輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的多種運動模式

穆翔栩 關(guān)國業(yè) 張博文 林 方

(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都610064)

輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的多種運動模式

穆翔栩1)關(guān)國業(yè) 張博文 林 方2)

(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,成都610064)

將一個輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體(如球、圓環(huán)、圓盤等)釋放于水平勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，旋轉(zhuǎn)體可能存在多種不同類型的運動軌跡，探究了其中4種運動模式.在純滾動假設(shè)前提下，建立了旋轉(zhuǎn)體動力學(xué)方程并數(shù)值求解，分別得出不同模式下旋轉(zhuǎn)體的運動軌跡及軌跡特征參數(shù)，并進(jìn)行了定量實驗對比.還提出并通過實驗驗證了一個發(fā)現(xiàn)，即不論旋轉(zhuǎn)體處于何種運動模式，其質(zhì)心運動的相位角周期都將收斂于一個由旋轉(zhuǎn)體形狀、大小和質(zhì)量分布決定的極限值.

旋轉(zhuǎn)體,轉(zhuǎn)動圓盤,滾動摩擦,質(zhì)心相位角

輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體(如球、圓環(huán)、圓盤等)在勻速定軸轉(zhuǎn)動圓盤上的運動存在多種不同類型的軌跡，該類問題在20世紀(jì)70年代末開始被深入研究.1979年，Weltner[1]首先研究了不考慮滾動摩擦的情況，得到了旋轉(zhuǎn)體做勻速圓周運動時運動周期與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動周期成正比的結(jié)論.1981年，Burns[2]將勻速轉(zhuǎn)盤上球體的運動與帶電粒子在磁場中的運動進(jìn)行了類比.1985年，Voyenli等[3]研究了冰球在轉(zhuǎn)盤上純滾動與純滑動這兩種運動狀態(tài).1987年，Weltner[4]以旋轉(zhuǎn)圓錐面代替水平轉(zhuǎn)盤，探究了球體在錐面上的運動模式，通過實驗發(fā)現(xiàn)和證明了球體出現(xiàn)向圓心靠近的螺旋運動模式是滾動摩擦作用的結(jié)果，據(jù)此設(shè)計了一種測量滾動摩擦系數(shù)的新方法.1992年，Gersten等[5]針對球體提出了一種滾動摩擦作用的新原理并應(yīng)用于轉(zhuǎn)盤上球體運動問題的分析中.1994年，Sokirko等[6]進(jìn)一步針對環(huán)狀物在勻速轉(zhuǎn)盤上的運動進(jìn)行了理論推導(dǎo)與數(shù)值模擬，得到了不同初始條件下環(huán)狀物的不同運動模式.1995年，Ehrlich等[7]對勻速轉(zhuǎn)盤上的球體運動進(jìn)行了數(shù)值模擬.1996年，Soodak等[8]從滾動摩擦入手，對該力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了攝動分析.1997年，Weckesser[9]從能量角度推導(dǎo)得到了球體做勻速圓周運動時的理論軌跡.此后，在2011年，M′unera[10]對勻速轉(zhuǎn)盤上球體的部分運動模式相圖進(jìn)行了數(shù)值模擬.2015年，Agha等[11]研究了球體運動始終不離開勻速轉(zhuǎn)盤的初值限制范圍.

輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在勻速旋轉(zhuǎn)圓盤上存在多種運動模式，通過研究其運動特性，可以設(shè)計出精確測量滾動摩擦系數(shù)、滑動摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量等物理量的新方法.因此，該問題在工程應(yīng)用上具有研究價值.勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的旋轉(zhuǎn)體運動問題亦出現(xiàn)在2016年第29屆國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽 (29th International Young Physicists’Tournament)上.圖1展現(xiàn)了乒乓球在水平轉(zhuǎn)動圓盤上的兩種運動模式：圓周運動和螺旋向外運動.

本文主要內(nèi)容包括：(1)通過純滾動假設(shè)，建立了描述旋轉(zhuǎn)體運動的動力學(xué)方程，借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica求解得到了旋轉(zhuǎn)體可能存在的4種運動類型;(2)設(shè)計實驗，采用物體追蹤軟件Tracker記錄旋轉(zhuǎn)體的運動軌跡，并將之與相同參數(shù)、相同初始條件下理論計算得到的運動軌跡做對比;(3)本文還發(fā)現(xiàn)一個新現(xiàn)象，勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的旋轉(zhuǎn)體無論做何種運動，其質(zhì)心運動的相位角周期都必將收斂于極限值2π/γωD，其中ωD為轉(zhuǎn)盤角速度，無量綱常數(shù)γ則取決于旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)動慣量I、質(zhì)量m和最大半徑R.

