理解數(shù)學(xué)準(zhǔn)確定位

何宏杰+劉博涵

摘要：2016年11月，在浙江四明中學(xué)舉行了同課異構(gòu)活動(dòng)，課題是人教A版高中數(shù)學(xué)必修一的《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》，針對課堂教學(xué)中出現(xiàn)的“不準(zhǔn)”“不精”“不簡”問題，現(xiàn)從“理解數(shù)學(xué)”入手對這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識作教材分析及教學(xué)建議，力求對本節(jié)的核心概念、思想方法的結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)有一個(gè)準(zhǔn)確定位。

關(guān)鍵詞：教材 定位 建議

一、教材分析

（一）概念的背景及外部聯(lián)系

理解數(shù)學(xué)就是了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的多元聯(lián)系。人們在研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，在一段連續(xù)的曲線上，曲線上的每個(gè)點(diǎn)都有相對應(yīng)的橫坐標(biāo)，而當(dāng)曲線的兩個(gè)端點(diǎn)處于X軸的上下區(qū)間時(shí)，曲線上的點(diǎn)必定會(huì)落在X軸上。

初中在研究一次函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，教材上對一次函數(shù)y=kx+b和一元一次方程kx+b=0的關(guān)系，二次函數(shù)和一元二次方程的根的關(guān)系進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，這些為學(xué)習(xí)這節(jié)課奠定了基礎(chǔ)。

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是新課標(biāo)教材必修一新增內(nèi)容第三章《函數(shù)與應(yīng)用》中第一節(jié)《函數(shù)與方程》的第一部分，出現(xiàn)在連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——零點(diǎn)存在性命題之中，是為后續(xù)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”服務(wù)的，通過用二分法求方程近似根將函數(shù)思想以及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系具體化.旨在加強(qiáng)對函數(shù)概念、函數(shù)思想的認(rèn)識與了解，同時(shí)也可使學(xué)生了解函數(shù)的算法，可以為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，有利于學(xué)生理解和吸收。在函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)中，需要通過函數(shù)圖像來表現(xiàn)，主要是因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒有連續(xù)函數(shù)的概念。所以只能依靠直觀圖像來“講道理”，在大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)零點(diǎn)存在性定理有嚴(yán)格的證明，它是證明介值定理的依據(jù)，也可以說是介值定理的特殊情形.因此這部分內(nèi)容是聯(lián)結(jié)初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁。

幾何直觀是理性認(rèn)識的基礎(chǔ)，可以通過函數(shù)圖像直觀表示函數(shù)零點(diǎn)的內(nèi)容，相比于函數(shù)零點(diǎn)求根公式來說要更重要，因此，在進(jìn)行函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)時(shí)，需要將函數(shù)圖象、性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，來考查學(xué)生分析問題解決問題的能力及學(xué)生的創(chuàng)新意識。

（二）內(nèi)容的地位與作用

理解數(shù)學(xué)就是掌握概念的邏輯意義，從而展現(xiàn)思想的準(zhǔn)確性。本章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，主要包括函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系以及函數(shù)零點(diǎn)的概念這三方面的內(nèi)容。

在本章節(jié)教學(xué)中，函數(shù)零點(diǎn)的概念并不是主要的教學(xué)內(nèi)容，只是為了學(xué)生能更加深刻的了解函數(shù)與方程之間的關(guān)系。從而進(jìn)一步理解函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

教材通過兩個(gè)問題將三個(gè)內(nèi)容進(jìn)行呈現(xiàn)。首先，教材以“思考”的欄目上提出第一個(gè)問題：“一元二次方程ax?+bx+c=0（a≠0）的根與二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象有什么關(guān)系？”，這個(gè)問題教材利用三個(gè)不同的一元二次方程，對其進(jìn)行求根，并制成函數(shù)圖像，表明與X軸之間的關(guān)系，歸納到一般情形。然后，給出函數(shù)零點(diǎn)概念，并將上述結(jié)論推廣到一般情形，符合從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律。

這個(gè)問題對學(xué)生來說，并不陌生，以北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)教材為例，在《二次函數(shù)和一元二次方程》這節(jié)中，已經(jīng)通過三個(gè)具體的二次函數(shù)及相對應(yīng)的一元二次方程得出結(jié)論：“二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒有交點(diǎn).與此相對應(yīng)，一元二次方程ax?+bx+c=0的根也有三種情況：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒有實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax?+bx+c=0的根”。因此，這段內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)并不困難.但是要注意的是給出函數(shù)零點(diǎn)之后，學(xué)生往往將“函數(shù)零點(diǎn)”和“方程的根”混為一談，認(rèn)為方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，在此要讓學(xué)生分清二者的區(qū)別和聯(lián)系。

