波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的求解

樊 龍

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037000)

波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的求解

樊 龍

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037000)

目的波動(dòng)方程求解通常采用的方法是波的反射原理以及Fourier級(jí)數(shù)法，前者通過(guò)計(jì)算波在邊界上反射的次數(shù)，寫(xiě)出相應(yīng)解的公式，缺點(diǎn)在于未得到一個(gè)統(tǒng)一公式，后者得出的解是較為復(fù)雜的Fourier級(jí)數(shù)形式，不利于體現(xiàn)波動(dòng)方程解的本質(zhì)特征。新的方法通過(guò)D’Alambert公式得出一維波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的通解公式。方法先對(duì)問(wèn)題的初邊值進(jìn)行相應(yīng)的奇偶性延拓，然后再利用D’Alambert公式得出問(wèn)題在相應(yīng)區(qū)域的顯式表達(dá)，即初邊值問(wèn)題的通解公式。結(jié)果通過(guò)D’Alambert公式以及函數(shù)的延拓，給出波動(dòng)方程混合問(wèn)題的通解公式。結(jié)論此種方法較前兩種更為直接明了且直觀，體現(xiàn)了波反射原理的本質(zhì)，通過(guò)D’Alambert公式和延拓的組合寫(xiě)出了一維波動(dòng)方程混合問(wèn)題的通解公式，結(jié)論具有一般性。

波動(dòng)方程；D’Alambert公式；延拓；通解

本文主要討論以下初值問(wèn)題：

(1)

波動(dòng)方程求解常用的方法是波的反射原理[1-6]以及分離變量法[7-9]，缺點(diǎn)在于波的反射原理只提及波經(jīng)過(guò)有限次的反射即可得到以上問(wèn)題的解，并未給出一般的表達(dá)式，而分離變量法給出的解為級(jí)數(shù)形式，不利于體現(xiàn)方程和解之間的聯(lián)系。本文利用D’Alambert公式，對(duì)初值函數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)延拓，直接給出方程在各個(gè)區(qū)域的解的顯示表達(dá)，進(jìn)一步完善了已有結(jié)果，且給出了通解公式。

1 主要結(jié)論

為了求解問(wèn)題(1)，首先考慮問(wèn)題的邊值，對(duì)于此類(lèi)自由邊界，采用文獻(xiàn)[1]中的方法，對(duì)初值φ(x),ψ(x)關(guān)于x=0,l做偶延拓，則函數(shù)的解必滿足邊界條件，具體過(guò)程在此省略。因此給出以下結(jié)論：

定理1：對(duì)于問(wèn)題(1)，對(duì)函數(shù)φ(x),ψ(x)對(duì)于點(diǎn)x=0,x=l均作偶延拓，即

2 結(jié)論證明

在證明定理1之前給出以下引理：

引理1：在定理1中延拓之后的函數(shù)Φ(x),Ψ(x)可表示為

(2)

(3)

證明：只需證明函數(shù)Φ(x)是關(guān)于x=0,x=l的偶函數(shù)，且最小正周期為2l。

當(dāng)0lt;xlt;l時(shí)，p=0，Φ(x)=φ(x)；

當(dāng)-1lt;xlt;0時(shí)，p=-1，Φ(x)=φ(-x)；

同理可得Ψ(x)也具有同樣形式，引理證畢。

下面開(kāi)始定理證明：

首先問(wèn)題(1)的解可用達(dá)朗貝爾公式表示

(4)

解中關(guān)于Φ(x)部分的表達(dá)式直接帶入即得：

接下來(lái)分析積分部分，此時(shí)將問(wèn)題分情況討論：

①n為偶數(shù)，m為偶數(shù)

由于ψ(x)是關(guān)于x=0,l的偶函數(shù)， 所以對(duì)于k∈Z有

進(jìn)而

②n為奇數(shù)，m為偶數(shù)

③n為偶數(shù)，m為奇數(shù)

④n為奇數(shù)，m為奇數(shù)

所以綜合可得

(5)

將(5)代入(4)，定理1證畢。

推論1：

①當(dāng)邊值條件為u(0,t)=0，u(l,t)=0，t≥0，解為

②當(dāng)邊值條件為ux(0,t)=0，u(l,t)=0，t≥0，解為

③當(dāng)邊值條件為u(0,t)=0，ux(l，t)=0，t≥0，解為

推論2：本文討論的邊界均為齊次情形，當(dāng)出現(xiàn)非齊次情況ux(0,t)=a(t),ux(l,t)=b(t)時(shí)，可對(duì)邊界做齊次化處理，即做如下變換：

代入后即得關(guān)于v(x,t)的齊次邊界問(wèn)題，其他邊界類(lèi)型也可做類(lèi)似處理，具體過(guò)程在此省略。

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[責(zé)任編輯：劉志媛英文編輯：劉彥哲]

SolutiontoInitialBoundaryProblemofa1DWaveEquation

FANLong

(School of Coal Engineering,Shanxi Datong University,Datong，Shanxi 037000，China)

ObjectiveThe most commonly used methods to solve 1D wave equation are the principle of reflection wave and Fourier series methods.By the former one,we can get corresponding solution formula by calculating the wave reflection on the boundary.But the shortcomings is that it is not a general solution.By the latter one,the solution of Fourier series form is complex,but the essential embodiment of wave equation is not reflected.The general solution to the initial boundary problem of one-dimensional wave equation is obtained by using D’Alambert formula.MethodsTaking corresponding extension of the initial boundary value problem,and then using the D’Alambert formula we get general solution of boundary value problem.ResultsThe general solution to the mixed problem of wave equation can be obtained by D’Alambert formula.ConclusionThis method is more straightforward and intuitive than the other ones in reflecting the essence of the principle of wave reflection.We can write the general solution formula of mixed problem of one-dimensional wave equation by the combination of the D’Alambert formula and the extension,and the conclusion is general.

wave equation;D’Alambert’s formula;extension;general solution

來(lái)稿日期：2016-12-14

樊龍(1989-)，男，山西忻州人，山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院助教，碩士，研究方向：偏微分方程。

O 175.27

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.11.002