迄今最大的梅森素?cái)?shù)

邵紅能

2300多年來(lái)，人類(lèi)僅發(fā)現(xiàn)49個(gè)梅森素?cái)?shù)。2016年1月7日，美國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)扃臧l(fā)現(xiàn)第49個(gè)梅森素?cái)?shù)，即2的74207281次方減1。這個(gè)超大素?cái)?shù)有22338618位，是目前已知的最大素?cái)?shù)。如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，它的長(zhǎng)度可超過(guò)65千米！這種素?cái)?shù)珍奇而迷人，因此被人們譽(yù)為 “數(shù)海明珠”。自梅森提出其斷言后，人們發(fā)現(xiàn)的已知最大素?cái)?shù)幾乎都是梅森素?cái)?shù)，因此尋找新的梅森素?cái)?shù)的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素?cái)?shù)的歷程。

梅森素?cái)?shù)是一種特殊的素?cái)?shù)。它是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一。自從在一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（簡(jiǎn)稱(chēng)GIMPS）項(xiàng)目的幫助下，梅森素?cái)?shù)的探究取得了重大進(jìn)展。其實(shí)，在探尋梅森素?cái)?shù)上，美國(guó)數(shù)學(xué)教授多次走在世界前列。發(fā)現(xiàn)已知的最大梅森素?cái)?shù)，是彰顯該國(guó)數(shù)學(xué)實(shí)力強(qiáng)盛的一個(gè)側(cè)面標(biāo)志。

目前，世界上有180多個(gè)國(guó)家和地區(qū)近27萬(wàn)人，參加了GIMPS的國(guó)際合作項(xiàng)目，并動(dòng)用超過(guò)70萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找梅森素?cái)?shù)。因此，僅從人力、物力方面來(lái)說(shuō)，梅森素?cái)?shù)已足夠火爆。美國(guó)天體物理學(xué)家、“鄧普頓獎(jiǎng)”得主斯坦利·杰基認(rèn)為，梅森是17世紀(jì)早期學(xué)術(shù)成果優(yōu)劣的最佳鑒定者。近幾年來(lái)，梅森素?cái)?shù)又頻頻出現(xiàn)在主流新聞媒體和學(xué)術(shù)刊物中。

梅森素?cái)?shù)的神秘誕生

1588年9月8日，梅森（1588-1648）出生在法國(guó)曼恩省瓦茲的一個(gè)工人家庭。他16歲時(shí)進(jìn)入耶穌會(huì)辦的學(xué)校學(xué)習(xí)，1609年從巴黎的索邦神學(xué)院畢業(yè)后任神職人員，1619年進(jìn)入拉農(nóng)西亞德女修道院教授神學(xué)和哲學(xué)。梅森具有很高的科學(xué)素養(yǎng)，其研究涉及聲學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、航海學(xué)和數(shù)學(xué)等多個(gè)學(xué)科，并有“聲學(xué)之父”的美稱(chēng)。

梅森是17世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，許多數(shù)學(xué)家都樂(lè)于將成果寄給梅森，然后憑借他廣泛的人際關(guān)系和熱情誠(chéng)摯的為人，在更多的人中傳播。梅森起到了科學(xué)交流的橋梁作用，被譽(yù)為“有定期數(shù)學(xué)雜志之前的數(shù)學(xué)交換站”。

1640年6月，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給梅森的一封信中寫(xiě)道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個(gè)非常重要的性質(zhì)。我自信它們將成為今后解決素?cái)?shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)?！边@封信討論了2n-1的數(shù)。數(shù)2n-1最早出現(xiàn)在歐幾里得《幾何原本》（公元前300年左右）第九章命題6中。梅森以此作為基礎(chǔ)，花4年時(shí)間研究、檢驗(yàn)了直至的全部數(shù)，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書(shū)中寫(xiě)道：“總結(jié)前人的工作和我個(gè)人的研究，可以得到結(jié)論：在n小于或等于257的數(shù)中，僅當(dāng)n=2、3、5、7、13、17、19時(shí)，2n-1是素?cái)?shù)外，并猜想n=31、67、127和257時(shí)，2n-1是素?cái)?shù)；對(duì)于n<257的其它數(shù)值，2n-1都是合數(shù)?！?/p>