教材用“探究”欄目提出第二個(gè)問題：“計(jì)算f（-2）和f（1）的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)乘積有什么特點(diǎn)？在區(qū)間[2，4]上是否也具有這種特點(diǎn)呢？”，得到結(jié)果為負(fù)值，并再次對學(xué)生進(jìn)行提問“同學(xué)們?nèi)我猱嫀讉€(gè)圖象，觀察圖象，看看是否能得出同樣的結(jié)果”；從而得出討論結(jié)果。

這種教學(xué)方法就是利用二次函數(shù)圖像，使學(xué)生了解函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖像之間的關(guān)系，并通過學(xué)生進(jìn)行自主舉例、自主研究，從而得出函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理。

在問題的設(shè)置上要緊緊圍繞課標(biāo)要求，從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)來進(jìn)行研究，把方程根與函數(shù)圖像聯(lián)系起來，在教學(xué)中，將原有知識與新知識形成聯(lián)系，研究的步驟是：具體函數(shù)——畫圖象——概括結(jié)論，研究的方法是“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與劃歸思想”，這種研究的步驟和方法具有一般性，是我們研究數(shù)學(xué)問題中比較常見的方法之一，其教學(xué)效率也比較高。

教材僅有一道例題，本道例題要通過函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理來解決問題。

在本節(jié)習(xí)題A、B組8道題中僅有一道習(xí)題涉及到函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，其余7道題涉及到二分法求方程的近似解.這種習(xí)題的配制體現(xiàn)了人教A版《函數(shù)與方程》內(nèi)容的編寫意圖：將重點(diǎn)放在“通過“二分法”求方程的近似解”上，零點(diǎn)存在性定理這個(gè)性質(zhì)是為“用二分法求方程近似解”服務(wù)的.這是人教A版教材和其它版本在處理《函數(shù)與方程》內(nèi)容上最本質(zhì)的區(qū)別，如人教B版將本節(jié)重點(diǎn)放在“理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，判定二次函數(shù)的零點(diǎn)，會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)?！保虼嗽诹?xí)題配制上，9道題中有8道是關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)問題，僅有一道涉及到二分法求方程的近似解。從以上可以看出，人教A版教材更注重培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)處理問題的意識及用聯(lián)系的觀點(diǎn)理解有關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（三）課標(biāo)要求及解讀

理解數(shù)學(xué)就是理解課標(biāo)所要求核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)建，及核心概念、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對這部分的要求是：在教學(xué)中要利用二次函數(shù)圖像，根據(jù)圖像來了解一元二次方程根的特點(diǎn)，并對函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系進(jìn)行了解。

課標(biāo)要求要由淺入深、循序漸進(jìn)的建立函數(shù)與方程的關(guān)系，遵循這個(gè)原則，需要通過以下幾點(diǎn)來展開教學(xué)：一是，從學(xué)生認(rèn)為較為簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立二者的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與其相應(yīng)方程的情形。二是，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數(shù)圖像和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。三是，在函數(shù)模型的應(yīng)用過程中，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系。endprint

同時(shí)，課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了通過函數(shù)圖象的直觀展示，讓學(xué)生了解有關(guān)原理和方法.因此，課標(biāo)引入本節(jié)課的內(nèi)容，旨在讓學(xué)生學(xué)習(xí)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系性，而在數(shù)學(xué)原理上沒有過高要求.

（四）教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

理解數(shù)學(xué)就是合理挖掘，適當(dāng)拓展數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的科學(xué)方法，理性精神等價(jià)值觀資源，以此制定教學(xué)目標(biāo)。

1.通過本課教學(xué)，要求學(xué)生理解并掌握方程的根與相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)將求方程根的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)問題；理解零點(diǎn)存在性定理，初步確定具體函數(shù)存在零點(diǎn)的區(qū)間。

2.正確理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，了解函數(shù)圖像連續(xù)不斷的意義；知道定理是函數(shù)存在零點(diǎn)的充分條件，了解函數(shù)零點(diǎn)可能不止一個(gè)。

3.能利用函數(shù)圖像與性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

4.能順利將一個(gè)方程求解問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)問題，并會(huì)判斷存在零點(diǎn)的區(qū)間（可使用計(jì)算器）。

本節(jié)的教學(xué)重難點(diǎn)是：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。

二、準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容

教師“理解數(shù)學(xué)”的目的是讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”，促使學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”主要通過課堂教學(xué)來完成，而有效的課堂教學(xué)的前提是準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容，從教學(xué)核心和重點(diǎn)上構(gòu)建教學(xué)過程、設(shè)計(jì)問題來引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

