一道力學競賽題的多種解法及其相關問題討論

李道奎 肖萬伸 任毅如 李家文(國防科技大學航天科學與工程學院，長沙410073)(湖南大學機械與運載工程學院,長沙410082)

一道力學競賽題的多種解法及其相關問題討論

李道奎?,1)肖萬伸?,2)任毅如?李家文??(國防科技大學航天科學與工程學院，長沙410073)?(湖南大學機械與運載工程學院,長沙410082)

分析了第十一屆全國周培源大學生力學競賽初賽試題中第13題的圓環(huán)受力與變形的特殊性，明確了題中圓環(huán)發(fā)生大位移小變形，給出了其多種解法，指出了原型題解答對讀者的誤導，并對大位移的影響、功與能的計算方法、中性軸的位置、應力應變分布等相關問題進行了分析與討論，得到了圓環(huán)內(nèi)部受力與變形的過程.

力學競賽，分析法，能量法，中性軸

1 問題的提出

2017年第十一屆全國周培源大學生力學競賽初賽試題的第 13題(以下稱本題)[1]為：圖 1所示的圓環(huán)桿，材料的彈性模量為E，受集度為m、矢量方向與環(huán)桿軸線相切的均布力偶載荷，變形時桿件始終保持彈性狀態(tài)，且橫截面符合平面假設.環(huán)桿軸線半徑為R，橫截面(如圖中A?A截面)為圓，其半徑為r，試求

圖1

(1)橫截面上的內(nèi)力；

(2)橫截面的轉角?；

(3)橫截面上內(nèi)力的最大值.

提示：當X/Y?1時，可做簡化Y+X≈Y.

本題的原型為文獻[2]中521頁的11-24(以下稱原型題)，但原型題中僅需計算均布力偶與橫截面的轉角之間的關系(原型題外載荷方向相反，但不影響結果).文獻[2]548-550頁給出解答中，從垂直圓環(huán)軸線平面的某一對稱面將其截開，根據(jù)對稱性，認為橫截面上只有對z軸的彎矩Mz，如圖2所示.由平衡條件可得

圖2

文獻 [2]給出的解答，對于解決原型題中的問題，是沒有錯的 (原因在下面會解釋)，但卻會誤導讀者對整個題目的理解，即認為圓環(huán)橫截面上的內(nèi)力只有彎矩Mz，進而在求解本題時就會出錯，特別是讀者如果在此基礎上采用能量法進行計算，則會得出錯誤的結論.下面將給出本題詳細求解過程以及第2問的多種解法，包括分析法和能量法，并對題目和解答中涉及相關問題進行分析與討論.

2 本題的分析法求解

因為根據(jù)對稱性和受力特點，圓環(huán)任一橫截面上的內(nèi)力不僅有彎矩Mz，還有彎矩My(設其沿y軸正方向)，其他內(nèi)力分量為零，如圖 3所示 (注意，圖中的橫截面是圖2中右邊截面).

考慮圖3中橫截面上任一點A(ρ,θ)，通過該點的圓環(huán)周線長度為 lA=2π(R+ρcosθ).當橫截面繞圓環(huán)軸線轉過角度?時，根據(jù)橫截面符合平面假設可知，A點將移動到B點，如圖3所示，圓環(huán)周線長度變?yōu)?lB=2π[R+ρcos(θ+?)].點 A 的環(huán)向正應變?yōu)?/p>

考慮到ρcosθ?R，式(2)可簡化為

根據(jù)胡克定律，并結合式(3)可得

圖3

根據(jù)橫截面上應力形成的分布內(nèi)力系與內(nèi)力之間靜力平衡關系，可得

將式(4)代入式(5)，積分可得

將式(1)代入式(7)可得

式(8)給出了均布的力偶載荷m與橫截面的轉角?之間的關系，得到這一關系時并不需要考慮是否存在My，因此可以確定文獻[2]給出的原型解答，是沒有問題的.

將式(4)代入式(6)，積分可得

式(1)和式(10)就給出了橫截面上的內(nèi)力分量Mz和My的表達式，式中負號代表實際彎矩指向相應軸的負方向，如圖3所示.其他內(nèi)力分量為零，此即本題第1問的解答.