圖1 乒乓球在水平轉(zhuǎn)動的鋁制圓盤上滾動

1 理論分析

以水平轉(zhuǎn)盤的圓心為坐標(biāo)原點O，豎直向上方向為 z軸，建立柱坐標(biāo)系 (r,θ,z)，如圖 2所示.其中，3個方向的單位矢量分別為er,eθ和ez.假設(shè)旋轉(zhuǎn)體(球體、圓盤、圓環(huán)等)在初始時刻滾動角速度 ω0指向原點 O，且旋轉(zhuǎn)體在轉(zhuǎn)盤上進(jìn)行的運動始終為純滾動(無滑滾動)，即滿足關(guān)系

其中，ω0和r0分別為初始時刻旋轉(zhuǎn)體滾動角速度與質(zhì)心位矢；ωD為轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度，ω為旋轉(zhuǎn)體相對質(zhì)心的滾動角速度；r為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心位矢；v為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心速度，R 為旋轉(zhuǎn)體的半徑矢量，方向從質(zhì)心指向旋轉(zhuǎn)體與轉(zhuǎn)盤的接觸點.由純滾動假設(shè)可知，ω不存在z軸分量.

圖2 本文所研究系統(tǒng)的坐標(biāo)系選取及描述其運動的物理量

根據(jù)牛頓第二定律和角動量定理，摩擦力作用下的旋轉(zhuǎn)體應(yīng)滿足動力學(xué)方程[12-13]

其中，f和τ分別為轉(zhuǎn)盤對旋轉(zhuǎn)體的靜摩擦力和滾動摩擦力矩.將式(2)等號兩邊對時間求導(dǎo)，得

引入無量綱數(shù)γ[5]，令

聯(lián)立式(3)和式(7)，消去f并代入γ可得

旋轉(zhuǎn)體所受滾動摩擦力矩τ的大小與轉(zhuǎn)盤的壓力N成正比[8]，即

其中μr為描述滾動摩擦的相關(guān)系數(shù)，由旋轉(zhuǎn)體與轉(zhuǎn)盤表面材質(zhì)決定；N=mg為轉(zhuǎn)盤對旋轉(zhuǎn)體支持力大小.考慮到柱坐標(biāo)系下的變換關(guān)系[13]

將式 (10)和式 (11)代入式 (9)，由等式兩邊 er和eθ方向分量分別相等，可得極坐標(biāo)平面下旋轉(zhuǎn)體滿足的微分方程組

其中r和θ分別為旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心在極坐標(biāo)系下的極徑和極角 (質(zhì)心相位角).對方程組 (12)進(jìn)行數(shù)值求解，即可得到旋轉(zhuǎn)體在轉(zhuǎn)盤上運動的理論軌跡及其他特征參數(shù).

2 數(shù)值模擬與實驗

2.1 實驗裝置

本課題實驗選用型號為 2815的航模電機(jī)作為驅(qū)動轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的動力，供電采用2200mAh直流電池，并用40A電子調(diào)速器控制電機(jī)速度，以帶動直徑 40cm 的圓盤水平勻速轉(zhuǎn)動并可實時調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速.實驗以乒乓球和實心彈性球作為實驗對象進(jìn)行探究.

實驗裝置如圖3(a)所示.實驗中，將幀率為30的攝影設(shè)備固定在距離轉(zhuǎn)盤中心正上方60cm處拍攝球體的運動.攝影設(shè)備已通過網(wǎng)格紙測試以保證所用焦段沒有鏡頭畸變，如圖3(b)所示.將所錄制視頻導(dǎo)入物體追蹤軟件Tracker進(jìn)行處理，通過追蹤旋轉(zhuǎn)體的運動，即可獲得其質(zhì)心速度等運動參量.

圖3

作為本文的一個重要前提假設(shè)，當(dāng)要求球體進(jìn)入圓盤的質(zhì)心初速度為0時，初始純滾動條件可以通過如下方法實現(xiàn)：先使用自制紙槽將球體約束在轉(zhuǎn)盤某一位置隨轉(zhuǎn)盤滾動，此時乒乓球在約束點上只存在定點滾動而沒有質(zhì)心初速度.當(dāng)球體達(dá)到穩(wěn)定滾動后，撤除紙槽，即可達(dá)成純滾動的初始條件.當(dāng)要求球體進(jìn)入質(zhì)心的初速度不為0時，初始純滾動條件無法達(dá)成，小球進(jìn)入圓盤之后會經(jīng)歷很短一段時間的有滑滾動而后再進(jìn)入無滑滾動.

