• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的多種運動模式

    2017-11-22 09:36:37穆翔栩關(guān)國業(yè)張博文
    力學(xué)與實踐 2017年5期
    關(guān)鍵詞:實驗

    穆翔栩 關(guān)國業(yè) 張博文 林 方

    (四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都610064)

    輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的多種運動模式

    穆翔栩1)關(guān)國業(yè) 張博文 林 方2)

    (四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都610064)

    將一個輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體(如球、圓環(huán)、圓盤等)釋放于水平勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上,旋轉(zhuǎn)體可能存在多種不同類型的運動軌跡,探究了其中4種運動模式.在純滾動假設(shè)前提下,建立了旋轉(zhuǎn)體動力學(xué)方程并數(shù)值求解,分別得出不同模式下旋轉(zhuǎn)體的運動軌跡及軌跡特征參數(shù),并進(jìn)行了定量實驗對比.還提出并通過實驗驗證了一個發(fā)現(xiàn),即不論旋轉(zhuǎn)體處于何種運動模式,其質(zhì)心運動的相位角周期都將收斂于一個由旋轉(zhuǎn)體形狀、大小和質(zhì)量分布決定的極限值.

    旋轉(zhuǎn)體,轉(zhuǎn)動圓盤,滾動摩擦,質(zhì)心相位角

    輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體(如球、圓環(huán)、圓盤等)在勻速定軸轉(zhuǎn)動圓盤上的運動存在多種不同類型的軌跡,該類問題在20世紀(jì)70年代末開始被深入研究.1979年,Weltner[1]首先研究了不考慮滾動摩擦的情況,得到了旋轉(zhuǎn)體做勻速圓周運動時運動周期與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動周期成正比的結(jié)論.1981年,Burns[2]將勻速轉(zhuǎn)盤上球體的運動與帶電粒子在磁場中的運動進(jìn)行了類比.1985年,Voyenli等[3]研究了冰球在轉(zhuǎn)盤上純滾動與純滑動這兩種運動狀態(tài).1987年,Weltner[4]以旋轉(zhuǎn)圓錐面代替水平轉(zhuǎn)盤,探究了球體在錐面上的運動模式,通過實驗發(fā)現(xiàn)和證明了球體出現(xiàn)向圓心靠近的螺旋運動模式是滾動摩擦作用的結(jié)果,據(jù)此設(shè)計了一種測量滾動摩擦系數(shù)的新方法.1992年,Gersten等[5]針對球體提出了一種滾動摩擦作用的新原理并應(yīng)用于轉(zhuǎn)盤上球體運動問題的分析中.1994年,Sokirko等[6]進(jìn)一步針對環(huán)狀物在勻速轉(zhuǎn)盤上的運動進(jìn)行了理論推導(dǎo)與數(shù)值模擬,得到了不同初始條件下環(huán)狀物的不同運動模式.1995年,Ehrlich等[7]對勻速轉(zhuǎn)盤上的球體運動進(jìn)行了數(shù)值模擬.1996年,Soodak等[8]從滾動摩擦入手,對該力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了攝動分析.1997年,Weckesser[9]從能量角度推導(dǎo)得到了球體做勻速圓周運動時的理論軌跡.此后,在2011年,M′unera[10]對勻速轉(zhuǎn)盤上球體的部分運動模式相圖進(jìn)行了數(shù)值模擬.2015年,Agha等[11]研究了球體運動始終不離開勻速轉(zhuǎn)盤的初值限制范圍.

    輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在勻速旋轉(zhuǎn)圓盤上存在多種運動模式,通過研究其運動特性,可以設(shè)計出精確測量滾動摩擦系數(shù)、滑動摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量等物理量的新方法.因此,該問題在工程應(yīng)用上具有研究價值.勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的旋轉(zhuǎn)體運動問題亦出現(xiàn)在2016年第29屆國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽 (29th International Young Physicists’Tournament)上.圖1展現(xiàn)了乒乓球在水平轉(zhuǎn)動圓盤上的兩種運動模式:圓周運動和螺旋向外運動.

    本文主要內(nèi)容包括:(1)通過純滾動假設(shè),建立了描述旋轉(zhuǎn)體運動的動力學(xué)方程,借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica求解得到了旋轉(zhuǎn)體可能存在的4種運動類型;(2)設(shè)計實驗,采用物體追蹤軟件Tracker記錄旋轉(zhuǎn)體的運動軌跡,并將之與相同參數(shù)、相同初始條件下理論計算得到的運動軌跡做對比;(3)本文還發(fā)現(xiàn)一個新現(xiàn)象,勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的旋轉(zhuǎn)體無論做何種運動,其質(zhì)心運動的相位角周期都必將收斂于極限值2π/γωD,其中ωD為轉(zhuǎn)盤角速度,無量綱常數(shù)γ則取決于旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動慣量I、質(zhì)量m和最大半徑R.

