集合、函數(shù)知識結(jié)構(gòu)與拓展

■鄭州一中 周益華

集合、函數(shù)知識結(jié)構(gòu)與拓展

■鄭州一中 周益華

編者的話:基本知識和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。本期特約鄭州一中周益華等幾位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識。鄭州一中是河南省名牌高中,多年來高考成績一直在全省名列前茅。愿同學(xué)們通過閱讀,能從中感悟知識的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點(diǎn)與趨勢。

一、知識結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

集合與函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),也是高考考查的重點(diǎn),集合的相關(guān)知識是為函數(shù)的定義做鋪墊:函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集上的特殊對應(yīng),特殊的是第一個集合中的任意一個元素在第二個集合中都必須有且只有一個元素與之對應(yīng)。結(jié)合函數(shù)的名字做一個通俗的解釋,就很好理解了,函就是信函、郵寄的意思,信怎么寄呢?一封信必須寫且只能寫一個收信人才能準(zhǔn)確寄出,但一個人卻可以收多封信,自變量就是信,函數(shù)值就是收信人,函數(shù)就是數(shù)集間一種像寄信一樣的對應(yīng)關(guān)系。明白了這一點(diǎn),函數(shù)考什么就非常清晰了:兩個集合一個關(guān)系!涉及特殊式子及抽象函數(shù)的定義域問題;涉及解析式、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的表示及圖像變換問題;涉及單調(diào)性、奇偶性、周期性、導(dǎo)數(shù)的值域、最值問題。

三、實(shí)例分析

例1 已知y=f(x)表示過點(diǎn)(0,-2)的一條直線,y=g(x)表示過點(diǎn)(0,0)的另一條直線,又f[g(x)]=g[f(x)]=3x-2,A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=g(x)},求A∩B。

分析:將一次函數(shù)看作整體代入復(fù)合函數(shù),利用待定系數(shù)法求解,注意集合間的運(yùn)算法則。

解:設(shè)f(x)=k x-2,g(x)=m x,則k m x-2=3x-2,m k x-2m=3x-2,故m=1,k=3。

所以A∩B={(1,1)}。

小結(jié):此題易錯的地方是結(jié)果的表示形式,集合間的運(yùn)算,結(jié)果仍是集合。

例2 設(shè)f(x)對任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0時,f(x)＜0,f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值。

分析:判斷f(x)的單調(diào)性,求出f(-3),f(3)。

解:令x=y=0,得f(0)=0。

令y=-x,得f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)。

任取x1＜x2,x2=x1+m,則m＞0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+m)=f(x1)-f(x1)-f(m)=-f(m)＞0,所以f(x)為R上的減函數(shù),故f(x)在[-3,3]上的最大值為f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6。

小結(jié):解答此題時,函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷是難點(diǎn),突破方法為賦值法。

例3 設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)x∈[2,3]時,g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a為常數(shù))。

(1)求f(x)的解析式。

(2)若f(x)在[0,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(3)若a∈(-6,6),問:能否使f(x)的最大值是4?說明理由。

分析:f(x)與g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則f(x)=g(2-x),f(x)在[0,1]上是增函數(shù),高次函數(shù)為增函數(shù)時考慮導(dǎo)數(shù),最值問題考慮區(qū)間端點(diǎn)值和極值。

解:(1)當(dāng)x∈[-1,0]時,2-x∈[2,3],所以f(x)=g(2-x)=2x3-a x。

當(dāng)x∈[0,1]時,-x∈[-1,0],所以f(x)=f(-x)=-2x3+a x。所以f(x)=

(2)依題意f'(x)≥0,即-6x2+a≥0在[0,1]上恒成立,即a≥6x2在[0,1]上恒成立,所以a≥6。

(3)當(dāng)a∈ (- 6,6)時,因?yàn)閒(0)=0,f(1)=a-2≠4,所以要使f(x)在[0,1]的最大值是4,必須f'(x)=0有解x0,且f(x0)=4,由f'(x)=0,即-6x2+a=0,得

所以若a∈(-6,6),則當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)的最大值不可能是4。

因?yàn)閒(x)是[-1,1]的偶函數(shù),所以f(x)在x∈[-1,1]上的最大值不可能是4。

小結(jié):此題的切入點(diǎn)為函數(shù)的對稱性,定義域轉(zhuǎn)換是需要關(guān)注的解題技巧。

四、跟蹤練習(xí)

1.運(yùn)貨卡車以xk m/h的速度勻速行駛1 3 0k m,按交通法規(guī)限制5 0≤x≤1 0 0(單位:k m/h)。假設(shè)汽油的價格是每升2元,而汽車每小時耗油(2 + x2

)L,司機(jī)的工資是3 6 0每小時1 4元。

(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式;

(2)計算當(dāng)x為何值時,這次行車的總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值。(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位,1 0≈3.1 6)

答:當(dāng)x約為5 6.8 8k m/h時,行車的總費(fèi)用最低,最低費(fèi)用約為8 2.1 6元。

小結(jié):第二問求最值亦可用求導(dǎo)判斷單調(diào)性,應(yīng)用題要做答。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)