球體進(jìn)入圓盤的質(zhì)心初速度取值則可通過如下方法獲得：利用一個與圓盤正好接觸的靜止傾斜軌道引導(dǎo)球體滾進(jìn)轉(zhuǎn)動圓盤；通過改變球體釋放高度和滑軌方向，即可大致控制球體質(zhì)心初始速度大小及方向.精確的初速度大小與方向可通過Tracker讀取.

2.2 球體運動模式

通過改變初值條件和參數(shù)，借助 Mathematica對方程組(12)進(jìn)行數(shù)值求解，在不考慮空氣阻力的情況下，可以從理論上得到4種不同類型的運動模式.

當(dāng)滾動摩擦不可忽略時，可能存在兩種運動模式:

(1)球體做先靠近轉(zhuǎn)盤中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動；

(2)球體做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動.

當(dāng)滾動摩擦可以忽略時，也可能存在兩種運動模式:

(1)若球體質(zhì)心初速度不為0，球體滾動的同時質(zhì)心做勻速圓周運動；

(2)若球體質(zhì)心初速度為0，球體做定點滾動，即其質(zhì)心位置將保持不變.

下面分別對4種運動模式進(jìn)行實驗與理論的對比.使用Tracker測量球體釋放時的初始運動參數(shù)，將其代入式(12),得到該初始值下的數(shù)值解，然后將數(shù)值模擬得到的運動軌跡與實驗追蹤的軌跡進(jìn)行比較.下面以乒乓球為例進(jìn)行比較分析，實心球的結(jié)果與之類似.實驗中用到兩種鋁盤，一種是表面呈磨砂質(zhì)感的平整鋁盤 (甲型鋁盤，滾動摩擦不可忽略)，另一種則是表面經(jīng)過鏡面拋光處理的光滑平整鋁盤(乙型鋁盤，滾動摩擦系數(shù)可視為0).乒乓球與轉(zhuǎn)盤之間的滾動摩擦系數(shù)通過擬合乒乓球質(zhì)心相位角速度曲線得到.實驗軌跡與理論軌跡的對比分析如下:軌跡(A) 使用甲型鋁盤，滾動摩擦不可忽略.乒乓球可能做先靠近轉(zhuǎn)盤中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動，數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖4所示.所用參數(shù)r0=0.055m,˙r0=?0.139m/s,θ0=4.603rad,˙θ0=0.723rad/s,ωD=15.8rad/s滾動摩擦系數(shù)擬合值為μr=0.009，持續(xù)時間為5.91s.

軌跡 (B) 使用甲型鋁盤，滾動摩擦不可忽略.乒乓球也可能做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動，數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖 5所示. 所用參數(shù) r0=0.017m,˙r0=0.079m/s,θ0=?1.959rad,˙θ0=9.058rad/s,ωD=12.0rad/s滾動摩擦系數(shù)擬合值為μr=0.009，持續(xù)時間為7.98s.

圖5 滾動摩擦不可忽略的運動軌跡(B)

圖5 滾動摩擦不可忽略的運動軌跡(B)(續(xù))

軌跡(C) 使用乙型鋁盤，滾動摩擦系數(shù)視為μr=0.乒乓球進(jìn)入轉(zhuǎn)盤的質(zhì)心初速度不為 0，則乒乓球在滾動的同時質(zhì)心做勻速圓周運動，數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖 6所示所用參數(shù) r0=0.080m,˙r0=0.192m/s,θ0=0.476rad,˙θ0=?0.111rad/s,ωD=15.8rad/s,持續(xù)時間為2.33s.

軌跡(D)使用乙型鋁盤，滾動摩擦系數(shù)視為μr=0.乒乓球進(jìn)入轉(zhuǎn)盤的初始質(zhì)心速度為0，乒乓球做定點滾動，數(shù)值模擬和實驗對比情況如圖7所示.所用參數(shù)r0=0.078m,˙r0=0.001m/s,θ0=0.666rad,˙θ0=?0.000rad/s,ωd=15.8rad/s,持續(xù)時間為1.20s.