    圖1 乒乓球在水平轉(zhuǎn)動的鋁制圓盤上滾動

    1 理論分析

    以水平轉(zhuǎn)盤的圓心為坐標(biāo)原點O,豎直向上方向為 z軸,建立柱坐標(biāo)系 (r,θ,z),如圖 2所示.其中,3個方向的單位矢量分別為er,eθ和ez.假設(shè)旋轉(zhuǎn)體(球體、圓盤、圓環(huán)等)在初始時刻滾動角速度 ω0指向原點 O,且旋轉(zhuǎn)體在轉(zhuǎn)盤上進(jìn)行的運動始終為純滾動(無滑滾動),即滿足關(guān)系

    其中,ω0和r0分別為初始時刻旋轉(zhuǎn)體滾動角速度與質(zhì)心位矢;ωD為轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度,ω為旋轉(zhuǎn)體相對質(zhì)心的滾動角速度;r為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心位矢;v為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度,R 為旋轉(zhuǎn)體的半徑矢量,方向從質(zhì)心指向旋轉(zhuǎn)體與轉(zhuǎn)盤的接觸點.由純滾動假設(shè)可知,ω不存在z軸分量.

    圖2 本文所研究系統(tǒng)的坐標(biāo)系選取及描述其運動的物理量

    根據(jù)牛頓第二定律和角動量定理,摩擦力作用下的旋轉(zhuǎn)體應(yīng)滿足動力學(xué)方程[12-13]

    其中,f和τ分別為轉(zhuǎn)盤對旋轉(zhuǎn)體的靜摩擦力和滾動摩擦力矩.將式(2)等號兩邊對時間求導(dǎo),得

    引入無量綱數(shù)γ[5],令

    聯(lián)立式(3)和式(7),消去f并代入γ可得

    旋轉(zhuǎn)體所受滾動摩擦力矩τ的大小與轉(zhuǎn)盤的壓力N成正比[8],即

    其中μr為描述滾動摩擦的相關(guān)系數(shù),由旋轉(zhuǎn)體與轉(zhuǎn)盤表面材質(zhì)決定;N=mg為轉(zhuǎn)盤對旋轉(zhuǎn)體支持力大小.考慮到柱坐標(biāo)系下的變換關(guān)系[13]

    將式 (10)和式 (11)代入式 (9),由等式兩邊 er和eθ方向分量分別相等,可得極坐標(biāo)平面下旋轉(zhuǎn)體滿足的微分方程組

    其中r和θ分別為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心在極坐標(biāo)系下的極徑和極角 (質(zhì)心相位角).對方程組 (12)進(jìn)行數(shù)值求解,即可得到旋轉(zhuǎn)體在轉(zhuǎn)盤上運動的理論軌跡及其他特征參數(shù).

    2 數(shù)值模擬與實驗

    2.1 實驗裝置

    本課題實驗選用型號為 2815的航模電機(jī)作為驅(qū)動轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的動力,供電采用2200mAh直流電池,并用40A電子調(diào)速器控制電機(jī)速度,以帶動直徑 40cm 的圓盤水平勻速轉(zhuǎn)動并可實時調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速.實驗以乒乓球和實心彈性球作為實驗對象進(jìn)行探究.

    實驗裝置如圖3(a)所示.實驗中,將幀率為30的攝影設(shè)備固定在距離轉(zhuǎn)盤中心正上方60cm處拍攝球體的運動.攝影設(shè)備已通過網(wǎng)格紙測試以保證所用焦段沒有鏡頭畸變,如圖3(b)所示.將所錄制視頻導(dǎo)入物體追蹤軟件Tracker進(jìn)行處理,通過追蹤旋轉(zhuǎn)體的運動,即可獲得其質(zhì)心速度等運動參量.

    圖3

    作為本文的一個重要前提假設(shè),當(dāng)要求球體進(jìn)入圓盤的質(zhì)心初速度為0時,初始純滾動條件可以通過如下方法實現(xiàn):先使用自制紙槽將球體約束在轉(zhuǎn)盤某一位置隨轉(zhuǎn)盤滾動,此時乒乓球在約束點上只存在定點滾動而沒有質(zhì)心初速度.當(dāng)球體達(dá)到穩(wěn)定滾動后,撤除紙槽,即可達(dá)成純滾動的初始條件.當(dāng)要求球體進(jìn)入質(zhì)心的初速度不為0時,初始純滾動條件無法達(dá)成,小球進(jìn)入圓盤之后會經(jīng)歷很短一段時間的有滑滾動而后再進(jìn)入無滑滾動.

    球體進(jìn)入圓盤的質(zhì)心初速度取值則可通過如下方法獲得:利用一個與圓盤正好接觸的靜止傾斜軌道引導(dǎo)球體滾進(jìn)轉(zhuǎn)動圓盤;通過改變球體釋放高度和滑軌方向,即可大致控制球體質(zhì)心初始速度大小及方向.精確的初速度大小與方向可通過Tracker讀取.

    2.2 球體運動模式

    通過改變初值條件和參數(shù),借助 Mathematica對方程組(12)進(jìn)行數(shù)值求解,在不考慮空氣阻力的情況下,可以從理論上得到4種不同類型的運動模式.

    當(dāng)滾動摩擦不可忽略時,可能存在兩種運動模式:

    (1)球體做先靠近轉(zhuǎn)盤中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動;

    (2)球體做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動.

    當(dāng)滾動摩擦可以忽略時,也可能存在兩種運動模式:

    (1)若球體質(zhì)心初速度不為0,球體滾動的同時質(zhì)心做勻速圓周運動;

    (2)若球體質(zhì)心初速度為0,球體做定點滾動,即其質(zhì)心位置將保持不變.

