展開的魅力

■湖南省永州市第四中學(xué) 何小衛(wèi)

展開的魅力

■湖南省永州市第四中學(xué) 何小衛(wèi)

在高中物理的學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們在獲取知識的同時,還要加強(qiáng)對科學(xué)思維方法的訓(xùn)練。展開的思維方法是物理學(xué)習(xí)中一種常見的方法,靈活運用這種思維方法來解題,有時會獲得意想不到的效果。

一、直線運動的展開

例1一位電腦愛好者設(shè)計了一個“貓捉老鼠”的動畫游戲。如圖1所示,在一個邊長為a的大立方體木箱的一個頂角G上,老鼠從貓的爪間逃出,選擇了一條沿著木箱棱邊的最短路線,奔向洞口,洞口處在木箱的另一頂角A處。若老鼠在奔跑中保持速度大小v不變,并不重復(fù)跑過任一條棱邊及不再回到G點,聰明的貓也選擇了一條最短的路線奔向洞口。設(shè)貓和老鼠同時從G點出發(fā),則貓奔跑的速度為多大時,貓恰好在洞口再次捉住老鼠?

圖1

解析:將木箱的其中兩個面展開如圖2所示,則老鼠走過的最短路程s=3a(三條棱),貓走過的最短路程s0=貓與老鼠同時抵達(dá)洞口A,則解得貓的速度

圖2

點評:在求解本題時若將思維局限于貓沿木箱的棱邊奔跑就會出錯,而將木箱展開,我們就會發(fā)現(xiàn)原本很難思考的問題變得輕而易舉了。

二、螺旋曲線的展開

例2如圖3所示,一個圓柱體的直徑為D,其側(cè)面刻有螺距為h的螺旋形凹槽,槽內(nèi)有一小球。當(dāng)用外力拉繞在圓柱體側(cè)面的繩子時,小球?qū)⒀匕疾刍隆Ｈ粜∏蚰苎匕疾圩杂上侣?則外力作用下繞在圓柱體側(cè)面的繩子的加速度為( )。

圖3

解析:取小球下滑一個螺距的過程為研究對象,將這段螺旋線展開為如圖4所示的直角三角形,其中兩直角邊分別為圓柱體的螺距h和圓柱體截面的周長πD,所以tanα=對小球有對繩子有答案為B。

點評:如果直接思考小球沿螺旋形凹槽下滑,將會無法下手,而采用展開法進(jìn)行分析,就豁然開朗了。

圖4

三、平拋運動的展開

例3如圖5所示,沿水平方向向一堵墻擲出一個彈性小球,拋出點O到水平面的高度為h,到墻壁的水平距離為s,小球與墻壁的碰撞時間極短,且碰撞時小球的動能不改變,碰后小球落在距墻壁2s的水平地面上,求小球從擲出點到落地點運動的時間及落地時的速度大小。

圖5

解析:小球和墻壁相碰的時間極短且無動能損失,則小球反彈后的速度大小不變且與水平方向間的夾角也不變,因此可以利用運動的對稱性將小球的運動軌跡展開如圖6所示。小球的水平總位移為3s,運動時間t=設(shè)小球落地時的速度為vt,則由動能定理得

圖6

點評:因為碰撞中無能量損失,所以小球的反彈速度與原速度關(guān)于墻對稱,這樣就可以將小球的運動軌跡展開用全程的平拋運動來求解了。

四、斜拋運動的展開

例4如圖7所示,在水平面上有兩個豎直光滑墻壁A和B,其間距為d,一個小球以初速度v0從兩墻壁之間的O點斜向上拋出,小球與墻壁A和B各發(fā)生一次碰撞后正好落回拋出點O,求小球的拋射角θ(結(jié)果可以用三角函數(shù)表示)。

解析:將小球在兩墻壁之間的運動軌跡展開,如圖8所示,則該運動是一完整的斜拋運動。小球的水平位移x=v0tcosθ,豎直位移小球落地時有x=2d,y=0,又有v0sinθ=gt,解得

圖7

圖8

點評:利用展開的思想將小球的運動軌跡轉(zhuǎn)變成一完整的斜拋運動的軌跡后,可以采用斜拋的解題思路,也可以將斜拋運動轉(zhuǎn)化成對稱的兩個平拋運動問題來處理。

五、電場和磁場中運動的展開

例5回旋加速器是用于加速帶電粒子、使之獲得高能量的裝量,其核心部分有兩個D型金屬扁盒,兩盒間的窄縫寬度為d,兩盒分別與高頻交變電源的兩極相接,兩盒間的電勢差大小恒為U,因而兩盒間窄縫區(qū)域形成電場強(qiáng)度大小不變,方向呈周期性變化的勻強(qiáng)電場。兩盒處在勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于盒面。設(shè)帶電粒子的最大回旋半徑為Rmax,試求帶電粒子在回旋加速器窄縫區(qū)域內(nèi)運動的時間。

解析:設(shè)粒子被加速后獲得的最大速率為vmax,粒子的電荷量為q,則由牛頓第二定律和圓周運動規(guī)律得粒子在回旋加速器的盒內(nèi)、盒間交替運動,且粒子在盒內(nèi)磁場中做勻速圓周運動,在盒間窄縫區(qū)域內(nèi)電場中做勻加速直線運動。粒子在回旋加速器中運動的速率—時間圖像如圖9甲所示,其中 Δt1、Δt2、Δt3…為粒子在兩盒間各段勻加速直線運動的時間。將圖9甲中與Δt1、Δt2、Δt3…對應(yīng)的運動“拆”出來,將速率—時間圖像進(jìn)行“合”處理,即“展開”如圖9乙所示。通過優(yōu)化組合可以等效模擬出一初速度為零、末速度為vmax的勻加速直線運動,該等效勻加速直線運動的時間與粒子在盒間窄縫區(qū)域內(nèi)的運動時間相等。設(shè)該等效勻加速直線運動的時間為t,則解得

圖9

點評:本題要求解出粒子在盒間窄縫內(nèi)不連貫運動時間的總和,因此需要先將粒子在盒間窄縫內(nèi)的運動“展開”構(gòu)建出一種有規(guī)律的、直觀的運動形式——勻加速直線運動,使所求問題得以簡化。

(責(zé)任編輯 張 巧)