由式(8)可得

即本題第2問的解答.

利用式 (7)和式(9)可以算出橫截面上的合彎矩為

可見，當?=π時，截面內(nèi)力達到最大值，即

即本題第3問的解答.

3 本題第2問的能量法求解

在利用能量法求解時，均須計算構件內(nèi)部儲存的應變能.因此，先計算橫截面的轉角為?時，圓環(huán)內(nèi)部儲存的應變能.由于每個橫截面與同一圓環(huán)周線相交各點的應變能密度vε相同，因此，圓環(huán)儲存的應變能為

下面分別利用功能原理、卡氏第一定理和最小勢能原理三種能量方法推導式(8)，由式(8)很容易得到式(11)，因此，在得到式(8)后就可認為本題的第2問得到了求解.

3.1 直接利用功能原理求解

設圓環(huán)橫截面在分布力偶外載荷作用下，橫截面的轉角ξ由0緩慢變化到?，此過程中外力所做的功為

將式(15)和式(16)代入功能原理，即W=Vε，得

式(17)兩端對?求導，得到的結果與式(8)一致.

3.2 利用卡氏第一定理求解

由于圓環(huán)每個橫截面形狀與尺寸相同，應力分布也相同，因此沿圓環(huán)軸線單位長度內(nèi)儲存的應變能V.ε也相等，從而可得

將式(15)代入式(18)可得

由卡氏第一定理，可得均布力偶載荷的集度(即沿圓環(huán)軸線單位長度均布力偶載荷的大小)為

將式(19)代入式(20)，得到的結果也與式(8)一致.

3.3 利用最小勢能原理求解

圓環(huán)在外力作用下的總勢能等于應變能與外力功勢能之和，即

式中，外力勢能Vp為

將式(15)和式(22)代入式(21)，可得

由最小勢能原理

將式(23)代入式(24)，同樣可以得到式(8).

4 相關問題討論

4.1 大位移的影響

由于位移(角位移?)較大，在列截面分布內(nèi)力系與內(nèi)力之間的靜力關系時，要考慮大位移引起的橫截面內(nèi)各點位置的變化.即在式 (5)中計算 Mz和式(6)中計算My時，微元面積dA上的微內(nèi)力到z軸和y軸的距離，分別由ρsinθ和ρcosθ變?yōu)棣裺in(θ+?)和 ρcos(θ+?).

4.2 功與能的計算方法

本題中外載荷為均布力偶載荷m，其相應位移為橫截面的轉角?，它們之間并不成線性關系，而是成式(8)或式(11)描述的非線性關系，因此外力功不能采用 W=πRm?來計算，而只能采用積分形式即式(16)來計算；但外力勢能并不受外載荷與相應位移之間關系的影響，依然可以采用式(22)來計算.

本題中圓環(huán)的變形比較特殊，盡管位移較大，但受各橫截面之間的相互約束，變形(應變)較小，材料依然處于線彈性狀態(tài)，滿足胡克定律，可采用計算應變能密度，進而通過在整個體積上積分得到圓環(huán)內(nèi)儲存的應變能.當然，也可利用來計算應變能，但彎矩M 一定為橫截面內(nèi)的合彎矩，如果像原型題那樣僅考慮Mz，則必然會得到錯誤的結論.

4.3 中性軸的位置

本題由于圓環(huán)的變形比較特殊，而且位移又較大，使得變形過程中橫截面中性軸的位置也有其特殊性.

對式(3)和式(4)中的三角函數(shù)進行和差化積，得到

式中，ψ=θ+?為截面上任一點 A(ρ,θ)在變形后的新位置的極角.

令式(25)中的正應力為零，得到當圓環(huán)發(fā)生變形時，0＜?≤π，由式(26)必然要求根據(jù)題目的物理含義，取n=0，可得中性軸為

式(27)代表的橫截面內(nèi)通過截面形心的一條直線，如圖3所示.在橫截面轉角從0增大到? ?的過程中，中性軸的位置離開z軸從0增大到 2.