    下面分別對4種運動模式進(jìn)行實驗與理論的對比.使用Tracker測量球體釋放時的初始運動參數(shù),將其代入式(12),得到該初始值下的數(shù)值解,然后將數(shù)值模擬得到的運動軌跡與實驗追蹤的軌跡進(jìn)行比較.下面以乒乓球為例進(jìn)行比較分析,實心球的結(jié)果與之類似.實驗中用到兩種鋁盤,一種是表面呈磨砂質(zhì)感的平整鋁盤 (甲型鋁盤,滾動摩擦不可忽略),另一種則是表面經(jīng)過鏡面拋光處理的光滑平整鋁盤(乙型鋁盤,滾動摩擦系數(shù)可視為0).乒乓球與轉(zhuǎn)盤之間的滾動摩擦系數(shù)通過擬合乒乓球質(zhì)心相位角速度曲線得到.實驗軌跡與理論軌跡的對比分析如下:軌跡(A) 使用甲型鋁盤,滾動摩擦不可忽略.乒乓球可能做先靠近轉(zhuǎn)盤中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動,數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖4所示.所用參數(shù)r0=0.055m,˙r0=?0.139m/s,θ0=4.603rad,˙θ0=0.723rad/s,ωD=15.8rad/s滾動摩擦系數(shù)擬合值為μr=0.009,持續(xù)時間為5.91s.

    軌跡 (B) 使用甲型鋁盤,滾動摩擦不可忽略.乒乓球也可能做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動,數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖 5所示. 所用參數(shù) r0=0.017m,˙r0=0.079m/s,θ0=?1.959rad,˙θ0=9.058rad/s,ωD=12.0rad/s滾動摩擦系數(shù)擬合值為μr=0.009,持續(xù)時間為7.98s.

    圖5 滾動摩擦不可忽略的運動軌跡(B)

    圖5 滾動摩擦不可忽略的運動軌跡(B)(續(xù))

    軌跡(C) 使用乙型鋁盤,滾動摩擦系數(shù)視為μr=0.乒乓球進(jìn)入轉(zhuǎn)盤的質(zhì)心初速度不為 0,則乒乓球在滾動的同時質(zhì)心做勻速圓周運動,數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖 6所示所用參數(shù) r0=0.080m,˙r0=0.192m/s,θ0=0.476rad,˙θ0=?0.111rad/s,ωD=15.8rad/s,持續(xù)時間為2.33s.

    軌跡(D)使用乙型鋁盤,滾動摩擦系數(shù)視為μr=0.乒乓球進(jìn)入轉(zhuǎn)盤的初始質(zhì)心速度為0,乒乓球做定點滾動,數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖7所示.所用參數(shù)r0=0.078m,˙r0=0.001m/s,θ0=0.666rad,˙θ0=?0.000rad/s,ωd=15.8rad/s,持續(xù)時間為1.20s.

    從圖4~圖7可以看出,雖然實驗與數(shù)值計算結(jié)果符合得較好,但仍有3個問題值得討論:

    圖6 滾動摩擦系數(shù)很小時的運動軌跡(C)

    圖7 滾動摩擦系數(shù)很小時的運動軌跡(D)

    (1)從圖4可以看出,前期乒乓球的實驗軌跡與理論軌跡較為吻合;但在遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心運動階段,隨著軌跡半徑的增大,轉(zhuǎn)盤提供的靜摩擦力逐漸不能滿足乒乓球做無滑滾動所需的向心力,因此實驗中觀察到乒乓球出現(xiàn)明顯的離心滑動現(xiàn)象,不再滿足理論模型中的純滾動假設(shè),因此乒乓球運動半徑逐漸增大并最終被甩出轉(zhuǎn)盤,實驗軌跡后段與理論軌跡差別較大.

    (2)從圖 5可以看出,乒乓球做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動時,實驗軌跡的半徑小于理論值.這是由于理論計算忽略了空氣阻力,而隨著螺旋線半徑的增大,乒乓球運動線速度增大,空氣阻力的影響亦增大.空氣阻力使得乒乓球運動線速度小于理論值,離心趨勢下降,導(dǎo)致實驗軌跡半徑比理論預(yù)期值偏小.

    (3)通過理論計算可知,軌跡(C)和軌跡(D)其實是軌跡 (B)在滾動摩擦系數(shù)為 0時的特殊形式.當(dāng)乒乓球質(zhì)心初速度不為 0時得到軌跡 (C),而當(dāng)乒乓球質(zhì)心初速度為0時則得到軌跡(D).實驗結(jié)果與理論預(yù)期完全相符.

    2.3 質(zhì)心相位角周期的收斂現(xiàn)象

    除了存在多種類型的運動軌跡之外,旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心繞盤運動的角速度,即相位角速度亦存在有趣的現(xiàn)象.Weltner[1]在滾動摩擦可忽略的基礎(chǔ)上,從理論上得到了旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心做圓周運動(軌跡(C))時圍繞圓心的角速度與轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度的比值恒等于前文所述的無量綱數(shù)γ的結(jié)論.

    本文在理論分析與數(shù)值模擬過程中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn):當(dāng)滾動摩擦不可忽略時,無論旋轉(zhuǎn)體是做先靠近轉(zhuǎn)盤中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動(軌跡(A)),還是做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動 (軌跡 (B)),其質(zhì)心相位角速度 ωθ與轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度 ωD的比值都將收斂于無量綱數(shù)γ.

