊景瑞

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在高考中常考常新,而如何構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn),下面以一道高考題為例尋找解決這類(lèi)問(wèn)題的方法。

高考題 (2 0 1 5年新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x＞0時(shí),x f'(x)-f(x)＜0,則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

通過(guò)總結(jié),我發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題可歸結(jié)為三種類(lèi)型。

一、f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型

例1 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x＜0時(shí),f'(x)·g(x)+f(x)g'(x)＞0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)＜0的解集為_(kāi)___。

解析:當(dāng)x＜0時(shí),f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)＞0,即[f(x)g(x)]'＞0,所以函數(shù)h(x)=f(x)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增。又h(x)為奇函數(shù),且h(-3)=0,h(3)=0,h(0)=0,可以畫(huà)一個(gè)符合題意的函數(shù)h(x)的圖像,由圖像得到不等式f(x)g(x)＜0的解集為(-∞,-3)∪(0,3)。

二、x f'(x)±n f(x)型

例2 設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且x f'(x)+2f(x)＞x2,下面的不等式在R內(nèi)恒成立的是( )。

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0

C.f(x)＞x D.f(x)＜x

解析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x),則其導(dǎo)數(shù)為g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)。

(1)當(dāng)x＞0時(shí),由x f'(x)+2f(x)＞x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)＞x3＞0,即g(x)在區(qū)間(0,+∞)上遞增,故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0?f(x)＞0。

(2)當(dāng)x＜0時(shí),由x f'(x)+2f(x)＞x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)＜x3＜0,即g(x)在區(qū)間(-∞,0)上遞減,故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0?f(x)＞0。

(3)當(dāng)x=0時(shí),由x f'(x)+2f(x)＞x2,得f(0)＞0。

綜上,對(duì)任意x∈R,都有f(x)＞0。

三、λ f(x)±f'(x)(λ＞0)型

例3 已知定義在R上的函數(shù)f(x),滿(mǎn)足3f(x)＞f'(x)恒成立,且f(1)=e3,則下列結(jié)論正確的是( )。

A.f(0)=1 B.f(0)＜1

C.f(2)＜e6D.f(2)＞e6

小結(jié):根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)問(wèn)題,第一步,觀(guān)察兩式中間的符號(hào),若是“+”,則構(gòu)造積的形式,若是“-”,則構(gòu)造商的形式;第二步,通過(guò)對(duì)比思考所出題目是哪一種類(lèi)型,進(jìn)行構(gòu)造;第三步,根據(jù)構(gòu)造的新函數(shù)的性質(zhì),解決問(wèn)題。只要能熟練掌握以上解題思想并不斷練習(xí)相關(guān)解題技藝,相信我們?cè)儆龅竭@類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定能順利解決。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)