用位移法中“典型方程、轉(zhuǎn)角位移方程”的觀點(diǎn)進(jìn)行彎矩分配的解釋

陳百鳴

(富?？h水務(wù)局，黑龍江 富裕 161200)

用位移法中“典型方程、轉(zhuǎn)角位移方程”的觀點(diǎn)進(jìn)行彎矩分配的解釋

陳百鳴

(富?？h水務(wù)局，黑龍江 富裕 161200)

針對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法中典型方程與轉(zhuǎn)角位移方程的應(yīng)用,根據(jù)長(zhǎng)期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和體會(huì),分析概括了位移法解決超靜定結(jié)構(gòu)的基本途徑、典型方程的物理意義，以及彎矩分配計(jì)算等基本概念,最后給出了在位移法典型方程解釋彎矩分配法中的彎矩分配過(guò)程和位移法“轉(zhuǎn)角位移方程”彎矩分配中力矩傳遞過(guò)程的解釋。

位移法；轉(zhuǎn)角位移方程；超靜定結(jié)構(gòu)；彎矩分配

1 位移法的基本途徑

對(duì)于力法解決超靜定結(jié)構(gòu)需要聯(lián)立多元一次方程組，計(jì)算之復(fù)雜性是顯而易見(jiàn)的，特別是用力法計(jì)算較復(fù)雜的剛架時(shí)尤為繁瑣，往往要聯(lián)立六元以上方程組。這樣就迫使我們尋求新的途徑解決計(jì)算這一新課題，在認(rèn)識(shí)解決一項(xiàng)新課題之前，總是設(shè)法尋求一個(gè)解決問(wèn)題的新途徑，在這里，聯(lián)想力法的思想方法就是遵循從已知到未知的過(guò)程，就是把新課題經(jīng)過(guò)一系列的假定轉(zhuǎn)化為老問(wèn)題，進(jìn)而解決。在力法處理超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，是將復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)去掉多余聯(lián)系后變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)來(lái)處理，那么對(duì)于較復(fù)雜的剛架來(lái)講，究竟采取什么樣的途徑是仍需要解決的問(wèn)題，我們知道超靜定剛架是由若干個(gè)兩端可轉(zhuǎn)動(dòng)的固定端單跨超靜定梁[1](這與實(shí)際工程中單跨超靜定是不符的，為了尋求解決問(wèn)題的途徑做這樣的假定)所組成的，采取各個(gè)擊破的辦法分別計(jì)算每個(gè)單獨(dú)桿件的端內(nèi)力，再組合起來(lái)便為剛架整體結(jié)構(gòu)的內(nèi)力值。那么這個(gè)單獨(dú)桿件的端內(nèi)力又如何計(jì)算呢？對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不僅與外荷載有關(guān)，而且還與其形變有關(guān)，整體結(jié)構(gòu)的形變引起整體結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，經(jīng)過(guò)分析得出關(guān)系式(1)、式(2)，即單獨(dú)桿件的端內(nèi)力與其形變存在下列關(guān)系：

(1)

(2)

此關(guān)系式在結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱為轉(zhuǎn)角位移方程，該方程給定了桿端力矩與桿端位移的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)角位移方程計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)各桿件的內(nèi)力，進(jìn)而求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力值，此方程是用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的紐帶。方程右邊第一項(xiàng)固端力矩是假想單跨超靜定梁在外力作用下產(chǎn)生的約束力矩，該值可用力法求解。為了計(jì)算上的簡(jiǎn)便，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中已列表給定了各種單跨超靜定梁的內(nèi)力值，方程右邊第二項(xiàng)是桿端發(fā)生位移所需要的力矩，經(jīng)過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化，問(wèn)題的關(guān)系歸結(jié)為如何求出各單跨超靜定梁的桿端位移，一旦求出各桿端的位移就不難求得其桿端內(nèi)力，如何求得各桿端的位移，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題仍要聯(lián)想到力法如何求得多余未知力，在力法求解未知力的途徑是將基本體系恢復(fù)到原結(jié)構(gòu)狀態(tài)，恢復(fù)條件是結(jié)構(gòu)形變的連續(xù)條件，即各多余聯(lián)系處的形變?yōu)榱?。通過(guò)這個(gè)條件建立力法典型方程，通過(guò)方程組求解多余未知力，同樣試圖用力法典型方程的途徑來(lái)解決問(wèn)題的思想方法，通過(guò)建立位移法典型方程來(lái)求解未知位移，經(jīng)過(guò)分析，超靜定剛架的各彈性結(jié)點(diǎn)雖然在外力作用下發(fā)生了絕對(duì)變位，但不存在相對(duì)位移，用力矩觀點(diǎn)解釋即剛架各彈性結(jié)點(diǎn)的力矩代數(shù)和等于零，以這個(gè)平衡條件來(lái)建立方程即可計(jì)算出未知位移，這個(gè)方程即為位移法典型方程，即：