    用 Tracker讀數(shù)并做出實驗軌跡 (A)和軌跡(B)的質(zhì)心相位角速度隨時間變化曲線,并與對應(yīng)的理論曲線相比較,如圖8所示.其中,藍(lán)色實線為理論曲線,藍(lán)色虛線為理論預(yù)測的角速度收斂極值γωD,紅點為實驗數(shù)據(jù)點.從圖中可以看到,實驗中球體的角速度在γωD附近波動并逐漸收斂,與理論預(yù)期符合較好.然而,實驗條件無法達(dá)到理論模型的理想情況,使得實驗曲線和理論曲線存在一定的偏差.圖8(a)中,實驗曲線相比理論曲線有一個整體的“滯后”,這是由于理論曲線采用的是無滑滾動條件,即從初始時刻起,球體即在轉(zhuǎn)盤上做無滑滾動;而實驗中乒乓球在進(jìn)入轉(zhuǎn)盤的瞬間是不滿足無滑滾動的,要經(jīng)過短時間的弛豫才能達(dá)到無滑滾動(該圖對應(yīng)的實驗參數(shù)條件下,約需0.3s),由此造成了曲線的整體“滯后”.乒乓球?qū)嶋H還受到一定的空氣阻力,并且質(zhì)心速度越大所受阻力越大,這在理論模型中被忽略了,因此造成了圖8(b)中實驗曲線的周期比理論值略大且收斂速度低于理論值.最后,由于轉(zhuǎn)盤半徑有限,導(dǎo)致乒乓球運動時間較短,未能完全收斂到理論值γωD即被甩出轉(zhuǎn)盤.盡管如此,實驗曲線的特征與收斂趨勢仍然與理論曲線一致.由此,可以將本文提出的這一新發(fā)現(xiàn)與文獻(xiàn)[1]的結(jié)論統(tǒng)一為:勻速水平轉(zhuǎn)動圓盤上的旋轉(zhuǎn)體無論做何種運動,其相位角周期都必將收斂于極限值2π/γωD.

    圖8

    為了進(jìn)一步驗證這一新發(fā)現(xiàn),本文針對旋轉(zhuǎn)體做向外螺旋運動(軌跡(B))的情況,測量并驗證轉(zhuǎn)盤以不同角速度 ωD轉(zhuǎn)動時,旋轉(zhuǎn)體穩(wěn)定運動的相位角速度ωθ符合理論預(yù)測公式ωθ=γωD.實驗中采用摩擦系數(shù)較大的橡膠圓盤作為實驗轉(zhuǎn)盤,并選用實心的橡膠球作為旋轉(zhuǎn)體.這是因為實心橡膠球質(zhì)量遠(yuǎn)大于乒乓球,受到空氣阻力影響較小,而且橡膠球表面摩擦系數(shù)更大,更加符合達(dá)成軌跡B所需的滾動摩擦系數(shù)較大的前提條件.

    橡膠球質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度的實驗數(shù)據(jù)與擬合曲線如圖 9所示. 由于實驗中橡膠球的角速度時刻發(fā)生變化,因此在測量時選取橡膠球到達(dá)轉(zhuǎn)盤邊緣前最后三個周期內(nèi)的角速度數(shù)據(jù),計算其平均值(圖中紅色星號)與不確定度(圖中誤差棒),并將 (ωD,ωθ)數(shù)據(jù)以正比例函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行擬合.從圖中可以看出,數(shù)據(jù)擬合度很高 (0.9931),且擬合得到的 γ值(直線斜率)為0.2848,與實心球體的理論 γ值 =0.2857的相對誤差僅為0.32%.可見,實驗結(jié)果與理論預(yù)測符合得很好.

    圖9 橡膠球質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度數(shù)據(jù)擬合圖

    3 總結(jié)與討論

    本文研究了勻速轉(zhuǎn)動圓盤上輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體的運動軌跡,在純滾動假設(shè)前提下,得到描述旋轉(zhuǎn)體運動的微分方程組,而后利用Mathematica進(jìn)行數(shù)值求解,預(yù)測了4種不同的運動軌跡,并在實驗中一一再現(xiàn).課題組還發(fā)現(xiàn),當(dāng)滾動摩擦不可忽略時,無論旋轉(zhuǎn)體處于何種運動模式,其質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤角速度的比值都將收斂于無量綱數(shù)γ.此結(jié)論對現(xiàn)有文獻(xiàn)的理論分析結(jié)果進(jìn)行了擴(kuò)展,并通過多組實驗進(jìn)行了擬合驗證,是本文的一個重要發(fā)現(xiàn).該發(fā)現(xiàn)可以為測量球類物體轉(zhuǎn)動慣量提供一種新的思路和方法.

    然而,本文的研究仍存在不足:(1)實驗發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體的滾動角速度有微小的z軸分量,不能完全滿足純滾動假設(shè),這點本文并未加以考慮;(2)不能準(zhǔn)確判斷旋轉(zhuǎn)體在何種條件下將出現(xiàn)有滑滾動;(3)軌跡 (A)與軌跡 (B)的出現(xiàn)條件與旋轉(zhuǎn)體運動參量的初值、轉(zhuǎn)盤角速度、旋轉(zhuǎn)體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量皆有關(guān)系,本文并未分別探究具體的閾值區(qū)間;(4)對于質(zhì)量較輕的球體(如乒乓球),空氣阻力造成的影響會隨著質(zhì)心速度的增大趨于明顯,并不能完全忽略.課題組將在后續(xù)工作中加以改進(jìn).