從圖4～圖7可以看出，雖然實驗與數(shù)值計算結(jié)果符合得較好，但仍有3個問題值得討論：

圖6 滾動摩擦系數(shù)很小時的運動軌跡(C)

圖7 滾動摩擦系數(shù)很小時的運動軌跡(D)

(1)從圖4可以看出，前期乒乓球的實驗軌跡與理論軌跡較為吻合；但在遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心運動階段，隨著軌跡半徑的增大，轉(zhuǎn)盤提供的靜摩擦力逐漸不能滿足乒乓球做無滑滾動所需的向心力，因此實驗中觀察到乒乓球出現(xiàn)明顯的離心滑動現(xiàn)象，不再滿足理論模型中的純滾動假設(shè)，因此乒乓球運動半徑逐漸增大并最終被甩出轉(zhuǎn)盤，實驗軌跡后段與理論軌跡差別較大.

(2)從圖 5可以看出，乒乓球做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動時，實驗軌跡的半徑小于理論值.這是由于理論計算忽略了空氣阻力，而隨著螺旋線半徑的增大，乒乓球運動線速度增大，空氣阻力的影響亦增大.空氣阻力使得乒乓球運動線速度小于理論值，離心趨勢下降，導(dǎo)致實驗軌跡半徑比理論預(yù)期值偏小.

(3)通過理論計算可知，軌跡(C)和軌跡(D)其實是軌跡 (B)在滾動摩擦系數(shù)為 0時的特殊形式.當(dāng)乒乓球質(zhì)心初速度不為 0時得到軌跡 (C)，而當(dāng)乒乓球質(zhì)心初速度為0時則得到軌跡(D).實驗結(jié)果與理論預(yù)期完全相符.

2.3 質(zhì)心相位角周期的收斂現(xiàn)象

除了存在多種類型的運動軌跡之外，旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心繞盤運動的角速度，即相位角速度亦存在有趣的現(xiàn)象.Weltner[1]在滾動摩擦可忽略的基礎(chǔ)上，從理論上得到了旋轉(zhuǎn)體質(zhì)心做圓周運動(軌跡(C))時圍繞圓心的角速度與轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度的比值恒等于前文所述的無量綱數(shù)γ的結(jié)論.

本文在理論分析與數(shù)值模擬過程中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)滾動摩擦不可忽略時，無論旋轉(zhuǎn)體是做先靠近轉(zhuǎn)盤中心再遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動(軌跡(A))，還是做遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)盤中心的螺旋運動 (軌跡 (B))，其質(zhì)心相位角速度 ωθ與轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)角速度 ωD的比值都將收斂于無量綱數(shù)γ.

用 Tracker讀數(shù)并做出實驗軌跡 (A)和軌跡(B)的質(zhì)心相位角速度隨時間變化曲線，并與對應(yīng)的理論曲線相比較，如圖8所示.其中，藍(lán)色實線為理論曲線，藍(lán)色虛線為理論預(yù)測的角速度收斂極值γωD，紅點為實驗數(shù)據(jù)點.從圖中可以看到，實驗中球體的角速度在γωD附近波動并逐漸收斂，與理論預(yù)期符合較好.然而，實驗條件無法達(dá)到理論模型的理想情況，使得實驗曲線和理論曲線存在一定的偏差.圖8(a)中，實驗曲線相比理論曲線有一個整體的“滯后”，這是由于理論曲線采用的是無滑滾動條件，即從初始時刻起，球體即在轉(zhuǎn)盤上做無滑滾動；而實驗中乒乓球在進(jìn)入轉(zhuǎn)盤的瞬間是不滿足無滑滾動的，要經(jīng)過短時間的弛豫才能達(dá)到無滑滾動(該圖對應(yīng)的實驗參數(shù)條件下，約需0.3s)，由此造成了曲線的整體“滯后”.乒乓球?qū)嶋H還受到一定的空氣阻力，并且質(zhì)心速度越大所受阻力越大，這在理論模型中被忽略了，因此造成了圖8(b)中實驗曲線的周期比理論值略大且收斂速度低于理論值.最后，由于轉(zhuǎn)盤半徑有限，導(dǎo)致乒乓球運動時間較短，未能完全收斂到理論值γωD即被甩出轉(zhuǎn)盤.盡管如此，實驗曲線的特征與收斂趨勢仍然與理論曲線一致.由此，可以將本文提出的這一新發(fā)現(xiàn)與文獻(xiàn)[1]的結(jié)論統(tǒng)一為：勻速水平轉(zhuǎn)動圓盤上的旋轉(zhuǎn)體無論做何種運動，其相位角周期都必將收斂于極限值2π/γωD.