Qr+RP=0

(3)

式中：Qr是某彈性結(jié)點(diǎn)的各相鄰桿端發(fā)生Q角位移所施加的力矩；RP是外力作用下某結(jié)點(diǎn)處由于加剛臂所產(chǎn)生的約束力矩。建立方程的條件是將基本體系恢復(fù)到原結(jié)構(gòu)狀態(tài)，典型方程(3)從物理意義上講：是某一彈性結(jié)點(diǎn)在剛臂約束下、在外力作用下產(chǎn)生的抵抗力矩，經(jīng)過(guò)原結(jié)構(gòu)狀態(tài)的恢復(fù)完全消耗在該彈性結(jié)點(diǎn)相鄰各桿端發(fā)生絕對(duì)位移的過(guò)程中，即此抵抗力矩等于使該彈性結(jié)點(diǎn)相鄰桿件產(chǎn)生絕對(duì)位移的力矩，對(duì)于多個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)可聯(lián)立方程組，對(duì)每個(gè)可位移的彈性結(jié)點(diǎn)分別列典型方程，組成方程組，解此典型方程求得未知位移，根據(jù)求得的位移值，利用轉(zhuǎn)角位移方程計(jì)算出桿端彎矩，再進(jìn)行組合。這就是位移法的基本思想方法，也是用位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的基本途徑。

2 轉(zhuǎn)角位移方程、典型方程的物理意義

2.1 轉(zhuǎn)角位移方程

轉(zhuǎn)角位移方程表達(dá)為：

(4)

(5)

對(duì)于轉(zhuǎn)角位移方程的直接解釋：好比當(dāng)外力施加在人體上，試圖將人搬倒，當(dāng)人體抵抗外力不想傾倒，則此人體所承受的外力矩最大，假如此人不抵抗外力或者少抵抗外力，順勢(shì)沿外力方向倒去或發(fā)生一定位移(折角)，此時(shí)人體所承受的外力矩就相應(yīng)減小或等于零(人體完全倒下，則人體承受力矩為零)，轉(zhuǎn)角位移方程完全揭示了超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形的函數(shù)關(guān)系。

2.2 位移典型方程

方程式(3)即為位移法中典型方程的基本型式，當(dāng)桿端假想固定時(shí)桿端的抵抗力矩，從力法典型方程看是通過(guò)典型方程的建立，使基本體系完全恢復(fù)到原結(jié)構(gòu)狀態(tài)的過(guò)程，建立方程的條件是連續(xù)條件(即超靜定結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件)即各多余聯(lián)系處變位等于零。關(guān)于此位移法的典型方程的建立，同樣由基本體系恢復(fù)原結(jié)構(gòu)實(shí)際狀態(tài)的過(guò)程，恢復(fù)條件是每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)的力矩代數(shù)和等于零，根據(jù)這個(gè)條件對(duì)每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)列典型方程，故典型方程的物理意義是超靜定結(jié)構(gòu)的每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)不存在相對(duì)位移，正是由于這個(gè)條件，用力矩觀點(diǎn)解釋即每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)力矩代數(shù)和等于零。

3 從彎矩分配法的思想方法看位移法兩方程在彎矩分配上的解釋

3.1 彎矩分配法的思想方法

對(duì)于力法與位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，均采取聯(lián)立方程組法求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力，盡管位移法的未知位移比起力法的未知力數(shù)目少，但對(duì)于復(fù)雜的超靜定結(jié)構(gòu)來(lái)講，仍然克服不了兩種方法的弱點(diǎn)——多元方程組。這樣不僅需花費(fèi)大量的工作，而且求解時(shí)不可避免的發(fā)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，這樣就迫使我們尋求更為簡(jiǎn)捷的辦法，根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程的物理意義，當(dāng)外荷載作用于超靜定結(jié)構(gòu)上時(shí)，由于外力作用，結(jié)構(gòu)的各彈性結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生一定的力矩，而這個(gè)力矩將使該彈性結(jié)點(diǎn)相鄰的各桿件發(fā)生一定的位移(轉(zhuǎn)角或線位移)，當(dāng)以剛臂對(duì)彈性結(jié)點(diǎn)加以約束時(shí)，剛臂在外力作用下產(chǎn)生了抵抗位移的抵抗力矩，而當(dāng)結(jié)構(gòu)處于實(shí)際變形的狀態(tài)下，則抵抗力矩完全消耗在彈性結(jié)點(diǎn)的位移過(guò)程中。在外力作用下，各桿件所獲得的力矩值與桿件剛度有關(guān)，故彈性結(jié)點(diǎn)各相鄰桿件所獲得的力矩按剛度進(jìn)行分配。根據(jù)這個(gè)原理過(guò)程，采取了逐步地、循序漸近地將基本體系恢復(fù)為原結(jié)構(gòu)狀態(tài)，求解各桿件的桿端力矩，該思想方法即是彎矩分配法的中心。它所遵循的原則是分配力矩、傳遞力矩、再分配再傳遞，直至收斂完畢。從力平衡的觀點(diǎn)解釋是不平衡達(dá)到平衡，再不平衡直至收斂平衡為止。它的基本要素是將外力引起的固端力矩進(jìn)行分配，分配的彎矩進(jìn)行傳遞，最終進(jìn)行疊加。