梅森提出的大膽猜想， 大大縮短了尋覓最大素?cái)?shù)的驗(yàn)證范圍。梅森素?cái)?shù)的驗(yàn)證工作是十分艱辛與巨大的，n=31、67、127和257這幾個(gè)數(shù)比較龐大，其中最小的231-1=214748367也是近20多億的大數(shù)。正如梅森所推測(cè)：“一個(gè)人使用一般的驗(yàn)證方法，要檢驗(yàn)一個(gè)15位或20位的數(shù)字是否為素?cái)?shù)，即使花費(fèi)終生的時(shí)間也是不夠的！”

為了紀(jì)念他，在1897年瑞士蘇黎世舉行的首屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）上將“2p-1”型的素?cái)?shù)稱(chēng)為“梅森素?cái)?shù)”，并以Mp記之（其中為梅森姓氏的首字母）；如Mp果為素?cái)?shù)，則稱(chēng)之為“梅森素?cái)?shù)”。素?cái)?shù)又稱(chēng)“質(zhì)數(shù)”，是在大于1的整數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)（如2、3、5、7、11等）。2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就已證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。

梅森素?cái)?shù)是指形如2p-1的正整數(shù)，其中指數(shù)P是素?cái)?shù)，常記為Mp。這種特殊形式的素?cái)?shù)，具有獨(dú)特的性質(zhì)和無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)一直吸引著包括數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代和圖靈在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家。

梅森曾于1644年斷言：“267-1是個(gè)素?cái)?shù)?！泵飞ナ篮?，人們對(duì)其斷言深信不疑，連德國(guó)大數(shù)學(xué)家萊布尼茲和哥德巴赫都認(rèn)為它是對(duì)的。也許這是因?yàn)槊飞拿麣馓罅?，沒(méi)有人敢對(duì)其斷言表示懷疑。

不過(guò)，1930年在美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的年會(huì)上，數(shù)學(xué)家科爾作了一次精彩的“演講”，他提交的論文題目是“關(guān)于大數(shù)的因子分解”。在“演講”過(guò)程中，他始終一言不發(fā)，只默默地在黑板上進(jìn)行計(jì)算。他先算出267-1的結(jié)果，再算出193707721×761838257287的結(jié)果，兩個(gè)結(jié)果完全一樣。科爾是第一個(gè)否定了“267-1是個(gè)素?cái)?shù)”這一自梅森斷言以來(lái)一直被人們相信的結(jié)論的人。他的“演講”贏得了全場(chǎng)聽(tīng)眾起立鼓掌和齊聲喝彩。這個(gè)一言不發(fā)的演講成了科學(xué)史上的佳話。會(huì)后，人們問(wèn)科爾：“你花費(fèi)了多少時(shí)間來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題？”他靜靜地說(shuō)：“3年里的全部星期天?！焙髞?lái)，他當(dāng)選為美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。他去世后，該協(xié)會(huì)專(zhuān)門(mén)設(shè)立了“科爾獎(jiǎng)”，用于獎(jiǎng)勵(lì)作出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。

科爾的這場(chǎng)無(wú)言演講，為人們探索梅森素?cái)?shù)提供了有力的精神支持?？茽栕C明了M67是一個(gè)合數(shù)，從而否定了梅森說(shuō)M67是素?cái)?shù)的猜想，解放了數(shù)學(xué)家的思想，并掀起了研究梅森素?cái)?shù)的熱潮。

