非線性和隨機效應(yīng)的加速退化過程建模方法

吳曉輝, 蔡忠義, 李全祥

(1.中國飛行試驗研究院,陜西 西安 710089; 2.空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院,陜西 西安 710051)

非線性和隨機效應(yīng)的加速退化過程建模方法

吳曉輝1, 蔡忠義2, 李全祥1

(1.中國飛行試驗研究院,陜西 西安 710089; 2.空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院,陜西 西安 710051)

針對加速退化試驗場合下具有非線性、隨機效應(yīng)的退化數(shù)據(jù),文章采用線性Wiener過程,研究了一種加速退化過程建模方法。采用時間尺度模型,對非線性退化數(shù)據(jù)進行線性變換;將Wiener過程的漂移系數(shù)隨機化處理,研究了考慮隨機效應(yīng)的退化過程建模;根據(jù)所收集的步進加速退化數(shù)據(jù),采用兩步極大似然估計法確定未知參數(shù)。實例分析結(jié)果驗證了該文所提方法的合理性。

Wiener過程;加速退化建模;可靠性評估;非線性;隨機效應(yīng)

隨著加速試驗技術(shù)的快速發(fā)展,利用加速退化建模技術(shù),獲取產(chǎn)品性能退化數(shù)據(jù),外推產(chǎn)品可靠性信息成為可靠性工程領(lǐng)域的研究熱點[1]。Wiener過程是一種隨機過程模型,能較好地描述產(chǎn)品的真實退化過程,反映了產(chǎn)品退化過程中的隨機性和非線性。當(dāng)產(chǎn)品的性能退化過程呈現(xiàn)出總體均勻變化,而個體之間的隨機效應(yīng)隨時間增加而逐步增大時,都可用Wiener過程來描述[2-3]?；赪iener過程的退化建模需研究以下問題:

(1) 處理非線性數(shù)據(jù)。主要解決方法是進行坐標變換,將非線性數(shù)據(jù)組變換為線性數(shù)據(jù)組。Whitmore最早提出2類時間尺度變換模型來解決Wiener過程在非線性退化數(shù)據(jù)建模中的問題,實例表明了模型具有較好的實用性[4]。文獻[5-7]在此基礎(chǔ)上,進一步開展了基于非線性Wiener過程的加速退化數(shù)據(jù)建模與應(yīng)用研究。

(2) 體現(xiàn)個體退化過程的隨機效應(yīng)。因為產(chǎn)品在制造、材料以及環(huán)境中受隨機因素的影響而表現(xiàn)出個體之間存在一定的差異性,成為隨機效應(yīng)，所以需要研究隨機效應(yīng)對產(chǎn)品退化建模的影響，主要解決方法是對Wiener過程的系數(shù)進行隨機化處理。文獻[8]對Wiener過程的2個系數(shù)都進行隨機化處理,通過最大期望(expectation maximization,EM)算法來估計參數(shù),但計算復(fù)雜,難以推廣;文獻[9-10]僅將Wiener過程的漂移系數(shù)看作服從正態(tài)分布的隨機變量,給出了考慮個體差異的產(chǎn)品壽命模型,模型擬合性好,便于計算。

針對上述問題,本文采用時間尺度模型將步進應(yīng)力加速退化試驗場合的非線性退化數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為線性數(shù)據(jù),將Wiener過程的漂移系數(shù)隨機化處理,建立考慮隨機效應(yīng)的加速退化過程模型,采用兩步極大似然估計法確定模型中的未知參數(shù)。

1 基于Wiener過程的退化模型

1.1 線性Wiener退化模型

假設(shè)產(chǎn)品的退化過程服從一元線性Wiener過程,表達式為:

X(t)=λt+σB(t)

(1)

其中,λ為漂移系數(shù),一般用于描述產(chǎn)品個體之間的退化差異;σ為擴散系數(shù);B(t)為標準布朗運動,用于描述產(chǎn)品退化量隨時間變化的差異。

經(jīng)推導(dǎo)可知[9],產(chǎn)品首次到達失效閾值l的壽命服從逆高斯分布,則產(chǎn)品壽命的可靠度和概率密度函數(shù)分別為:

(2)

(3)

1.2 非線性和隨機效應(yīng)的退化模型

對于非線性退化數(shù)據(jù),可采用數(shù)據(jù)變換模型,將非線性數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為線性數(shù)據(jù)。Whitmore首次提出了時間尺度模型應(yīng)為時間的非負單調(diào)遞增函數(shù),常見模型為:

模型Ⅰτ=Λ(t)=tc,c為非負待定常數(shù);

模型Ⅱτ=Λ(t)=exp(ct)-1。

(4)

令τ=Λ(t),則考慮隨機效應(yīng)的產(chǎn)品壽命的可靠度和概率密度函數(shù)為:

(5)

(6)

2 考慮隨機效應(yīng)的加速模型

對于加速試驗而言,一般認為Wiener過程的漂移系數(shù)λ與應(yīng)力S有關(guān),則溫度應(yīng)力Si下加速模型[7]為:

λi=aexp(-b/Si)

(7)

其中,λi為溫度應(yīng)力Si(i=1,2,…,N)下漂移系數(shù);a,b為待定常數(shù)。

(8)

(9)

3 步進加速退化過程建模

3.1 加速退化試驗過程

根據(jù)步進加速試驗方案,預(yù)先確定一組高于額定應(yīng)力S0的加速應(yīng)力S1

圖1 步進加速退化試驗過程

3.2 各加速應(yīng)力下退化數(shù)據(jù)關(guān)系模型

(10)

其中,λi為應(yīng)力Si(i=1,2,…,N)下漂移系數(shù)。

(11)