3.2 典型方程、轉(zhuǎn)角位移方程在彎矩分配法過(guò)程中的解釋

3.2.1 用位移法典型方程解釋彎矩分配法中的彎矩分配過(guò)程

前面對(duì)位移法典型方程的物理意義已做了說(shuō)明，超靜定結(jié)構(gòu)在外力作用下，各彈性結(jié)點(diǎn)僅發(fā)生絕對(duì)位移，不存在相對(duì)位移[3]，確切一點(diǎn)講，超靜定結(jié)構(gòu)在外力作用下，各彈性結(jié)點(diǎn)仍保持原有的相對(duì)幾何形狀，不發(fā)生相對(duì)位移，這樣就提供了一個(gè)條件——每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)在外力作用下所承受的力矩等于假想剛臂約束的約束力矩，即總力矩代數(shù)和等于零，當(dāng)剛臂放松的時(shí)候剛臂的抵抗力矩完全消耗于各彈性結(jié)點(diǎn)的絕對(duì)變形過(guò)程中。

對(duì)于彎矩分配法中彎矩分配過(guò)程，即是將外力引起的彈性結(jié)點(diǎn)上的剛臂約束力矩按彈性結(jié)點(diǎn)相鄰各桿的剛度進(jìn)行一次分配(從廣義上講其他各彈性結(jié)點(diǎn)在外力作用下，發(fā)生了變形導(dǎo)致對(duì)該彈性結(jié)點(diǎn)的影響力矩同樣按各桿剛度參加一次分配)分配力矩與剛臂抵抗力矩大小相等，符號(hào)相反。這樣，剛臂的抵抗力矩與彈性結(jié)點(diǎn)發(fā)生實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)所需力矩恰好相等，即它們的代數(shù)和等于零。這個(gè)過(guò)程也正體現(xiàn)出位移法中典型方程的物理意義。

3.2.2 從位移法“轉(zhuǎn)角位移方程”看彎矩分配中力矩傳遞過(guò)程

關(guān)于轉(zhuǎn)角位移方程的物理意義上面已做了說(shuō)明，對(duì)某一單獨(dú)桿件，即假想單跨超靜定梁，它的桿端力矩不僅與外力作用下直接影響的力矩值有關(guān)。而且與其變形有關(guān)。對(duì)超靜定整體結(jié)構(gòu)而言，某一彈性結(jié)點(diǎn)的鄰近各桿端彎矩除外力作用下產(chǎn)生的固端彎矩以外，尚與該彈性結(jié)點(diǎn)的位移有關(guān)，與其他結(jié)點(diǎn)在外力作用下發(fā)生位移所波及到該結(jié)點(diǎn)的變形有關(guān)。通俗一點(diǎn)講，對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)外力作用結(jié)構(gòu)某一部位時(shí)，它的整個(gè)結(jié)構(gòu)均承受一定的外荷載。從應(yīng)力的角度講，整個(gè)結(jié)構(gòu)的每一個(gè)部份都產(chǎn)生應(yīng)力值，這一點(diǎn)，轉(zhuǎn)角位移方程已給定了應(yīng)力與應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系式，方程的右邊第一項(xiàng)是施加外力時(shí)某彈性結(jié)點(diǎn)加以剛臂約束時(shí)所承擔(dān)的彎矩，右第二項(xiàng)是外力作用下某彈性結(jié)點(diǎn)本身發(fā)生形變所付出給的力矩值，第三項(xiàng)第四項(xiàng)則是由于外力作用其他結(jié)點(diǎn)發(fā)生形變后所波及某彈性結(jié)點(diǎn)的變形相當(dāng)?shù)牧刂?，這個(gè)方程式明確地表達(dá)超靜定結(jié)構(gòu)在外力作用下，結(jié)構(gòu)整體發(fā)生的內(nèi)力情況。