梅森素?cái)?shù)的搜尋歷程

在“筆算紙錄”的年代，人們歷盡艱辛才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。而計(jì)算機(jī)的誕生加速了人們探究梅森素?cái)?shù)的進(jìn)程。1946年，世界上第一臺(tái)計(jì)算機(jī)誕生了， 尋覓梅森素?cái)?shù)即最大素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家才從“手工作坊”里解放出來(lái)。

計(jì)算機(jī)的誕生和網(wǎng)格技術(shù)的出現(xiàn)，加速了梅森素?cái)?shù)探究的進(jìn)程。1952年，數(shù)學(xué)家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)，在幾個(gè)月內(nèi)就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：M521、M607、M1279、M2203和M2281。

此后，數(shù)學(xué)家們利用各種最新計(jì)算機(jī)產(chǎn)品，在巨大的天文數(shù)字運(yùn)算中，繼續(xù)尋覓梅森素?cái)?shù)。1983年10月到1985年10月的2年時(shí)間里，數(shù)學(xué)家史諾云斯基用最快的計(jì)算機(jī)又求得3個(gè)梅森素?cái)?shù)：M86243、M132091和M216091。1991年，有數(shù)學(xué)家又發(fā)現(xiàn)史諾云斯基漏掉的梅森素?cái)?shù)M110503。1992年3月，英國(guó)數(shù)學(xué)家宣布，在一臺(tái)巨型計(jì)算機(jī)Cray-2上又發(fā)現(xiàn)一個(gè)梅森素?cái)?shù)M796839，它有227832位數(shù)字，是當(dāng)時(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的最大一個(gè)素?cái)?shù)。若把這些數(shù)字印成書(shū)，可達(dá)180頁(yè)左右，不過(guò)這將是一本十分枯燥的書(shū)。

截至1992年，從1644年起的348年中，數(shù)學(xué)家共找到32個(gè)梅森素?cái)?shù)，平均每10年發(fā)現(xiàn)一個(gè)，其中在40年間利用計(jì)算機(jī)找到的有20個(gè)，與手工耗時(shí)308年才找到12個(gè)比，計(jì)算機(jī)是多么神速！

1996年初，美國(guó)數(shù)學(xué)家、程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供全球數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者免費(fèi)使用，這就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目。

1999年，為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)的電子新領(lǐng)域基金會(huì)（EFF），設(shè)立了專(zhuān)項(xiàng)獎(jiǎng)金懸賞參與GIMPS項(xiàng)目的梅森素?cái)?shù)發(fā)現(xiàn)者。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過(guò)100萬(wàn)位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬(wàn)美元。后面的獎(jiǎng)金依次為：找到超過(guò)1000萬(wàn)位數(shù)的頒發(fā)10萬(wàn)美元；找到超過(guò)1億位數(shù)的頒發(fā)15萬(wàn)美元；找到超過(guò)10億位數(shù)的頒發(fā)25萬(wàn)美元。不過(guò)，絕大多數(shù)人參與該項(xiàng)目并不是為了金錢(qián)，而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。

2000年4月6日，住在美國(guó)密歇根州普利茅茨的那揚(yáng)·哈吉拉特瓦拉得到了一筆5萬(wàn)美元的數(shù)學(xué)獎(jiǎng)金，因?yàn)樗业搅水?dāng)時(shí)已知的最大素?cái)?shù)：26972593-1?？墒?，哈吉拉特瓦拉先生并不是一個(gè)數(shù)學(xué)家，他甚至很可能對(duì)尋找梅森素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)理論都一無(wú)所知。他所做的一切，就是從互聯(lián)網(wǎng)上下載了一個(gè)程序。這個(gè)程序在他的這臺(tái)奔騰II350型計(jì)算機(jī)的空置時(shí)間悄悄地運(yùn)行。在經(jīng)過(guò)111天的計(jì)算后，這個(gè)梅森素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)了。2008年8月，美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專(zhuān)家史密斯發(fā)現(xiàn)了第46個(gè)，即243112609-1，它有12978189位數(shù)。如果用普通字號(hào)將這個(gè)巨數(shù)連續(xù)寫(xiě)下來(lái)，它的長(zhǎng)度超過(guò)50千米！這一成就被美國(guó)的《時(shí)代周刊》評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”的第29位。2009年6月15日，第47個(gè)梅森素?cái)?shù)被發(fā)現(xiàn)了，該素?cái)?shù)為“2的42643801次方減1”。這是一個(gè)巨大的數(shù)字，共有12837064位數(shù)。假設(shè)我們每一秒鐘寫(xiě)一個(gè)數(shù)字的話，要連續(xù)寫(xiě)近150個(gè)晝夜才能寫(xiě)完。