    1 Weltner K.Stable circular orbits of freely moving balls on rotating discs.Am J Phys,1979,47(11):984-986

    2 Burns JA.Ball rolling on a turntable:Analog for charged particle dynamics.Am J Phys,1981,49(1):56-58

    3 Voyenli K,Eriksen E.On the motion of an ice hockey puck.Am J Phys,1985,53(12):1149-1153

    4 Weltner K.Central drift of freely moving balls on rotating disks:A new method to measure coefficients of rolling friction.Am J Phys,1987,55(10):937-942

    5 Gersten J,Soodak H,Tiersten MS.Ball moving on stationary or rotating horizontal surface.Am J Phys,1992,60(1):43-47

    6 Sokirko AV,Belopolskii AA,Matytsyn AV,et al.Behavior of a ball on the surface of a rotating disk.Am J Phys,1994,62(2):151-156

    7 Ehrlich R,Tuszynski J.Ball on a rotating turntable:Comparison of theory and experiment.Am J Phys,1995,63(4):351-359

    8 Soodak H,Tiersten MS.Perturbation analysis of rolling friction on a turntable.Am J Phys,1996,64(9):1130-1139

    9 Weckesser W.A ball rolling on a freely spinning turntable.Am J Phys,1997,65(8):736-738

    10 M′unear HA.A ball rolling on a freely spinning turntable:Insights from a solution in polar coordinates.Lat Am J Phys,2011,5(1):49-55

    11 Agha A,Gupta S,Joseph T.Particle sliding on a turntable in the presence of friction.Am J Phys,2015,83(2):126-132

    12 姜芳,趙東.純滾動圓輪靜摩擦力方向的確定. 力學(xué)與實踐,2011,33(1):86-88

    13 蔡積仁.淺談滾動摩擦.物理通報,2006(2):37-39

    14 李書民.經(jīng)典力學(xué)概論.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2007

    O313.3,O311.2,O313.5

    A

    10.6052/1000-0879-16-348

    2016-10-24收到第1稿,2017-01-02收到修改稿.

    1)穆翔栩,四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2015級物理學(xué)類本科生.

    2)林方,指導(dǎo)教師,通迅作者.E-mail:linfang@scu.edu.cn

    穆翔栩,關(guān)國業(yè),張博文等.輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的多種運動模式.力學(xué)與實踐,2017,39(5):523-529

    Mu Xiangxu,Guan Guoye,Zhang Bowen,et al.Varied motion modes of light objects rolling on a horizontally rotating disk.Mechanics in Engineering,2017,39(5):523-529

    (責(zé)任編輯:胡 漫)