（一）整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容

準(zhǔn)確定位教學(xué)內(nèi)容首先要對所學(xué)知識進(jìn)行整體把握，從不同角度認(rèn)識高中數(shù)學(xué)知識，用全面的眼光去看待教學(xué)中的每一個(gè)知識點(diǎn)，了解其存在的意義和價(jià)值，只有這樣才有助于削枝強(qiáng)干，掌握通性通法，抓住本質(zhì)，明確本節(jié)的重心.很多老師在授課時(shí)，常常將重點(diǎn)過多放在大量習(xí)題或課件及視頻的制作上，進(jìn)而產(chǎn)生了很多問題，這就是對內(nèi)容把握不到位造成的。

同時(shí)，本節(jié)課作為章節(jié)起始課，要在引入上下功夫，讓學(xué)生整體了解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，明確學(xué)習(xí)要達(dá)成的目標(biāo)、認(rèn)識所學(xué)內(nèi)容的價(jià)值和作用，對全章內(nèi)容有一個(gè)整體的認(rèn)識，有助于建構(gòu)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)。

（二）重點(diǎn)突出，忌舍本求末

在進(jìn)行函數(shù)應(yīng)用教學(xué)時(shí)，要著重對函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系和函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理這部分內(nèi)容的講解。函數(shù)思想是本章的一個(gè)主線，而函數(shù)零點(diǎn)的概念的作用是服務(wù)于進(jìn)一步認(rèn)識二者之間關(guān)系的.有些老師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，往往設(shè)置一系列求函數(shù)零點(diǎn)的問題，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成方程求解，以鞏固函數(shù)零點(diǎn)的概念.這種設(shè)計(jì)偏離了教材的意圖和本節(jié)課的目的.另外，還有些老師常把教材上有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)和方程根的關(guān)系改成“方程有幾個(gè)根，函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)。”一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)是一個(gè)還是兩個(gè)零點(diǎn)，說法不一，人教B版指出“有一個(gè)二重的零點(diǎn)或說有二階零點(diǎn)”。因此不要隨意改變教材的結(jié)論，也不要在此過分糾纏。

（三）關(guān)注問題的探究過程

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識之中，數(shù)學(xué)知識的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要載體.教材中的兩個(gè)問題，在教學(xué)中要讓學(xué)生進(jìn)行交流和探究，尤其是作為難點(diǎn)的函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理問題的探究，如何引導(dǎo)學(xué)生把“函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間（a，b）內(nèi)經(jīng)過x軸”轉(zhuǎn)化為f（a）f（b）<0，并得到函數(shù)存在性定理，明確定理是函數(shù)零點(diǎn)存在的充分不必要條件，這需要教師精心設(shè)計(jì)一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和探索，并在這個(gè)過程中還要讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，畫一些函數(shù)的圖象，通過對函數(shù)圖象的觀察、猜測、推理及學(xué)生之間交流和反思來得到結(jié)論。讓學(xué)生經(jīng)歷定理的形成過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題的方式，來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（四）發(fā)揮課本例題和習(xí)題的功能

課本的習(xí)題和練習(xí)題的設(shè)計(jì)都有深刻的用意，在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要引起重視。

教材中的例1，求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).是要讓學(xué)生利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，這是本節(jié)課的課時(shí)目標(biāo)之一。

教材配制的練習(xí)題第一題要求利用函數(shù)圖象判斷方程根的情況，四個(gè)小題都是一元二次方程，但作用各不相同，第（1）小題是直接轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)問題，（2）（3）（4）要讓學(xué)生會(huì)將一個(gè)方程求解問題通過等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問題，這應(yīng)作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。這個(gè)過程中學(xué)生可能轉(zhuǎn)化的函數(shù)會(huì)不相同，同時(shí)這三個(gè)小題分別對應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根和無實(shí)數(shù)根的情形.涵蓋了二次函數(shù)圖象的每一種情況。

練習(xí)第二題需借助信息技術(shù)作圖象，并指出函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，目的旨在利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理解決問題，也為下一節(jié)“二分法求方程的近似解”進(jìn)行鋪墊，起到了承上啟下的作用。這兩個(gè)練習(xí)都要求利用圖象來解決問題，讓學(xué)生感受圖形在解決問題中的作用。

（五）重視信息技術(shù)的作用

利用信息技術(shù)畫出函數(shù)圖象，使復(fù)雜和抽象的函數(shù)解析式得到直觀體現(xiàn)，有助于幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本節(jié)課例1和練習(xí)2的設(shè)置，都需要使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)來解決問題。在教學(xué)中，要讓學(xué)生動(dòng)手操作，使用計(jì)算器獲取數(shù)據(jù)，有條件還可以讓學(xué)生使用圖形計(jì)算器來畫出函數(shù)圖象，來提高學(xué)生收集數(shù)據(jù)、提出信息、進(jìn)行分析得出結(jié)論的能力及利用圖象直觀，分析數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題的能力。

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[3]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1（B版）[M].北京：人民教育出版社，2014.endprint