4.4 應力應變分布

設橫截面上的合彎矩與z軸負方向成夾角β，如圖3所示，則由式(7)和式(9)可以得到

同時，式(25)給出了圓環(huán)橫截面上任一點在某一給定橫?截面轉·角?下的環(huán)向正應變與正應力，其中，ρsinψ? 為該點到中性軸的距離(此處的距離為帶正負號的距離)，而其余各項與該點在截面內(nèi)的位置無關，因此，圓環(huán)橫截面上任一點處的環(huán)向正應變、正應力與該點到中性軸的距離成正比.

5 結論

本文給出了第十一屆全國周培源大學生力學競賽初賽試題中第13題的多種解法，并對大位移的影響、功與能的計算方法、中性軸的位置、應力應變分布等相關問題進行了分析與討論，得到以下結論：

(1)本題可以有分析法和能量法等多種解法，但要注意對圓環(huán)的變形、橫截面上的內(nèi)力和應力進行較為準確的分析，特別需要考慮大位移引起的截面上各點位置變化.另外，原型題解答認為在圓環(huán)橫截面上只有彎矩Mz是錯誤的.

(3)本題中的圓環(huán)在m作用下，發(fā)生大位移小變形，內(nèi)部受力與變形過程是這樣的：橫截面在m的作用下發(fā)生繞形心的旋轉，截面中性軸通過截面形心，且從z軸開始繞著截面形心逆時針旋轉，在橫截面轉角從0增大到??的過程中，中性軸的位置離開z軸從0增大到 2，截面內(nèi)的合彎矩矢量方向與中性軸在同一條直線上，各點的應力、應變與該點到中性軸的距離成正比.

1 競賽組委會.第十一屆全國周培源大學生力學競賽初賽試題.www.cstam.org.cn

2 張行編著.材料力學分析方法.國防工業(yè)出版社,1988

“第八屆全國力學史與方法論學術研討會(HMM-VIII)暨全國力學學術大會力學史與方法論分會場”學術活動紀要

“第八屆全國力學史與方法論學術研討會(HMM-VIII)暨全國力學學術大會力學史與方法論分會場”于2017年8月13-16日在北京召開.本次會議由中國力學學會力學史與方法論專業(yè)委員會主辦，北京大學工學院承辦.整個活動分兩個階段進行：第一階段：13日下午，在北京大學工學院開幕，中國力學學會力學史與方法論專業(yè)委員會主任委員鄭曉靜院士致開幕詞，隨后進行特邀報告;第二階段：在力學大會作為分會場，分別于15日上午及 16日上午在國家會議中心進行學術交流，其中16日為兩個平行分組報告，有近40名專家學者與會報告.

會議還吸引了來自全國眾多單位的力學界資深教授、活躍在力學科研與教學第一線的中青年教師以及力學專業(yè)研究生參加，成為學術氛圍最熱烈的分會場之一.