    猜你喜歡
    實驗
    我做了一項小實驗
    記住“三個字”,寫好小實驗
    我做了一項小實驗
    我做了一項小實驗
    記一次有趣的實驗
    有趣的實驗
    小主人報(2022年4期)2022-08-09 08:52:06
    微型實驗里看“燃燒”
    做個怪怪長實驗
    NO與NO2相互轉(zhuǎn)化實驗的改進(jìn)
    實踐十號上的19項實驗
    太空探索(2016年5期)2016-07-12 15:17:55
    99热全是精品| 2018国产大陆天天弄谢| 亚洲国产精品专区欧美| 高清日韩中文字幕在线| 97超视频在线观看视频| eeuss影院久久| 亚洲怡红院男人天堂| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 七月丁香在线播放| 日韩制服骚丝袜av| 日产精品乱码卡一卡2卡三| eeuss影院久久| 亚洲18禁久久av| 国产黄色小视频在线观看| 亚洲精品国产成人久久av| 欧美最新免费一区二区三区| 亚洲第一区二区三区不卡| 日韩精品青青久久久久久| 日韩av在线免费看完整版不卡| 91aial.com中文字幕在线观看| 日韩中字成人| 亚洲av成人av| 国产精品人妻久久久影院| 久久久久精品久久久久真实原创| 国产av码专区亚洲av| 国产精品久久久久久久电影| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 2022亚洲国产成人精品| 七月丁香在线播放| 亚洲最大成人av| av在线播放精品| 美女cb高潮喷水在线观看| 久久99热6这里只有精品| 熟妇人妻不卡中文字幕| 极品少妇高潮喷水抽搐| 国产高清三级在线| 国产色婷婷99| 亚洲无线观看免费| 肉色欧美久久久久久久蜜桃 | 嘟嘟电影网在线观看| 一级av片app| 青春草视频在线免费观看| 人人妻人人看人人澡| 三级经典国产精品| 男的添女的下面高潮视频| 中文字幕av成人在线电影| eeuss影院久久| 婷婷色综合大香蕉| 国产成年人精品一区二区| 亚洲精品久久午夜乱码| 毛片一级片免费看久久久久| 免费观看的影片在线观看| 国产精品一区www在线观看| 99热这里只有精品一区| 免费观看精品视频网站| 一个人看的www免费观看视频| www.av在线官网国产| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜 | 国产 亚洲一区二区三区 | 18禁在线播放成人免费| 内地一区二区视频在线| 777米奇影视久久| 久久人人爽人人爽人人片va| 亚洲国产欧美在线一区| 综合色丁香网| 男女视频在线观看网站免费| 老司机影院成人| 久99久视频精品免费| 51国产日韩欧美| videos熟女内射| 91狼人影院| ponron亚洲| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 亚洲怡红院男人天堂| 午夜日本视频在线| 久久99精品国语久久久| 中文字幕av成人在线电影| 男的添女的下面高潮视频| 欧美最新免费一区二区三区| 国产永久视频网站| 亚洲怡红院男人天堂| 成人午夜高清在线视频| 成人鲁丝片一二三区免费| a级一级毛片免费在线观看| 天堂中文最新版在线下载 | 九九在线视频观看精品| 国产永久视频网站| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产黄色小视频在线观看| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 少妇人妻一区二区三区视频| 一级毛片 在线播放| 搡老妇女老女人老熟妇| 国产黄色视频一区二区在线观看| 亚洲一区高清亚洲精品| 嘟嘟电影网在线观看| 欧美97在线视频| 欧美人与善性xxx| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 亚洲av中文av极速乱| 美女国产视频在线观看| 日本av手机在线免费观看| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 亚洲成人一二三区av| 国产久久久一区二区三区| 欧美日本视频| 1000部很黄的大片| 男女下面进入的视频免费午夜| 婷婷色麻豆天堂久久| 亚洲国产精品成人综合色| 有码 亚洲区| 国产成年人精品一区二区| 好男人视频免费观看在线| 极品教师在线视频| 免费看不卡的av| 国产女主播在线喷水免费视频网站 | 精品亚洲乱码少妇综合久久| 欧美潮喷喷水| 国产成人精品久久久久久| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 美女国产视频在线观看| 激情 狠狠 欧美| 精品人妻熟女av久视频| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 你懂的网址亚洲精品在线观看| av免费观看日本| 我要看日韩黄色一级片| 国产成人a∨麻豆精品| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 高清毛片免费看| 亚洲最大成人中文| 蜜臀久久99精品久久宅男| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产高清有码在线观看视频| 亚洲四区av| 又爽又黄a免费视频| 色综合色国产| av国产免费在线观看| 丰满人妻一区二区三区视频av| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 成人性生交大片免费视频hd| 夜夜爽夜夜爽视频| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 天天躁日日操中文字幕| 久久国内精品自在自线图片| 国产乱人偷精品视频| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 久久久久久久久大av| 最后的刺客免费高清国语| videossex国产| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 国产激情偷乱视频一区二区| 久久久精品免费免费高清| 天天一区二区日本电影三级| 国产精品一区二区性色av| 搡女人真爽免费视频火全软件| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 国模一区二区三区四区视频| 91精品国产九色| 免费大片黄手机在线观看| 国产黄频视频在线观看| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 久久精品综合一区二区三区| 搡老乐熟女国产| 久久午夜福利片| 免费黄频网站在线观看国产| av在线亚洲专区| 男的添女的下面高潮视频| 欧美精品国产亚洲| 在线 av 中文字幕| 观看免费一级毛片| 欧美人与善性xxx| 国产真实伦视频高清在线观看| 嫩草影院精品99| 免费黄色在线免费观看| 日韩一区二区视频免费看| 国产精品人妻久久久久久| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 亚洲国产欧美在线一区| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 成人二区视频| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜 | 日韩伦理黄色片| 色综合亚洲欧美另类图片| 