梅森素?cái)?shù)的遠(yuǎn)景展望

人們?yōu)槭裁匆獙ふ颐飞財(cái)?shù)？作為人類(lèi)智慧的結(jié)晶，梅森素?cái)?shù)的定義簡(jiǎn)單，卻又如此神秘莫測(cè)。2000多年來(lái)，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)代人的辛勤工作，才收集到49個(gè)梅森素?cái)?shù)。對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，收集梅森素?cái)?shù)和收藏家收集鉆石一樣富有樂(lè)趣。理論上的突破， 會(huì)帶來(lái)實(shí)踐的騰飛，解決梅森素?cái)?shù)猜想的過(guò)程中，可能誕生新學(xué)科、新數(shù)學(xué)思想方法；同時(shí)， 驗(yàn)證梅森素?cái)?shù)的工作，標(biāo)志著一個(gè)國(guó)家計(jì)算機(jī)的發(fā)展程度和功能的先進(jìn)性。

數(shù)論問(wèn)題中有許多關(guān)于素?cái)?shù)的問(wèn)題， 在吸引人們?nèi)ヌ剿鞯耐瑫r(shí)，又在磨礪著人類(lèi)的智慧。尋找梅森素?cái)?shù)，推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、密碼技術(shù)、網(wǎng)格技術(shù)和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展。由于梅森素?cái)?shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，因而許多科學(xué)家認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平。英國(guó)頂尖科學(xué)家馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究進(jìn)展，標(biāo)志著科學(xué)發(fā)展的里程碑。

我國(guó)數(shù)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家周海中是這方面研究的領(lǐng)先者，他運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式，為人們尋找這一素?cái)?shù)提供了方便。后來(lái)，這一重要成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。國(guó)際著名科普雜志《科學(xué)美國(guó)人（中文版）》2000年第6期刊登的一篇評(píng)論文章指出，“周氏猜測(cè)”是梅森素?cái)?shù)研究中的一項(xiàng)重大突破。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主阿特勒·塞爾伯格認(rèn)為：“‘周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開(kāi)創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法，其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。”

截至2016年9月，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了49個(gè)梅森素?cái)?shù)，其中通過(guò)GIMPS項(xiàng)目找到的有15個(gè)，發(fā)現(xiàn)者來(lái)自美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、加拿大和挪威。目前，世界上有180多個(gè)國(guó)家和地區(qū)的超過(guò)27萬(wàn)人參加了這一國(guó)際合作項(xiàng)目，并動(dòng)用了68萬(wàn)多臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素?cái)?shù)。這68萬(wàn)臺(tái)聯(lián)網(wǎng)計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力已超過(guò)當(dāng)今世界最先進(jìn)的超級(jí)矢量計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，運(yùn)算速度達(dá)到每秒800萬(wàn)億次。國(guó)際頂級(jí)雜志《自然》指出，GIMPS項(xiàng)目不僅會(huì)進(jìn)一步激發(fā)人們尋找梅森素?cái)?shù)的熱情，而且會(huì)引起人們對(duì)網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用研究的高度重視。

國(guó)際著名數(shù)學(xué)家希爾伯特有一句名言：“我們必須知道，我們必將知道?！睂ふ颐飞?cái)?shù)的大道，必定會(huì)越走越輝煌！