在學術交流過程中，17位力學前輩做了精彩紛呈的大會邀請報告：武際可教授指出力學幾何化具有重要意義，并介紹了黎曼幾何、辛幾何以及對偶等概念在力學中的應用，尤其指出目前力學專業(yè)教學需提高對微分幾何等數(shù)學知識的重視；王大鈞教授在身體不適的情況下還堅持做報告，和大家分享了他對結構力學定性理論研究方法和科學美的感悟；王敏中教授身體力行華羅庚先生名言 “弄斧到班門，耍刀在關廟”，風趣地回憶了他與9組力學高手“過招”的佚事；余壽文教授討論了固體力學間斷問題的研究方法，指出間斷區(qū)域應受到關注，重點介紹了“放大鏡”和“均勻連續(xù)化”兩種極為有用的方法；徐秉業(yè)教授探討塑性力學的教學方法和塑性力學常用的研究方法；朱克勤教授以俄羅斯科學院為主線，回顧了俄羅斯和前蘇聯(lián)力學學科發(fā)展以及歐拉、伯努利、朗道、柯爾莫哥洛夫等力學家的成長之路；隋允康教授深情追思恩師錢令希先生，回顧了錢先生在科學研究、學科建設、教育教學、人才培養(yǎng)和大學管理五個方面的重要貢獻；鐘萬勰院士分享了對淺水波機械激波的深刻理解；姜錫權教授以分離式霍普金森桿和輕氣炮為例，介紹了材料動態(tài)力學實驗技術的發(fā)展史；王振東教授首先回憶了與周培源先生交往的故事以及全國大學生周培源力學競賽的歷史，接著通過泰勒、馮諾依曼和謝多夫估算原子彈爆炸當量的故事，說明量綱分析方法的強大能力；劉延柱教授回顧了德國工程力學大師馬格努斯的生平以及在剛體動力學、陀螺力學、多體系統(tǒng)動力學等領域的重要貢獻；程昌鈞教授詳細介紹了錢偉長先生博士論文 “薄殼和薄板的內(nèi)稟理論”的主要內(nèi)容和所獲得的重要成就；嵇醒教授的報告認為彈塑性應力強度因子并不存在，以及他對這一問題的最新研究成果(因身體原因，嵇醒教授臨時未能成行，由同濟大學朱峰博士代為報告)；戴世強教授從兩本力學科普著作《院士談力學》和《流體力學通論》談起，闡釋了全景式力學科普書籍在力學通識教育中具有不可多得的作用；余同希教授從力學的多個分支方向討論了如何確定撞擊力的問題；吳昌華教授敘述了物理學各種基本粒子的發(fā)現(xiàn)歷史；張鴻慶教授闡釋了他關于不同文化及其在數(shù)學力學中應用的理解.

在大會分組報告中，與會的中青年學者分別報告了各自的研究成果，內(nèi)容涉及力學各分支學科的發(fā)展史、科研和教學方法論，部分高校和科研院所力學學科發(fā)展史、著名力學家的學術思想和貢獻等.陳海波、段慧玲分別介紹了中國科技大學、北京大學力學學科的發(fā)展史與現(xiàn)狀；王柏懿回顧了創(chuàng)建初期的中科院力學所和中國力學學會；白欣、楊紹瓊、劉俊麗等報告了不同時期國內(nèi)力學教育、研究、專業(yè)建設、著作和辦刊等的研究成果；殷雅俊、龍運佳、游陽明、顧娟、糜長穩(wěn)、王建祥等分享了對不同力學研究方法論的理解；葉紅玲、董璐、張偉偉等介紹了各自在力學教學和課程建設中的寶貴經(jīng)驗.

最后，專業(yè)委員會主任鄭曉靜院士和黨支部書記劉俊麗分別致辭，簡要總結了本次會議，希望經(jīng)過同仁們的共同努力，涌現(xiàn)出更多更深層次的研究成果，并期待兩年后的重逢.

會議的組織工作得到了與會者的一致好評，大家對東道主北京大學工學院唐少強教授團隊師生們?yōu)闀h所做的大量細致而有效的會務工作、以及中國力學學會和力學大會組委會對本次研討會的支持表示誠摯的謝意.

值得一提的是，本專業(yè)委員會長期形成的尊老攜青的風尚不僅繼續(xù)發(fā)揚而且不斷加強，這次會議因作為中國力學大會分會場，考慮到退休老教授的經(jīng)費困難，申請中國力學學會為七十歲以上的老先生免交注冊費，而且北京大學工學院為外埠老先生們提供了很好的食宿與交通條件.

(中國力學學會力學史與方法論專業(yè)委員會供稿)

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10.6052/1000-0879-17-241

本文于2017-07-06收到.

1)李道奎，教授，主要從事結構設計與分析科學研究工作和材料力學教學工作.E-mail：lidaokui@nudt.edu.cn

2)肖萬伸，教授，通訊作者，主要從事工程結構強度分析與固體力學教學工作.E-mail：xwshndc@163.com

李道奎,肖萬伸,任毅如等.一道力學競賽題的多種解法及其相關問題討論.力學與實踐,2017,39(5):544-547

Li Daokui,Xiao Wanshen,Ren Yiru,et al.Various solutions to a mechanical contest problem and the discussion on related problems.Mechanics in Engineering,2017,39(5):544-547

(責任編輯:周冬冬)