午夜免费激情av| 免费看日本二区| 人妻一区二区av| 日本-黄色视频高清免费观看| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 国产黄色小视频在线观看| 精品欧美国产一区二区三| 亚洲成人一二三区av| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜 | 久久久色成人| 免费av观看视频| 久久热精品热| 亚洲av福利一区| 成人漫画全彩无遮挡| 国产视频内射| 亚洲在久久综合| 亚洲自拍偷在线| av在线播放精品| av线在线观看网站| 久久久久久久大尺度免费视频| 免费大片黄手机在线观看| 亚洲成人中文字幕在线播放| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 少妇熟女欧美另类| 日韩国内少妇激情av| 汤姆久久久久久久影院中文字幕 | 干丝袜人妻中文字幕| 少妇高潮的动态图| 亚洲伊人久久精品综合| 欧美性感艳星| 成人亚洲精品av一区二区| 免费av不卡在线播放| 久久久久久久久大av| 国产亚洲精品久久久com| 日韩欧美一区视频在线观看 | 听说在线观看完整版免费高清| 欧美日韩亚洲高清精品| 国产精品99久久久久久久久| 少妇被粗大猛烈的视频| 国产精品久久视频播放| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 搡老妇女老女人老熟妇| 亚洲精品国产av蜜桃| 九草在线视频观看| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看 | 欧美成人精品欧美一级黄| 亚洲色图av天堂| 婷婷六月久久综合丁香| 精品久久久精品久久久| 国产高清三级在线| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 搡老乐熟女国产| 男人狂女人下面高潮的视频| 国产黄片美女视频| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 精品一区二区三区视频在线| 午夜免费男女啪啪视频观看| 边亲边吃奶的免费视频| av一本久久久久| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 夫妻性生交免费视频一级片| 午夜激情久久久久久久| 国产人妻一区二区三区在| 久久久精品免费免费高清| 日日啪夜夜撸| 91在线精品国自产拍蜜月| 水蜜桃什么品种好| 九九爱精品视频在线观看| 欧美xxⅹ黑人| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 成人一区二区视频在线观看| 永久网站在线| 超碰av人人做人人爽久久| 91精品国产九色| 欧美激情久久久久久爽电影| 欧美精品一区二区大全| or卡值多少钱| a级毛色黄片| 久久亚洲国产成人精品v| 边亲边吃奶的免费视频| 精品一区在线观看国产| 国产中年淑女户外野战色| 欧美一级a爱片免费观看看| 91久久精品电影网| 日韩强制内射视频| 最近的中文字幕免费完整| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品 | 美女黄网站色视频| 国产黄色视频一区二区在线观看| 在线播放无遮挡| 男的添女的下面高潮视频| 少妇的逼好多水| 成人无遮挡网站| 免费黄频网站在线观看国产| 国产永久视频网站| 国精品久久久久久国模美| 内地一区二区视频在线| av.在线天堂| 国产一区亚洲一区在线观看| 国产单亲对白刺激| 亚洲性久久影院| 日韩精品有码人妻一区| 国产综合精华液| 亚洲在线观看片| 亚洲精品自拍成人| 国产精品爽爽va在线观看网站| 久99久视频精品免费| 色5月婷婷丁香| 亚洲国产av新网站| 嫩草影院入口| 免费黄网站久久成人精品| 男的添女的下面高潮视频| 久久韩国三级中文字幕| 最近最新中文字幕大全电影3| 国产老妇女一区| 日韩大片免费观看网站| 亚洲国产最新在线播放| 国产精品99久久久久久久久| 国产精品人妻久久久久久| 国产成人午夜福利电影在线观看| 国内精品美女久久久久久| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 人妻系列 视频| 黄色一级大片看看| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 国产精品久久久久久av不卡| 欧美日韩亚洲高清精品| 欧美不卡视频在线免费观看| 色吧在线观看| 久久精品夜色国产| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 国产91av在线免费观看| 少妇高潮的动态图| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 在线免费观看不下载黄p国产| 少妇熟女aⅴ在线视频| 九色成人免费人妻av| 久久草成人影院| 永久网站在线| 天美传媒精品一区二区| 国产一区有黄有色的免费视频 | 国产伦精品一区二区三区视频9| 日韩av在线大香蕉| a级一级毛片免费在线观看| 最新中文字幕久久久久| 国产人妻一区二区三区在| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 少妇的逼好多水| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产高潮美女av| 欧美成人一区二区免费高清观看| 啦啦啦韩国在线观看视频| 国产精品av视频在线免费观看| 51国产日韩欧美| .国产精品久久| 成人漫画全彩无遮挡| 中文字幕免费在线视频6| 精品一区二区三区人妻视频| 观看美女的网站| 99热这里只有是精品在线观看| 国产精品久久久久久久电影| 视频中文字幕在线观看| 日韩视频在线欧美| 久久国产乱子免费精品| 色播亚洲综合网| 精品少妇黑人巨大在线播放| 日韩精品有码人妻一区| 高清欧美精品videossex| 波多野结衣巨乳人妻| 国产真实伦视频高清在线观看| 大香蕉97超碰在线| 可以在线观看毛片的网站| 亚洲欧美精品专区久久| 成年人午夜在线观看视频 | 久久亚洲国产成人精品v| 日韩制服骚丝袜av| 校园人妻丝袜中文字幕| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 97热精品久久久久久| 久久精品国产亚洲av涩爱| av一本久久久久| 午夜精品国产一区二区电影 | 午夜免费观看性视频| 91aial.com中文字幕在线观看| 插阴视频在线观看视频| 亚洲精品一二三| 成人国产麻豆网| 午夜福利视频1000在线观看| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 亚洲第一区二区三区不卡| 亚洲高清免费不卡视频| 久久精品国产亚洲av涩爱| 黑人高潮一二区| 九九爱精品视频在线观看| h日本视频在线播放| 嫩草影院精品99| 国产午夜精品一二区理论片| 精品久久久久久电影网| 色视频www国产| 午夜福利高清视频| 禁无遮挡网站| 亚洲色图av天堂| 一个人免费在线观看电影| 国产伦精品一区二区三区四那| 99久久中文字幕三级久久日本| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 91aial.com中文字幕在线观看| 午夜激情欧美在线| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 一本久久精品| 欧美不卡视频在线免费观看| 