4 參數(shù)估計

針對經(jīng)時間尺度模型變換后的考慮隨機效應(yīng)的線性退化數(shù)據(jù)[τ,X(τ)],由線性Wiener過程性質(zhì)可知：

(12)

(13)

根據(jù)(12)式,建立加速退化數(shù)據(jù)的對數(shù)似然函數(shù)如下:

(14)

其中,φ(·)為標準正態(tài)分布的概率密度。

采用時間尺度模型Ⅰ,將τ=tc和(9)式一并代入(14)式,可得:

(15)

其中,Θ={aj,b,c,σ2}(j=1,2,…,M)為未知參數(shù)集合。

(16)

5 實例分析

已知激光器以電流為其性能特征參數(shù),在工作過程中對溫度應(yīng)力影響較為敏感,其性能退化速度與溫度之間的關(guān)系符合Arrhenius模型。激光器的正常工作溫度為25 ℃,現(xiàn)有8個試樣進行步進應(yīng)力加速退化試驗,步進溫度應(yīng)力分別為25、50、75 ℃,每個溫度應(yīng)力下分別測量5次數(shù)據(jù),每次測量時間間隔為150 h。當(dāng)激光器工作電流增加量達到規(guī)定閥值(l=10 mA)時,可認定其退化失效。

針對文獻[11]中的激光器退化試驗數(shù)據(jù),將文獻[9]的產(chǎn)品參數(shù)值記為真實值,經(jīng)仿真得到的性能退化數(shù)據(jù)如圖2所示。本文提出的非線性和隨機效應(yīng)退化建模方法記為M1,將文獻[9]提出的只考慮隨機效應(yīng)的退化建模方法記為M2。

圖2 8個步進應(yīng)力加速退化數(shù)據(jù)樣本

(1) 模型優(yōu)劣判斷準則。依據(jù)赤池信息量準則(Akaike information criterion,AIC)和總體均方誤差(total mean square error,TMSE)來判斷M1和M2的優(yōu)劣,公式如下:

AIC=2p-2lnL(Θ)

(17)

其中,p為Θ中未知參數(shù)的個數(shù);lnL(Θ)為fminsearch函數(shù)所取的最小值。

(18)

其中,q為所取的測量點個數(shù);F0(ti)為ti處的壽命分布函數(shù)真實值;F(ti)為ti處的壽命分布函數(shù)的模型估計值。

(2) 兩步似然估計結(jié)果。令A(yù)rrhenius模型中參數(shù)b的初值為2 600,時間尺度模型Ⅰ中參數(shù)c的初值為1,采用Matlab中的fminsearch函數(shù)進行遍歷搜索,求得未知參數(shù)Θ見表1所列。

(3) 可靠性評估結(jié)果。根據(jù)本文所建的模型,將表1中參數(shù)值代入(5)式,計算出不同方法下可靠度函數(shù),如圖3所示;同時計算出Wiener過程的漂移系數(shù)、擴散系數(shù)以及產(chǎn)品壽命的點估計值平均失效前時間(mean time to failure,MTTF)和置信度為95%的區(qū)間估計CI(confidence interval),見表2所列。從評估結(jié)果看,M1的點估計值更接近于真實值,其置信度為95%的區(qū)間長度更窄,說明M1的評估結(jié)果比M2更準確。

表1 兩步似然估計結(jié)果

圖3 不同方法下可靠性曲線

表2 不同方法的評估結(jié)果

(4) 模型優(yōu)劣判斷。分別計算出2種方法的AIC值,發(fā)現(xiàn)M1的AIC較小,說明M1的模型擬合性更好;在0～10 000 h內(nèi)分別取10、100、1 000個測量點,計算2種方法的TMSE值,結(jié)果見表3所列。由表3可知,M1的TMSE值始終更小一些,說明M1的壽命估計值更接近真實值。

表3 不同方法的TMSE和AIC值

6 結(jié) 論

本文在步進應(yīng)力加速退化試驗場合下,采用線性Wiener過程,研究了非線性和隨機效應(yīng)的加速退化過程建模方法;為了體現(xiàn)出個體退化的隨機效應(yīng),將Wiener過程中的漂移系數(shù)隨機化處理并假定為正態(tài)分布,這種處理方法比傳統(tǒng)未考慮個體差異的方法更優(yōu);優(yōu)先采用時間尺度模型對非線性退化數(shù)據(jù)進行線性化處理,使得處理后的數(shù)據(jù)更符合Wiener過程特性,說明本文方法比未進行線性數(shù)據(jù)變化的方法擬合效果更優(yōu),這從兩者的AIC、TMSE值可以看出。

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Modelingmethodfornonlinearaccelerateddegradationprocesswithrandomeffect

WU Xiaohui1, CAI Zhongyi2, LI Quanxiang1

(1.Chinese Flight Test Establishment, Xi’an 710089, China; 2.College of Equipment Management and Safety Engineering, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Aiming at degradation data with nonlinearity and random effect under step-stress accelerated degradation test, linear Wiener process is used to study the modeling method for accelerated degradation process. Time scale model is used to change nonlinear data into linear data. Draft coefficient of Wiener process is regarded as a random variable and the degradation process modeling with random effect is studied. Two-step maximum likelihood estimation method is used to derive the unknown parameters based on the collected step-stress accelerated degradation data. The rationality of the presented method is verified by an example.

Wiener process; accelerated degradation modeling; reliability assessment; nonlinearity; random effect

2016-06-07；

2016-11-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(71601183);陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2014JQ2-7045)

吳曉輝(1981-),男,陜西咸陽人,中國飛行試驗研究院高級工程師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.10.003

TB114.3

A

1003-5060(2017)10-1308-05

(責(zé)任編輯 胡亞敏)