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    利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

    2017-11-22 21:28:30胡世博
    未來(lái)英才 2017年22期
    關(guān)鍵詞:直線(xiàn)距離

    胡世博

    摘要:在數(shù)學(xué)中,求證點(diǎn)到直線(xiàn)距離的公式具有多種方式,本文主要研究通過(guò)導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行探討。

    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì);正交向量形式;點(diǎn);直線(xiàn);距離

    導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的本質(zhì)就是瞬時(shí)變化,其是微積分中的基礎(chǔ)概念,并且尤為重要,其主要是通過(guò)極限概念實(shí)現(xiàn)函數(shù)局部的線(xiàn)性逼近,比如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中,物體位移相對(duì)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)就是物體的瞬時(shí)速度,導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是函數(shù)圖像中的斜率值。正交向量指的是二維或者三維空間中兩個(gè)或者三個(gè)向量為90°,正交向量的幾何就是正交向量組。在數(shù)學(xué)中,導(dǎo)數(shù)及正交向量是尤為重要的概念,在學(xué)習(xí)過(guò)程中要重視從多方面對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行理解。通過(guò)導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)及正交向量性質(zhì)對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)距離進(jìn)行探究,主要是將正交向量積和方程導(dǎo)數(shù)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)的。基于此,本文就講此過(guò)程詳細(xì)的進(jìn)行論述。數(shù)學(xué)中,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式有很多求證方法,這里是一種利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的方法,將“方程導(dǎo)數(shù)”、“正交向量積”結(jié)起來(lái),探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

    一、導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能

    數(shù)學(xué)中,導(dǎo)數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí),因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí),稱(chēng)這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分??蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù),不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

    導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過(guò)程,導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。

    二、對(duì)圓的方程求導(dǎo)的數(shù)學(xué)意義

    在平面內(nèi),設(shè)圓心O的坐標(biāo)為(a1,b1), 圓的半徑為r, 則,圓的方程為:(xa1)2+(y- b1) 2=r2 ----------------①式

    我們不是一般性地將①式視為,動(dòng)點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(a1,b1)的距離d的函數(shù)特殊情況(此時(shí),距離d為常數(shù)r)。

    距離d的函數(shù)f(d)= f(x,y)=(x- a1)2+(y- b1) 2---------②式

    對(duì)①式、②式進(jìn)行求導(dǎo),則有,

    f/(d)= f/(x,y)=2(x- a1)·(x- a1)/+2(yb1) ·(y- b1) /=0

    化簡(jiǎn)則有,(x- a1)·(x- a1)/+(y- b1) ·(yb1) /=0 -----③式

    即:(x- a1)·x/+(y- b1) ·y/=0 ----------------④式

    x·x/+y·y/= a1·x/+ b1 ·y/

    觀(guān)察③式、④式,可以視為:向量OM與向量n正交。

    其中,過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)、圓心O(a1,b1)的半徑向量OM【記作:向量OM=((xa1),(y- b1))】

    過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的切線(xiàn)向量n【記作:向量n=((x- a1)/,(y- b1) /)】

    三、根據(jù)正交向量的性質(zhì)求索直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)最小距離

    我們?cè)O(shè)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的切線(xiàn)方程的一般式為 :

    A x+B y+C=0 ---------------⑤式

    因?yàn)榍芯€(xiàn)與圓的半徑正交,則有OM半徑向量=( A, B)

    根據(jù)向量?jī)?nèi)積其數(shù)學(xué)意義:本向量模長(zhǎng)與“彼向量模長(zhǎng)在本向量模長(zhǎng)上投影長(zhǎng)”的乘積,且有OM·n=|OM||n|cosθ。

    于是則,|OM·n|≦|OM||n|| cosθ|

    取等號(hào)時(shí)即為圓心到切線(xiàn)的最小距離。

    最小

    參考文獻(xiàn)

    [1] 蘇懷堂, 韓靜波. 高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)幾何意義的妙用[J]. 新課程·下旬, 2015(11).

    [2] 王楠. 利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)功能和正交向量的性質(zhì)探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離[J]. 中學(xué)生數(shù)理化:學(xué)研版, 2017(5):47-47.

    [3] 李紅武, 王驍力. 空間直線(xiàn)的向量表示及其在求點(diǎn)到空間直線(xiàn)距離的應(yīng)用[J]. 南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 8(3):24-26.endprint

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