在用彎矩分配法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，它的第二個(gè)要素是力矩傳遞，當(dāng)超靜定結(jié)構(gòu)有兩個(gè)或以上的彈性結(jié)點(diǎn)時(shí)，則兩個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)在外力作用下所承擔(dān)的力矩相互影響[4]，當(dāng)分別將每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)放松恢復(fù)原結(jié)構(gòu)狀態(tài)時(shí)，對(duì)某一彈性結(jié)點(diǎn)來(lái)講，將抵抗力矩分配給此結(jié)點(diǎn)鄰近的各桿端，此外相鄰彈性結(jié)點(diǎn)剛臂放松時(shí)，對(duì)于兩彈性結(jié)點(diǎn)中間這一桿件來(lái)講，后一結(jié)點(diǎn)鄰近的桿端將分配獲得一定力矩，此力矩又按該桿件的兩端連接性質(zhì)傳遞到前一結(jié)點(diǎn)相鄰的桿端。至使前彈性結(jié)點(diǎn)將傳遞來(lái)的力矩再次分配給相鄰的各桿端。反復(fù)幾次直至收斂為零或接近為零為止。這個(gè)傳遞過(guò)程正體現(xiàn)出轉(zhuǎn)角位移方程右邊的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的存在，也就是說(shuō)，根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)才推導(dǎo)出彎矩分配法的傳遞過(guò)程。所不同的是位移法通過(guò)解析式來(lái)表達(dá)超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布，而彎矩分配法較直觀地表達(dá)出超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布，彎矩分配法中的力矩傳遞過(guò)程正是應(yīng)用位移法轉(zhuǎn)角位移方程而推導(dǎo)的。

3.2.3 從位移轉(zhuǎn)角方程看彎矩分配的最終疊加

在彎矩分配中，為了獲得超靜定結(jié)構(gòu)的各桿件的桿端彎矩，必須將多次的分配力矩、多次傳遞力矩，以及在外力作用下假想剛臂的約束力矩進(jìn)行疊加，根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程的物理意義，彎矩分配法中疊加的幾項(xiàng)即是該方程中右邊的每一項(xiàng)，通過(guò)疊加更明顯地體現(xiàn)出轉(zhuǎn)角位移方程的物理意義。從彎矩分配法疊加過(guò)程中明顯地看到轉(zhuǎn)角位移方程的每一項(xiàng)確確實(shí)實(shí)地客觀存在，而轉(zhuǎn)角位移方程的每一項(xiàng)也確確實(shí)實(shí)地對(duì)應(yīng)著彎矩分配法中的分配力矩、傳遞力矩，以及外力作用剛臂所承擔(dān)的約束力矩。

4 結(jié) 論

在結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析計(jì)算過(guò)程中，組成整體結(jié)構(gòu)各桿件的內(nèi)力除與外荷載有關(guān)外，各桿件的相對(duì)剛度又是決定其內(nèi)力值的主要因素，靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析即區(qū)別于此。

對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析計(jì)算的傳統(tǒng)方法——力法、位移法、彎矩分配法，從解決問(wèn)題的思路到基本概念、基本理論、基本計(jì)算方法，雖存在著看似本質(zhì)方面的不同，但透過(guò)其計(jì)算方法的現(xiàn)象，尚看到其理論方面的內(nèi)在聯(lián)系。

從位移法中的兩個(gè)方程物理意義上看：轉(zhuǎn)角位移方程揭示了超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變形的函數(shù)關(guān)系；典型方程體現(xiàn)出超靜定結(jié)構(gòu)每個(gè)彈性結(jié)點(diǎn)不存在相對(duì)位移的幾何可變現(xiàn)象。從位移法中的兩個(gè)方程還可以體會(huì)到彎矩分配法的力矩分配、傳遞、再分配再傳遞，及疊加的漸近過(guò)程。

[1] 陳錦艷.有固定端的等截面單跨超靜定梁的快速解法[J].中國(guó)科技信息，2008(18)：75-77.

[2] 李秀梅.位移法的基本概念及典型方程的建立[J].學(xué)周刊，2011(28)：11-12.

[3] 蘇勒德.位移法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用[J].河南科技，2012(18)：62-62.

[4] 俞瑞榮. 等截面單跨超靜定梁固端彎矩的一種解法 [J]. 無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(2)：57，96.

陳百鳴(1975-)，男，黑龍江克山人，高級(jí)工程師，從事水利規(guī)劃設(shè)計(jì)工作。E-mail：fycbm@126.com。

TU501；TB301

A

2096-0506(2017)10-0052-04