圖8

為了進(jìn)一步驗證這一新發(fā)現(xiàn)，本文針對旋轉(zhuǎn)體做向外螺旋運動(軌跡(B))的情況，測量并驗證轉(zhuǎn)盤以不同角速度 ωD轉(zhuǎn)動時，旋轉(zhuǎn)體穩(wěn)定運動的相位角速度ωθ符合理論預(yù)測公式ωθ=γωD.實驗中采用摩擦系數(shù)較大的橡膠圓盤作為實驗轉(zhuǎn)盤，并選用實心的橡膠球作為旋轉(zhuǎn)體.這是因為實心橡膠球質(zhì)量遠(yuǎn)大于乒乓球，受到空氣阻力影響較小，而且橡膠球表面摩擦系數(shù)更大，更加符合達(dá)成軌跡B所需的滾動摩擦系數(shù)較大的前提條件.

橡膠球質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度的實驗數(shù)據(jù)與擬合曲線如圖 9所示. 由于實驗中橡膠球的角速度時刻發(fā)生變化，因此在測量時選取橡膠球到達(dá)轉(zhuǎn)盤邊緣前最后三個周期內(nèi)的角速度數(shù)據(jù)，計算其平均值(圖中紅色星號)與不確定度(圖中誤差棒)，并將 (ωD,ωθ)數(shù)據(jù)以正比例函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行擬合.從圖中可以看出，數(shù)據(jù)擬合度很高 (0.9931)，且擬合得到的 γ值(直線斜率)為0.2848，與實心球體的理論 γ值 =0.2857的相對誤差僅為0.32%.可見，實驗結(jié)果與理論預(yù)測符合得很好.

圖9 橡膠球質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動角速度數(shù)據(jù)擬合圖

3 總結(jié)與討論

本文研究了勻速轉(zhuǎn)動圓盤上輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體的運動軌跡，在純滾動假設(shè)前提下，得到描述旋轉(zhuǎn)體運動的微分方程組，而后利用Mathematica進(jìn)行數(shù)值求解，預(yù)測了4種不同的運動軌跡，并在實驗中一一再現(xiàn).課題組還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滾動摩擦不可忽略時，無論旋轉(zhuǎn)體處于何種運動模式，其質(zhì)心相位角速度與轉(zhuǎn)盤角速度的比值都將收斂于無量綱數(shù)γ.此結(jié)論對現(xiàn)有文獻(xiàn)的理論分析結(jié)果進(jìn)行了擴(kuò)展，并通過多組實驗進(jìn)行了擬合驗證，是本文的一個重要發(fā)現(xiàn).該發(fā)現(xiàn)可以為測量球類物體轉(zhuǎn)動慣量提供一種新的思路和方法.

然而，本文的研究仍存在不足：(1)實驗發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體的滾動角速度有微小的z軸分量，不能完全滿足純滾動假設(shè)，這點本文并未加以考慮；(2)不能準(zhǔn)確判斷旋轉(zhuǎn)體在何種條件下將出現(xiàn)有滑滾動；(3)軌跡 (A)與軌跡 (B)的出現(xiàn)條件與旋轉(zhuǎn)體運動參量的初值、轉(zhuǎn)盤角速度、旋轉(zhuǎn)體質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量皆有關(guān)系，本文并未分別探究具體的閾值區(qū)間；(4)對于質(zhì)量較輕的球體(如乒乓球)，空氣阻力造成的影響會隨著質(zhì)心速度的增大趨于明顯，并不能完全忽略.課題組將在后續(xù)工作中加以改進(jìn).

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O313.3,O311.2,O313.5

A

10.6052/1000-0879-16-348

2016-10-24收到第1稿，2017-01-02收到修改稿.

1)穆翔栩，四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2015級物理學(xué)類本科生.

2)林方,指導(dǎo)教師,通迅作者.E-mail:linfang@scu.edu.cn

穆翔栩,關(guān)國業(yè),張博文等.輕質(zhì)旋轉(zhuǎn)體在水平勻速轉(zhuǎn)動圓盤上的多種運動模式.力學(xué)與實踐,2017,39(5):523-529

Mu Xiangxu,Guan Guoye,Zhang Bowen,et al.Varied motion modes of light objects rolling on a horizontally rotating disk.Mechanics in Engineering,2017,39(5):523-529

(責(zé)任編輯:胡 漫)