国产精品精品国产色婷婷| 午夜免费观看性视频| 搡女人真爽免费视频火全软件| 色视频www国产| 成人毛片60女人毛片免费| 99热6这里只有精品| 黄色一级大片看看| 中国国产av一级| 联通29元200g的流量卡| 日韩制服骚丝袜av| 大香蕉97超碰在线| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 有码 亚洲区| 少妇熟女欧美另类| 欧美人与善性xxx| 久久久久精品久久久久真实原创| 免费黄色在线免费观看| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 亚洲高清免费不卡视频| 婷婷色av中文字幕| 欧美激情国产日韩精品一区| 久久久久久久久大av| 欧美成人午夜免费资源| 久久久午夜欧美精品| 精品欧美国产一区二区三| 亚洲经典国产精华液单| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 色尼玛亚洲综合影院| av播播在线观看一区| 熟女人妻精品中文字幕| 国产中年淑女户外野战色| 男插女下体视频免费在线播放| 欧美一级a爱片免费观看看| 欧美日韩精品成人综合77777| 免费黄色在线免费观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 国产亚洲午夜精品一区二区久久 | 欧美日韩在线观看h| 欧美极品一区二区三区四区| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | 日韩欧美一区视频在线观看 | 欧美成人午夜免费资源| 2022亚洲国产成人精品| 中文字幕制服av| 色综合亚洲欧美另类图片| 99热这里只有是精品50| 国产精品爽爽va在线观看网站| 一个人看视频在线观看www免费| av卡一久久| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 熟女人妻精品中文字幕| 少妇人妻一区二区三区视频| 极品少妇高潮喷水抽搐| 国国产精品蜜臀av免费| 内射极品少妇av片p| 亚洲高清免费不卡视频| 中文天堂在线官网| 国产一级毛片在线| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 久久这里有精品视频免费| 一级毛片久久久久久久久女| 夫妻性生交免费视频一级片| 人妻少妇偷人精品九色| 亚洲熟女精品中文字幕| 精品人妻一区二区三区麻豆| 国产精品日韩av在线免费观看| 欧美+日韩+精品| 六月丁香七月| 国产爱豆传媒在线观看| 18禁动态无遮挡网站| 亚洲综合色惰| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 日本av手机在线免费观看| 国产精品1区2区在线观看.| 日日摸夜夜添夜夜爱| 精品少妇黑人巨大在线播放| 国模一区二区三区四区视频| av网站免费在线观看视频 | 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 搡老妇女老女人老熟妇| 欧美三级亚洲精品| 久久99热6这里只有精品| 日本wwww免费看| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品 | 少妇的逼水好多| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 爱豆传媒免费全集在线观看| 亚洲精品一二三| av卡一久久| 国产高潮美女av| 成人二区视频| 亚州av有码| 国产精品不卡视频一区二区| 午夜福利在线观看吧| 在线观看av片永久免费下载| 特大巨黑吊av在线直播| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 国产伦一二天堂av在线观看| 一区二区三区乱码不卡18| 亚洲精品自拍成人| 直男gayav资源| 国产成人福利小说| 国产成人精品福利久久| 国产成人freesex在线| 亚洲高清免费不卡视频| 男女边摸边吃奶| 欧美极品一区二区三区四区| 久久久国产一区二区| 十八禁网站网址无遮挡 | 午夜日本视频在线| 别揉我奶头 嗯啊视频| 夫妻午夜视频| 岛国毛片在线播放| 简卡轻食公司| 成人国产麻豆网| 成人欧美大片| 色播亚洲综合网| 中文天堂在线官网| 亚洲久久久久久中文字幕| 亚洲内射少妇av| 黄色一级大片看看| 精品人妻熟女av久视频| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 中文字幕久久专区| 欧美zozozo另类| 91久久精品电影网| 免费黄网站久久成人精品| 精品久久久久久久久av| 免费无遮挡裸体视频| 乱系列少妇在线播放| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 国产淫语在线视频| 亚洲国产精品成人综合色| 午夜福利高清视频| 丝瓜视频免费看黄片| 久久久精品94久久精品| 久久久久久久久久人人人人人人| 久久久久性生活片| 在线免费观看的www视频| 伦精品一区二区三区| 久久国内精品自在自线图片| 美女大奶头视频| 午夜精品一区二区三区免费看| 亚洲av一区综合| 亚洲第一区二区三区不卡| 一级av片app| 欧美精品国产亚洲| 免费观看a级毛片全部| 丝袜喷水一区| 国产黄色小视频在线观看| 三级国产精品欧美在线观看| 特大巨黑吊av在线直播| 国国产精品蜜臀av免费| 在线a可以看的网站| 少妇熟女欧美另类| 97超视频在线观看视频| 亚洲欧美日韩东京热| 中文乱码字字幕精品一区二区三区 | 久久久久网色| 看非洲黑人一级黄片| 日韩一区二区视频免费看| 六月丁香七月| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 国产日韩欧美在线精品| 日日摸夜夜添夜夜爱| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 老师上课跳d突然被开到最大视频| 一级毛片久久久久久久久女| 我的老师免费观看完整版| 熟妇人妻不卡中文字幕| 综合色av麻豆| 国产精品久久久久久久电影| 极品教师在线视频| 色综合站精品国产| 国产有黄有色有爽视频| 亚洲精品456在线播放app| 精品久久久久久久久av| 久久久久久久久久人人人人人人| 国产亚洲一区二区精品| 久久人人爽人人爽人人片va| 成人亚洲精品一区在线观看 | 一区二区三区四区激情视频| 中文字幕av成人在线电影| 天堂影院成人在线观看| 一夜夜www| 在线观看av片永久免费下载| 天堂影院成人在线观看| 日本爱情动作片www.在线观看| 22中文网久久字幕| 乱码一卡2卡4卡精品| 免费观看性生交大片5| 精品人妻偷拍中文字幕| 中文在线观看免费www的网站| 久久99热这里只频精品6学生| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| av黄色大香蕉| 日本av手机在线免费观看| 国产乱人视频| 国产亚洲av片在线观看秒播厂 | 日韩成人伦理影院| 一本一本综合久久| 国产伦精品一区二区三区视频9| 亚洲性久久影院| 能在线免费观看的黄片| 日日撸夜夜添| 日本熟妇午夜| 99热6这里只有精品| 五月玫瑰六月丁香| 国产精品1区2区在线观看.| 成人鲁丝片一二三区免费| 亚洲国产欧美人成| 精品国产露脸久久av麻豆 | 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 精品久久久久久久末码| 寂寞人妻少妇视频99o|